데븐포트 체인 회전

물리학과 공학에서, 데이븐포트 체인 회전은 신체 고정 특정 축에 관한 3개의 체인 내적 회전이다.오일러 회전과 타이트-브리안 회전은 데이븐포트 일반 회전 분해의 특별한 경우다.회전의 각도는 3의 순서로 회전을 분해하는 일반적인 문제가 폴 B에 의해 먼저 연구되었기 때문에 데이븐포트 각이라고 불린다.데이븐포트.^[1]

비직교 회전 좌표계는 강체 몸체에 단단하게 부착된 것으로 상상할 수 있다.이 경우 국소좌표계라고 부르기도 한다.회전 축이 움직이는 차체와 고체임을 감안하여 일반화된 회전은 두 그룹으로 나눌 수 있다(여기서 x, y, z는 비직교 이동 프레임을 참조한다).

일반 오일러 회전

(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)

일반화 타이트-브리안 회전

(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)

일반화된 오일러 회전은 제1축과 제3축이 겹치는 퇴보적인 경우라는 점에서 제2군에 속하는 경우가 대부분이다.

데이븐포트 회전 정리

회전을 내적인 축에 관한 세 가지의 합성된 운동으로 분해하는 일반적인 문제는 P에 의해 연구되었다.Davenport, "Generated Euler angles"라는 이름 아래, 그러나 후에 이 각들은 M에 의해 "Davenport angles"로 명명되었다.슈스터와 L. 마크리.^[2]

일반적인 문제는 세 개의 알려진 축이 주어진 회전의 매트릭스 분해를 얻는 것으로 구성된다.어떤 경우에는 한 축이 반복되기도 한다.이 문제는 행렬의 분해 문제와 맞먹는다.^[3]

데이븐포트는 비직교 축을 사용하여 세 개의 원소 회전으로 구성함으로써 어떤 방향도 달성할 수 있다는 것을 증명했다.원소 회전은 고정 좌표계의 축(초기 회전)이나 회전 좌표계의 축에 대하여 발생할 수 있으며, 이 축은 초기에 고정 좌표계의 축에 정렬되고 각 원소 회전(내부 회전) 후 방향을 수정한다.

데이븐포트 정리에 따르면, 두 번째 축이 다른 두 축에 수직인 경우에만 독특한 분해가 가능하다.따라서 축 1과 축 3은 축 2와 직교하는 평면에 있어야 한다.^[4]

따라서 오일러 사슬 회전과 타이트-브라이언 사슬 회전에서의 분해는 특별한 경우다.태트-브리안 사례는 축 1과 3이 수직일 때 나타나고 오일러 사례는 겹칠 때 나타난다.

전체 회전 시스템

구성으로 공간의 회전을 발생시킬 수 있을 정도로 충분한 경우, 데이븐포트 회전 세트가 완성되었다고 한다.행렬 용어로 말하면, 결정 인자가 +1인 공간의 정형 행렬을 생성할 수 있으면 완전하다.매트릭스 제품의 불규칙성 때문에 회전 시스템을 주문해야 한다.

때때로 그 순서는 근본적인 문제의 기하학에 의해 부과된다.예를 들어, "전방" 방향을 가리키는 특수 축이 있는 차량에 사용할 경우 가능한 6개의 회전 조합 중 하나만 유용하다.흥미로운 구성은 각각 한 번의 독립적인 회전으로 항공기의 표제와 표고를 조절할 수 있는 것이다.

인접한 도면에서 요, 피치 및 롤(YPR) 구성은 두 개의 첫 번째 각도로 항공기 방향을 조정할 수 있다.YRP와 같은 다른 구성으로 날개 축의 방향을 설정할 수 있는데, 이는 대부분의 경우 분명히 유용하지 않다.

