확정 이차형

수학에서, 확실한 2차 형태는 V의 모든 0이 아닌 벡터에 대해 동일한 부호(항상 양수 또는 항상 음수)를 갖는 어떤 실제 벡터 공간 V에 대한 2차 형태다.그 기호에 따르면, 이차 형태를 양-확정형 또는 음-확정형이라고 한다.

반정형(또는 반정형) 2차형은 "항상 양성"과 "항상 음성"이 각각 "항상 음성"과 "항상 음성"으로 대체되는 것을 제외하고는 거의 동일한 방식으로 정의된다.즉, V의 일부 비 0 벡터에 대해 0 값을 취할 수 있다.

무한 이차 형태는 양수 값과 음수 값 모두를 차지하며 등방성 이차 형태라고 불린다.

보다 일반적으로, 이러한 정의는 순서가 지정된 필드 위의 벡터 공간에 적용된다.^[1]

연관된 대칭 이선형

2차 형태는 같은 공간에 걸쳐 대칭 이선형 형태에 일대일 대응한다.^[2]대칭 이선형식은 연관된 이차형 형태에 따라 확정형, 반정형 등으로 설명되기도 한다.2차 형식 Q와 연관된 대칭 이선형 형식 B는 다음 방정식으로 관련된다.

${\displaystyle{\begin}Q(x)&=B(x,x)\\B(x,y)&=B(y,x)={\frac {1}{1}{1}(x+y)-Q(y)\end{igned}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{후자}}$의 공식은 확장 $Q{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle B}$( ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x}$+ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x+y)=B(x+y,x+y)}$에서 발생한다$.$

예

예를 들어 $V{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$2차 형태를 고려하십시오.

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}^{2}+c_{2}}}{x_{2}}^{2}}$

여기서 x = (x₁, x₂) $\in {\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \in V}$ 및 c와₁ c는₂ 상수다.c₁ > 0, c₂ > 0일 경우 2차 형식 Q는 양수(양수${\displaystyle {}_{}}$이므로$,{\displaystyle }$ Q는 (${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2 )${\displaystyle \ne }$ ( 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\neq (0,0$)로 평가한다$.$$}}$ 상수 중 하나가 양수이고 다른$$ 상수가 0이면 Q는 양의 세미데마인테고 항상 0 또는 양수로 평가한다.c₁ > 0과 c₂ < 0, 또는 그 반대인 경우 Q는 비한정이고 때로는 양수로, 때로는 음수로 평가한다.c₁ < 0과 c₂ < 0인 경우, 2차 형태는 음의-확정성이며 (${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle }$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ (0${\displaystyle ,0}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (x_{1},x_{2})\neq (0,0$)로 평가한다$.$$}}$ 그리고$$ 상수 중 하나가 음수이고 다른 상수가 0이면 Q는 음수 세미데마나이트로 항상 0 또는 음수로 평가한다.

일반적으로 두 변수의 2차 형식도 xx의₁₂ 교차 제품 항을 포함한다.

${\displaystyle Q(x)=c_{1}{x_{1}^{2}+c_{2}}}{x_{2}}^{2}+2c_{3}x_{1}x_{2}.}$

만약 c1>0{\displaystyle c_{1}>. 0}일 경우 1c2− c32>;0,{\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>, 0,}negative-definite 만약 c1<0{\displaystyle c_{1}<. 0}일 경우와 c1c2− c32을 c;0,{\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}이 2차 형식positive-definite 있다.}^{2}>, 0,}과indefinite if ${\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0.}$ It is positive or negative semidefinite if ${\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}=0,}$ with the sign of the semidefiniteness coinciding with the sign of ${\displaystyle c_{1}.$$}$

이 이변성 2차 형태는 원뿔 단면을 중심으로 한 맥락에서 나타난다.위의 일반적인 2차 형태를 0과 동일시한다면, 그 결과로 나타나는 방정식은 2차 형태가 양수 또는 음수-정수이면 타원의 방정식, 비한정일 경우 하이퍼볼라, c $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{3\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{\mathrm{}}}$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle c_{1}c_{3}}^{2}=0$}이다$.$$}$

n차원 공간에서의 유클리드 규범의 제곱은 가장 흔히 사용되는 거리 측정이다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

2차원에서 이것은 두 점 사이의 $거리$가 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}$축$과 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle x_{2$}}축을$$ 따라 제곱한 거리 합계의 제곱근임을 의미한다.

행렬 양식

2차 형태는 다음과 같이 행렬의 관점에서 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle x^{\text}T}}Ax}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 x는 모든 n×1 데카르트 벡터$({\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots ,}$ ${\displaystyle x_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) T ${\$$모든$ 원소가 0이 아닌 T$$$}}},$ 위첨자는 전치사를 나타내며, A는 n×n 대칭 행렬이다.A가 대각선인 경우 이는 제곱 변수를 포함하는 항만 포함하는 비 매트릭스 형식과 동일하지만, 비 매트릭스 형식이 0이 아닌 외부 대각선 요소를 포함하는 경우 비 매트릭스 형식에는 두 개의 다른 변수의 제품과 관련된 일부 항도 포함된다.

이 2차 형태의 긍정 또는 부정의 정의 또는 반정의 정의, 또는 불침투성은 A의 동일한 속성에 해당하며, A의 모든 고유값을 고려하거나 주요 미성년자 모두의 징후를 확인하여 확인할 수 있다.

최적화

명확한 이차적 형태는 그 자체로 최적화 문제에 쉽게 도움이 된다.행렬 2차 형태가 다음과 같이 선형 항으로 증강된다고 가정합시다.

${\displaystyle x^{\text}T}}Ax+2b^{\text{T}}x,}$

여기서 b는 상수의 n×1 벡터다.최대값 또는 최소값의 1차 조건은 매트릭스 파생상품을 영벡터(zero vector)로 설정함으로써 찾을 수 있다.

${\displaystyle 2Ax+2b=0,}$

부여

${\displaystyle x=-A^{-1}b}$

A가 비논리적인 것이라고 가정한다.2차적 형태, 즉 A가 양수적 결정체일 경우 최소의 2차적 조건이 이 시점에서 충족된다.2차적 형식이 음-확정형일 경우 최대치를 위한 2차적 조건이 충족된다.

그러한 최적화의 중요한 예는 데이터 집합 내의 완벽한 적합성으로부터의 편차 제곱의 합을 최소화하는 추정 매개변수의 벡터를 찾는 다중 회귀 분석에서 발생한다.

참고 항목

• 등방성 이차형
• 양확함수
• 양-확정 행렬
• 양극화 정체성

메모들

참조

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, p. 578, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.