새 상수 및 함수 이름으로 확장

수학논리학에서는 일정한 조건하에서 새로운 상수나 함수이름으로 연장이 모순을 일으키지 않을 것이라는 확신을 가지고 이론을 확장할 수 있다.정의에 의한 확장은 아마도 가장 잘 알려진 접근법일 것이다. 그러나 그것은 원하는 속성을 가진 물체의 고유한 존재를 요구한다.새로운 이름의 추가 또한 독특함 없이 안전하게 이루어질 수 있다.

닫힌 공식이

${\displaystyle \cHB_{1}\ldots \cHB_{m}\,\varphi (x_{1},\ldots ,x_{m}}}}}}$

1차 이론 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 정리$.$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는 $새로운{\displaystyle }$ 상수로 언어를 확장하여$$ T ${\displaystyty T}$로부터 얻은 이론이다$$.

${\displaystyle a_{1},\ldots,a_{m}}$

그리고 새로운 공리 추가

${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle m_{}}$) ${\displaystyle \varphi (a_{1},\ldots, a_{m$^{[citation needed]}

그렇다면 ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 보수적인 확장인데$,$ 이것은 $이론{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}$이론{\displaystyle }$ T ${\displaysty T}$와 동일한 이론 집합(${\displaystyle {즉}_{}}$, 상수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을 갖는다는 것을 의미한다$.$

이러한 이론은 또한 다음과 같은 새로운 기능적 기호를 도입함으로써 보수적으로 확장될 수 있다.^[1]

Suppose that a closed formula ${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\exists y\,\!\,\varphi (y,{\vec {x}})}$ is a theorem of a first-order theory ${\displaystyle T}$, where we denote ${\displaystyle {\vec {x}}:=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. Let ${\displaystyle T_1}$${\displaystyle T_{1}}$ be a theory obtained from ${\displaystyle T}$ by extending its language with a new functional symbol ${\displaystyle f}$ (of arity ${\displaystyle n}$) and adding a new axiom ${\displaystyle \forall {\vec {x}}\,\varphi (f({\vec {x}}),{\vec {x}})}$.그렇다면 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 보수적인 확장이다$.$ 즉, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$와 ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}의 이론은 기능 $기호{\displaystyle }$ f$${\$displaystystyle f}$를 포함하지 않는 동일한 이론들을 증명한다$$.$$

쇼엔필드는 새로운 함수 이름에 대한 형태로 정리를 기술하고 있으며, 상수는 제로 인수의 함수와 동일하다.순서가 정해진 튜플을 인정하는 형식 시스템에서, 여기에 나타난 바와 같이 복수 상수에 의한 확장은 튜플 원소의 값을 갖는 새로운 상수 튜플과 새로운 상수 이름을 추가함으로써 이루어질 수 있다.

참고 항목

• 보수연장
• 정의에 의한 확장

참조

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