타이트-브라이언 사슬 회전

타이트-브리안 회전은 제1축과 제3축이 그들 사이에서 수직인 특수한 경우다.기준 프레임 ⟨x, y, z⟩과 이미지 2와 같이 ⟨aw, 피치, 롤링 축이 있는 평면과 이미지 1[데이터 미상/누락]과 같이 ⟨x, y⟩ 평면에 수평으로 놓여 있다고 가정하면, 요, 피치 및 롤 축(이 순서로)에서 본질적인 회전을 수행한 후 이미지 3[데이터]와 유사한 것을 얻는다.알 수 없는/잘 알 수 없는

시작 부분에:

• 평면 롤 축이 기준 프레임의 축 x에 있음
• 평면 피치 축은 기준 프레임의 축 y에 있다.
• 평면 요 축이 기준 프레임의 축 z에 있음

회전은 요(Yaw), 피치(Pitch), 롤(Roll) 순서로 적용된다.이러한 조건에서 헤딩(수평면의 각도)은 적용된 요와 같으며, 표고는 피치와 같을 것이다.

3차원의 Tait-Bryan 회전 행렬은 다음과 같다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll}(\phi )&={\begin{bmatrix}1&0\\0\\coses \phi \\0&\sin \phi \end{bmatrix}}\cos \coses \pi \pi}\nod}\now}\cosa.\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Yaw} (\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{정렬}}}$

구성된 회전 행렬은

${\displaystyle {\reasoned}M&=\mathrm {Yaw}(\psi )\,\mathrm {Pitch}(\theta )\,\mathrm {Roll}(\phi )\&=R_{z}(\psi )R_{y}(\ta )R_{x}(\phi).\end{정렬}}}$

요, 피치, 롤링의 여섯 가지 가능한 조합 중에서, 이 조합은 제목(롤 축의 방향)이 회전(요) 중 하나와 같고, 표고(수평면과 롤 축의 각도)가 다른 회전(피치)과 같다.

오일러 체인 회전

오일러 회전은 제1축과 제3축 회전축이 겹치는 특수한 경우로 나타난다.이러한 오일러 회전은 행성과 같은 경직된 신체의 움직임을 연구하는 것으로 생각되었던 적절한 오일러 각도와 관련이 있다.롤 축의 방향을 정의하는 각도는 보통 행성에 대해 말이 되지 않는 '헤딩' 대신 '혁명 축의 경도' 또는 '노드 라인의 경도'로 명명된다.

어쨌든, 오일러 회전은 비록 이상한 행동을 하게 되겠지만, 자동차에 대해 말할 때 여전히 사용될 수 있다.수직축은 각도의 원점이기 때문에 '경사' 대신 '경사'로 명명된다.이전과 같이, 차량의 태도를 설명하면, 전방으로 가리키는 축이 있으므로, 가능한 회전 조합 중 하나만 유용할 것이다.

이 조합은 축을 취하는 방법과 평면의 초기 위치가 무엇인지에 따라 달라진다.도면의 하나를 사용하고 축이 반복되는 방식으로 회전을 결합하면 롤-피치-롤만이 각각 한 바퀴씩 회전하여 경도와 기울기를 제어할 수 있다.

곱해야 할 세 가지 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll}_{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &0\&0&1\cos}\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}(\psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{정렬}}}$

이 컨벤션에서 롤은₁ "헤딩"을 부과하고, 피치는 "상향"(상향 완료)을 부과하며, 롤은₂ "틸트"를 부과한다.

외부 회전으로 변환

다벤포트 회전은 보통 움직이는 몸체에 고정된 축의 중요성 때문에 본질적인 회전 구성으로 연구되지만, 보다 직관적일 수 있는 경우를 대비하여 외적 회전 구성으로 변환할 수 있다.

모든 외적 회전은 동일한 각도에 의한 내적 회전과 동일하지만 원소 회전 순서를 거꾸로 한 것과 같으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.예를 들어, α, β, α에 의한 내적 회전 x-y'-z″은 α, β, α에 의한 외적 회전 z-y-x와 동등하다. 둘 다 행렬로 표현된다.

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta)Z(\gamma )}$

R이 다중 열 벡터 사전 및 행렬에 사용되는 경우

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta)X(\alpha )}$

R이 다중 행 벡터 후기에 사용되는 경우.자세한 내용은 회전 행렬 정의의 모호성을 참조하십시오.

