데비 함수

수학에서 데비 함수 계열은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}\int_{0}^{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}\,dt.}$

함수는 피터 데비예에 경의를 표하여 이름이 붙여졌는데, 피터 데비예는 1912년 현재 데비예 모델이라고 불리는 것의 열 용량을 분석적으로 계산했을 때 이 함수(n = 3)를 우연히 발견했다.

수학적 특성

다른 기능과의 관계

Debye 함수는 다변량(polylogarithm.

시리즈 확장

그들은 시리즈 확장을 하고^[1] 있다.

${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\frac {B_{2k}}{2k+n(2k)!}}}x^{2k},\cHB x <2\pi ,\\\\geq 1,}$

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$는 n번째 베르누이 번호다.

값 제한

${\displaystyle \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$

if ${\displaystyle \Gamma}$이(가) 감마 함수이고 $\zeta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \zeta }$이(가) Riemann 제타 함수인 경우, ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \gg }$ 0 ${\displaystyle$ x$\gg$ 0$}$의 경우$,$

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$^[2]

파생상품

파생상품은 관계에 따른다.

${\displaystyle xD_{n}^{\premy }(x)=n(B(x)-D_{n}(x)),}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $B{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= x${\displaystyle }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{x}{}^{}}$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)$는 베르누이 함수다$$.

솔리드 스테이트 물리학의 응용 프로그램

더 데비 모델

Debye 모델은 진동 상태의 밀도를 가지고 있다.

${\displaystyle g_{\rm {D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\rm {D}}^{3}}}}$ for ${\displaystyle 0\leq \omega \leq \omega _{\rm {D}}}$

데브이 주파수_D Ω으로.

내부 에너지 및 열 용량

내부 에너지에 g 삽입

$\displaystyle U=\int _{0}^{\infit }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$

보스-아인슈타인 분포로

${\displaystyle n}$ (${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\exp }{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle \frac{\Omega }{}}$/ k ${\displaystyle \frac{B{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T_{}}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\$ {$B}T)-1$ .

획득하다

${\displaystyle U}$= ${\displaystyle {3k\mathrm{}}_{}}$ B T ${\displaystyle D{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {D/}_{}k{}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle U=3k_{\rm{B}T\,D_{3}(\hbar \ophomega _{\rm {D}/k_{\rm {B}T)}$.

열 용량은 그것들의 파생물이다.

평균 제곱 변위

와베넘버 q에서 X선 회절 또는 중성자 회절의 강도는 데비-월러 계수 또는 람-뫼스바우어 계수에 의해 주어진다.등방성 시스템의 경우 형태를 취한다.

${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$2 ${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$exp${\displaystyle {}^{}{u}_{}^{}}$ x ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp(-q^{2}\langle u_{x}^{2}}\rangle$ $$$}$ )

이 표현에서 평균 제곱 변위는 평형 위치에서 원자의 변위를 설명하는 벡터 u의 카르테시안 성분 u를_x 한 번만 의미한다.조화도를 가정하고 정상 모드로 ^[3]발전시키면

${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm{B}}}}T}}}\int _{0}^{{0}^{\inflt }d\오메가 {\frac {k_{\rm {B}}}}T}{\hbar \hbar \omega )}g(\omega )\cot {\frac {\hbar \hbar \omega}{2k_{\rm {B}}T}}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\rm{B}}}}T}}}\int _{0}^{{0}^{\inflt }d\오메가 {\frac {k_{\rm {B}}}}T}{\hbar \i1}g(\omega )\왼쪽[{\frac {2}{\exp(\hbar \opene /k_{\rm{B}T)-1+1\right].}$

Debye 모델에서 상태 밀도를 삽입하면

${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\rm {D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\rm {B}}$$T}{\hbar \omega_{\rm {D}}\오른쪽)$$D_{1}\왼쪽({\frac {\hbar \bar \omega_{\rm {D}}{k_{\rm {B}})$$T}}\오른쪽)+{\frac {1}{1$}{2$}}\오른쪽$ .

위의 동력 ${\displaystyle {시리즈\mathrm{}}_{}}$ 확장으로부터 D$$1 {\$displaystyle D_{1$}는 고온에서 평균 제곱 변위가 선형이라는 것을 따른다$$.

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle W}$ (${\displaystyle q}$) = ${\displaystyle \frac{{3k\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{T_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{q\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\Omega \mathrm{}}_{}^{}}{}}$ D ${\displaystyle \frac{2_{\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$$M\m\omega_{\rm$}^{\$rm}:{$2}}.

$\hslash {\displaystyle }$ ${\displaystyle \hbar }$이(가) 없다는 것은 이것이 고전적인 결과라는 것을 나타낸다$$.$D{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle D_{1}(x)}$이(가) x의 경우 0으로 가기$$ 때문에${\displaystyle ,\mathrm{}}$T${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x\$$to \$$fty$ $}$에 대해서는 다음이 $.$

${\displaystyle \mathrm{2W}(q}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3\frac{\mathrm{}}{}}$ 4 ${\displaystyle \hslash \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ m ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{D\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\$ {$3}{4}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}:{M\hbaromega _${\$rm{$D}}}}}}}}$$ 0점 모션.

참조

추가 읽기

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. "Chapter 27". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• MathWorld의 "Debye 함수" 항목, 사전 인자 n/xⁿ 없이 Debye 함수를 정의함

구현

• Fortran 77 코드: Alan MacLeod by Mathematical Software 트랜잭션
• 포트란 90 버전
• GNU 과학 도서관의 C 버전