정의별 확장

수학 논리학에서는, 더 구체적으로, 1차 이론의 증명 이론에서, 정의에 의한 확장은 정의에 의한 새로운 기호의 도입을 공식화한다.예를 들어 멤버가 없는 세트에 기호${\displaystyle \mathrm{}}$∅ ${\displaystyle \emptyet }$을(를) 도입하는 것은 순진한 세트 이론에서 흔히 볼 수 있다.1차 이론의 공식적인 설정에서, 이것은 이론에 "모든 x에 대해 x는$$$display$ {\displaystyle \emptyeset $}$의 구성원이 아니라는$$뜻의 새로운 상수 ${\displaystyle \mathrm{constant}}$${\$$displaystyle$ \$empt$${\displaystyle \mathrm{\}}}$과 새로운 공리 $∀$ x$$($x\notin \$$emptysset$ $)}$을 추가함으로써 이루어질 수 있다.$$그러면 그렇게 하는 것은 정의에서 예상해야 할 것처럼 본질적으로 낡은 이론에 아무것도 추가하지 않는다는 것을 증명할 수 있다.더 정확히 말하면, 새로운 이론은 낡은 이론의 보수적인 확장이다.null

관계 기호의 정의

Let ${\displaystyle T}$ be a first-order theory and ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}$ a formula of ${\displaystyle T}$ such that ${\displaystyle x_{1}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$ are distinct and include the variables free in ${\displaystyle \varphi (x_1,\dots ,x_n)}$${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n})}$. Form a new first-order theory ${\displaystyle T'}$ from ${\displaystyle T}$ by adding a new ${\displaystyle n}$-ary relation symbol ${\displaystyle R}$, the logical axioms featuring the symbol ${\displaystyle R}$ and the new axiom

${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(R(x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \phi (x_{1},\dots ,x_{n}))}$,

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 정의 공리라고 함$.$

If ${\displaystyle \psi }$ is a formula of ${\displaystyle T'}$, let ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ be the formula of ${\displaystyle T}$ obtained from ${\displaystyle \psi }$ by replacing any occurrence of ${\displaystyle R(t_{1},\dots ,t_{n})}$ by ${\displaystyle \varphi (t_1}$${\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}$ (changing the bound variables in ${\displaystyle \phi }$ if necessary so that the variables occurring in the ${\displaystyle t_{i}}$ are not bound in ${\displaystyle \phi (t_{1},\dots ,t_{n})}$).그런 다음 다음을 보류하십시오.

1. $↔{\$\psi $\psi$ \$psi ^{\ast }}$은(는) $T{\displaystyle {}^{}}$ $′{\$ T$\text{'}\}$ 에서 확인할 수 있으며$$,
2. ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 보수적인 확장이다$.$

$T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 보수적인 확장이라는$$ 사실은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$의 정의 공리를 새로운 이론의 입증에 사용할 수 없음을 보여준다$$$$.The formula ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ is called a translation of ${\displaystyle \psi }$ into ${\displaystyle T}$. Semantically, the formula ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ has the same meaning as ${\displaystyle \psi }$, but the defined symbol ${\displaystyle R}$ has been eliminated

함수 기호의 정의

Let ${\displaystyle T}$ be a first-order theory (with equality) and ${\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$ a formula of ${\displaystyle T}$ such that ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x_{1}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$ are distinct and include the$\varphi {\displaystyle (y}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle \phi(y,x_{1},\dots,x_{n})$에 없는 변수$.$ 우리가 증명할 수 있다고 가정해 보십시오.

${\displaystyle \forall x_{1}\forall \forall x_{n}\forall !y\phi(y,x_{1},\fores,x_{n})}$

in ${\displaystyle T}$, i.e. for all ${\displaystyle x_{1}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$, there exists a unique y such that ${\displaystyle \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})}$. Form a new first-order theory ${\displaystyle T'}$ from ${\displaystyle T}$ by adding 새 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -ary$$ 함수 $기호{\displaystyle }$ f ${\displaystyle$ f$\},$ 기호 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$를 나타내는 논리적 공리 및 새 공리

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle f}$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$) , ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$1 ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle \forall x_{1}\forall$ x_{n}\$forall x_{n}\phi$ ($f(x_{1},\n}), x_{1},x_{n}},$n$\}\}\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},\},$ {n},},},},},},},

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 정의 공리라고 한다$.$

$\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$을(를) $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $T'}$의 원자$$ 공식으로 $하자$$.$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ^${\$ }을$($를) 다음과 같이 반복적으로 정의한다$$.If the new symbol ${\displaystyle f}$ does not occur in ${\displaystyle \psi }$, let ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ be ${\displaystyle \psi }$. Otherwise, choose an occurrence of ${\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{n})}$ in ${\displaystyle \psi }$ such that ${\di$$splaystyle f}$은(는)$$t i {\$displaystyle t_$i$}$라는 용어로 발생하지 않으며$$, 이 발생을 새로운 변수 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$로 대체하여$$ $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$에서 가져오도록$$ 한다$.$ 그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle$ $f}$은 $\chi$}에서 }보다 한$$ 번 더 적게 발생하므로$$${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi},$${\$ 공식은 이미$$ 정의되었으며, ${\$\ \ $\{\state$}은$($는) 그대로 두었다$$.