육체적 움직임과의 관계

내인성

내적 회전은 회전 좌표계 XYZ의 축에 대해 발생하는 원소 회전으로, 원소 회전 후 각 원소 회전 후 방향이 바뀐다.XYZ 시스템은 회전하는 반면 XYZ는 고정되어 있다.XYZ 중첩 xyz로 시작하여, XYZ의 목표 방향에 도달하기 위해 세 가지 내적 회전 구성을 사용할 수 있다.오일러 또는 타이트-브리안 각(α, β, γ)은 이러한 원소 회전의 진폭이다.예를 들어 다음과 같이 목표 방향에 도달할 수 있다.

• XYZ 시스템은 Z축(z축과 일치)을 중심으로 α 회전한다.X축은 이제 노드의 선에 놓여 있다.
• XYZ 시스템은 현재 회전된 X축을 중심으로 β에 의해 회전한다.Z축은 현재 최종 방향이며, X축은 노드의 선에 남아 있다.
• XYZ 시스템은 γ에 의해 새로운 Z축에 대해 세 번째 회전한다.

위에서 언급한 표기법은 이를 다음과 같이 요약할 수 있다: XYZ 시스템의 세 가지 원소 회전은 z, x' 및 z″에 대하여 발생한다.실제로 이 시퀀스는 종종 z-x'z-z로 표기된다.적절한 오일러 각도와 Tait-Bryan 각도와 연관된 회전 축 집합은 일반적으로 이 표기법을 사용하여 명명된다(자세한 내용은 위 참조).때때로 동일한 순서를 단순히 z-x-z, Z-X-Z 또는 3-1-3이라고 부르기도 하지만, 이 표기법은 외인 회전 시 사용되는 것과 동일할 수 있기 때문에 모호할 수 있다.이 경우 회전이 본질적인 것인지 아니면 외적인 것인지 별도로 명시할 필요가 있게 된다.

회전 행렬은 일련의 내적 회전을 나타내기 위해 사용될 수 있다.예를 들어.

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta)Z(\gamma )}$

column 벡터를 사전 분해하는 데 사용되는 경우 x-y'-z″ 축에 대한 내적 회전 구성을 나타낸다.

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta)X(\alpha )}$

행 벡터를 후행 벡터에 사용할 때 정확히 동일한 구성을 나타낸다.자세한 내용은 회전 행렬 정의의 모호성을 참조하십시오.

외인 회전

외인 회전은 고정 좌표계 xyz의 축에 대해 발생하는 원소 회전이다.XYZ 시스템은 회전하는 반면 XYZ는 고정되어 있다.XYZ 중첩 xyz로 시작하여, XYZ의 목표 방향에 도달하기 위해 세 개의 외부 회전 구성을 사용할 수 있다.오일러 또는 타이트-브리안 각(α, β, γ)은 이러한 원소 회전의 진폭이다.예를 들어 다음과 같이 목표 방향에 도달할 수 있다.

• XYZ 시스템은 α만큼 z축을 중심으로 회전한다.X축은 이제 X축에 대한 각도 α에 있다.
• XYZ 시스템은 β에 의해 X 축을 중심으로 다시 회전한다.Z축은 이제 z축에 대하여 β 각도에 있다.
• XYZ 시스템은 γ에 의해 z축에 대해 세 번째 회전한다.

요컨대, 세 가지 원소 회전은 z, x, z에 대해 일어난다.실제로 이 시퀀스는 종종 z-x-z(3-1-3)로 표시된다.적절한 오일러 각도와 Tait-Bryan 각도와 연관된 회전 축 집합은 일반적으로 이 표기법을 사용하여 명명된다(자세한 내용은 위 참조).

회전 행렬은 일련의 외부 회전을 나타내기 위해 사용될 수 있다.예를 들어.

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta)X(\alpha )}$

column 벡터를 사전 분해하는 데 사용되는 경우 x-y-z 축에 대한 외측 회전 구성을 나타낸다.

