밀도 정리(범주 이론)

수학의 한 분야인 범주 이론에서 밀도 정리는 집합의 모든 사전 세트가 표준적인 방식으로 표현 가능한 사전 세트의 콜리미트라고 말한다.^[1]

For example, by definition, a simplicial set is a presheaf on the simplex category Δ and a representable simplicial set is exactly of the form ${\displaystyle \Delta ^{n}=\operatorname {Hom} (-,[n])}$ (called the standard n-simplex) so the theorem says: for each simplicial set X,

${\displaystyle X\simeq \varinjlim \Delta ^{n}}$

여기서 콜림은 X에 의해 결정된 인덱스 범주에 걸쳐 실행된다.

성명서

Let F be a presheaf on a category C; i.e., an object of the functor category ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$. For an index category over which a colimit will run, let I be the category of elements of F: it is the category where

1. 개체는${\displaystyle }$C에서 개체 U로 구성된 쌍(${\displaystyle U}$, x${\displaystyle }$) ${\displaystyle(U,x)}$과(와) 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ F${\displaystyle (U)}$ ${\displaystyle$ x$\in F(U$
2. 형태론$({\displaystyle U}$, ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$은 형태론 ${\displaystyle u}$: ${\displaystyle U}$→ V ${\displaysty u:$C에서${\displaystyle }$(${\displaystyle Fu}$ ) ( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle (Fu)(y)=x.}$과 같은 U$\to V}$

그것은 건망증이 심한 $functor{\displaystyle }$p :${\displaystyle I}$ → C ${\displaystyle$ p$:$$I\to$ C$\}.$

그 다음 F는 도표의 콜리밋(즉, 펑터)이다.

${\displaystyle I{\overset {p}{\}{\}C\to {\widehat {C}}$

여기서 두 번째 화살표는 요네다 임베딩:${\displaystyle U\mapsto h_{$$U}=\operatorname {Hom}(-,U)}$.

증명

f가 위의 도표를 나타내도록 하자.f의 콜리미트가 F라는 것을 보여주려면, 우리는 보여줄 필요가 있다: C에 있는 모든 Presheaf G에 대해, 자연적인 편견이 있다:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}(F,G)\simeq \operatorname {Hom}(f,\Delta _{G})}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$는 값이 G이고 오른쪽에 Hom이 있는 상수 펑터(constant functor)는$$ 자연 변환 집합을 의미한다.콜리밋의 보편적 속성은 ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{im}}}$→${\displaystyle }$- ${\displaystyle \varinjlim -}$이(가) 대각선 펑터 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle \Delta _{-}$의 좌뇌에 해당하기 때문이다.$}$

이를 위해 ${\displaystyle \alpha }$: f${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\Delta }_{}}$ G ${\$을 자연 변환으로 한다$$.I:의 물체에 의해 색인화된 형태론 계열이다.

${\displaystyle \alpha _{U,x}f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}$

속성을 만족하는 경우: 각 형태론$({\displaystyle U}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle (V}$, ${\displaystyle y}$) ,${\displaystyle u}$: U${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:$$U\to V}$ in I, ${\displaystyle \alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}}$ (since ${\displaystyle f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.$$}$)

The Yoneda lemma says there is a natural bijection ${\displaystyle G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)}$. Under this bijection, ${\displaystyle \alpha _{U,x}}$ corresponds to a unique element ${\displaystyle g_{U,x}\in G(U)}$. We have:

${\displaystyle (Gu)(g_{V,y}=g_{U,x}}}$

because, according to the Yoneda lemma, ${\displaystyle Gu:G(V)\to G(U)}$ corresponds to ${\displaystyle -\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).$$}$

Now, for each object U in C, let ${\displaystyle \theta _{U}:F(U)\to G(U)}$ be the function given by ${\displaystyle \theta _{U}(x)=g_{U,x}}$. This determines the natural transformation ${\displaystyle \theta :$$F\to G$ 실제로 각 형태론$({\displaystyle U}$, x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$, y${\displaystyle }$) ,${\displaystyle u}$: ${\displaystyle U}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:$$u\to$ V$}$에 다음이 있음:

${\displaystyle(Gu\circle \theta _{V})(y)=(G_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circu Fu)(y),}}}$

$({\displaystyle F}$ ${\displaystyle u}$)${\displaystyle }$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (Fu)(y)=x}.$ 분명히$,$ 구성 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ↦ \ ${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$은(으)로 되돌릴 수 있다$$.따라서 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mapsto }$ { ${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$은(는) 필수 자연적 편향이다.

메모들

참조

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.