${\displaystyle \forall z(z,t_{1},\filename,t_{n})\오른쪽 화살표 \chi ^{\ast }}$

(필요한 경우$$ t ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에서 발생하는 변수가 $\varphi {\displaystyle (z,}$ ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \phi(z,t_{1},\t_{n}})$에 구속되지 않도록$$ $bound{\displaystyle }$ ${\displaysty$ $\$$pi}$에서 바인딩 변수를 변경하십시오.)일반 공식 ${\displaystyle \psi }$의 경우,$$${\$$ast }$ 공식 ψ ${\displaystyle \$$chi$$$}을(를) ${\$로 모든 발생을 교체하여 다음과 같은 공식을 형성한다$.$

1. $↔{\$\psi $\psi$ \$psi ^{\ast }}$은(는) $T{\displaystyle {}^{}}$ $′{\$ T$\text{'}\}$ 에서 확인할 수 있으며$$,
2. ${\displaystyle T^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 보수적인 확장이다$.$

The formula ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ is called a translation of ${\displaystyle \psi }$ into ${\displaystyle T}$. As in the case of relation symbols, the formula ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ has the same meaning as ${\displaystyle \psi }$, but the new symbol ${\displaystyle f}$ h탈락한 바와 같이null

이 단락의 구성은 0-ari 함수 기호로 볼 수 있는 상수에도 적용된다.null

정의별 확장

위와 같은 관계 기호와 함수 기호를 연속적으로 소개하여$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 얻은$$ 1차 이론 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ T$'}$을(를) $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle$$T$$\}$의 정의에 의해 확장이라고 한다$.$ $그렇다면{\displaystyle }$ T${\displaystyle {}^{}}$$\$ {\$displaystystyle T}$의 보수적인 확장이다$$.any formula ${\displaystyle \psi }$ of ${\displaystyle T'}$ we can form a formula ${\displaystyle \psi ^{\ast }}$ of ${\displaystyle T}$, called a translation of ${\displaystyle \psi }$ into ${\displaystyle T}$, such that ${\displaystyle \psi \leftrightarrow \psi ^{\ast }}$$T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$에서 증명할 수 있다$.$ 그러한 공식은 고유하지 않지만, T에서 두 가지 공식이 동등하다는 것을 증명할 수 있다.

실제로 T의 정의 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$에 의한 확장은 원래 이론 T와 구별되지 않는다.사실 $T{\displaystyle {}^{}}$′ ${\$의 공식은 T로 번역하는 것을 줄인다고 생각할$$ 수 있다.이러한 약어를 실제 공식으로 조작하는 것은 정의에 의한 확장이 보수적이라는 사실에 의해 정당화된다.null

예

• 전통적으로 1차 집합 이론 ZF는 원시 관계 기호로는 유일하게${\displaystyle =}($평등)와${\displaystyle }$and ${\displaystyle \in$}($$멤버쉽)을 가지고 있으며 함수 기호는 없다.그러나 일상적인 수학에서는 이항 관계 기호$⊆{\displaystyle \subseteq$ 상수${\displaystyle \mathrm{}}${ ${\displaystyle \emptyset$ 단항 함수 기호 P(전원 세트 연산) 등과 같은 다른 기호들이 많이 사용된다.이 모든 기호는 사실 ZF의 정의에 의한 확장에 속한다.
• $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 유일한 원시 기호가 바이너리 제품 ×인 그룹에 대한 1차 이론으로 하자$$.T에서 우리는 모든 x에 대해 x×y = y×x = x와 같은 고유한 요소 y가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.따라서 우리는 T에 새로운 상수 e와 공리를 추가할 수 있다.

${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ${\displaystyle x}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle e}$= ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle x}$)$${\$displaystyle \forall$ x$(x\property$ e$=x${\$text{$ 및 }}$e\put$ x=$x$

$그리고{\displaystyle }$ 우리가 얻은 것은 T ${\displaystyle T}$의 정의 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $T$$'}$에 의한 확장이다$.$ 그러면 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ T$'}$에서는 모든 xxxy=y×x=e와 같은 고유한 y가 존재한다는 것을 증명할$$ 수 있다.따라서 $1차{\displaystyle {}^{}}$ 이론 $T{\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$$f{\displaystyle }$${\$에서 단일$$ 함수 기호 f {\$displaystyle$ f}와$$공리를$$ 추가하여 얻은$$ 1차 이론 T ″ ${\$ T'}

${\displaystyle \f(x)=e{\text{ 및 }f(x)\put x=e)}$

$T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 정의에 의한 확장자$.$ 일반적으로 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$는 $x{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ x$^{-1}$로 표시된다$.$

참고 항목

• 보수연장
• 새 상수 및 함수 이름으로 확장

참고 문헌 목록

• SC 클레네(1952년), 변성술 입문, D.반 노스트랜드
• E. 멘델슨(1997년).수학 논리(4차 개정), 채프먼 & 홀 소개.
• J.R. 션필드(1967년).수학 논리학, 애디슨-웨슬리 출판사 (AK Peters에 의해 2001년에 재인쇄)