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta)Z(\gamma )}$

행 벡터를 후행 벡터에 사용할 때 정확히 동일한 구성을 나타낸다.자세한 내용은 회전 행렬 정의의 모호성을 참조하십시오.

내적 회전과 외적 회전 사이의 변환

모든 외적 회전은 동일한 각도에 의한 내적 회전과 동일하지만 원소 회전 순서를 거꾸로 한 것과 같으며, 그 반대의 경우도 마찬가지다.예를 들어, α, β, α에 의한 내적 회전 x-y'-z″은 α, β, α에 의한 외적 회전 z-y-x와 동등하다. 둘 다 행렬로 표현된다.

${\displaystyle R=X(\alpha )Y(\beta)Z(\gamma )}$

R이 다중 열 벡터 사전 및 행렬에 사용되는 경우

${\displaystyle R=Z(\gamma )Y(\beta)X(\alpha )}$

R이 다중 행 벡터 후기에 사용되는 경우.자세한 내용은 회전 행렬 정의의 모호성을 참조하십시오.

다중 사전 사례에서 변환의 증거

내인성 회전 시퀀스 x-y'-z of의 회전 행렬은 오른쪽에서 왼쪽으로 순차적 내인성 원소 회전을 통해 얻을 수 있다.

$(\displaystyle R=Z'Y'X.}$

이 과정에서 본질적인 회전 순서에 관련된 3개의 프레임이 있다.0 프레임을 초기 프레임으로, 1차 회전 후 x축을 중심으로 1차 회전 후 프레임 1을, 2차 회전 후 2차 회전 후 프레임 3을 z축 중심으로 3차 회전으로 나타내자.

이 세 프레임 중에서 회전 행렬을 나타낼 수 있으므로 왼쪽 어깨 지수를 사용하여 표현 프레임을 나타내자.다음 표기법은 프레임 a를 프레임 b로 변환하고 프레임 c에 표현되는 회전 행렬을 의미한다.

${\displaystyle {}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.}$

회전이 발생하는 프레임에 표시된 내적 요소 회전 행렬은 해당 외부 요소 회전 행렬의 값과 동일하다.

${\displaystyle {}^{0}\!R_{1\오른쪽 화살표 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\오른쪽 화살표 1}=Y,\quad {}^{2}\!R_{3\오른쪽 화살표 2}=Z.}$

프레임 0에 표시된 내적 요소 회전 행렬 Y'와 Z'는 다른 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}Y'&={}^{0}\!R_{2\오른쪽 화살표 1}\\\&={}^{0}\!R_{1\오른쪽 화살표 0}{}^{1}\!R_{2\오른쪽 화살표 1}{}^{0}\!R_{1\오른쪽 화살표 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z'&={}^{0}\!R_{3\오른쪽 화살표 2}\\\&={}^{0}\!R_{1\오른쪽 화살표 0}{}^{1}\!R_{3\오른쪽 화살표 2}{}^{0}\!R_{1\오른쪽 화살표 0}^{-1}\&=X\왼쪽({}^{1}\!R_{2\오른쪽 화살표 1}{}^{2}\!R_{3\오른쪽 화살표 2}{}^{1}\!R_{2\오른쪽 화살표 1}^{-1}\오른쪽)X^{-1}\&=XYZY^{-1}X^{-1}\end{aigned}}}$

위의 두 방정식은 첫 번째 방정식으로 대체된다.

${\displaystyle {\reasoned}R&=Z'YX\\&=\왼쪽(XYZY^{-1}X^{-1}\오른쪽)\왼쪽(XYX^{-1}\오른쪽)X\\&=XYZY^{-1}\왼쪽(X^{-1}X\오른쪽)Y\왼쪽(X^{-1}X\오른쪽)\\&=XYZ\왼쪽(Y^{-1}Y\오른쪽)\\&=XYZ\end{aigned}}$

따라서 내인성 원소 회전 순서의 회전 행렬은 역외 원소 회전 순서의 회전 행렬과 동일하다.

$R=Z"Y'X=XYZ.}$

참고 항목

• 행렬 분해
• 기븐스 회전

참조