양전자 집합의 편차

순서론적 수학에서, 양셋의 편차는 부분 순서 집합의 복잡성을 측정하는 순서형 번호다.

포셋의 편차는 링 위에 있는 모듈의 Krull 치수를 서브모듈 포셋의 편차로 정의하는데 사용된다.

정의

사소한 포지션(두 요소가 비교가 되지 않는 포지션)은 편차가 있다고 선언된다 $-\infty$ - $-\infty$ ${\displaystyle$ - $\infit }.$ 내림차인 조건을 만족하지 않는 포지션은 편차가 0이라고 한다.그₀ 다음, 귀납적으로, a > a₁ > ... 원소의 모든 하강 사슬에 대해 a와_n a_n+1 사이에 있는 원소의 유한한 수를 제외한 모든 것이 α 이하의 편차를 갖는다면 poset은 최대 α(서수 α의 경우)에 편차를 갖는다고 한다.편차(존재하는 경우)는 이것이 참인 α의 최소값이다.

모든 포지션에 편차가 있는 것은 아니다.포지셋의 다음 조건은 동일하다.

양전자에는 편차가 있다.
반대편 양전자에는 편차가 있다.
포셋에는 합리적인 숫자에 대한 부분 집합 순서 이형성이 없다(표준 숫자 순서가 있음).

예

양의 정수의 집합은 편차 0을 가지고 있다: 모든 내림차인은 유한하므로 편차에 대한 정의 조건은 공허하게 참이다.그러나, 그것의 반대편 위치에는 편차 1이 있다.

k를 대수적으로 닫힌 장으로 하고 한 변수에서 다항 링 k[x]의 이상 poset을 고려한다.이 포셋의 편차가 반지의 크롤 치수이기 때문에 1이어야 한다는 것을 우리는 알고 있다.이는 k[x]가 내림차인 조건이 없다는 사실(따라서 편차가 0보다 큼)에 해당하지만, 어떤 내림차인에서는 연속적인 요소가 '함께 닫힌다'는 점에 해당한다.예를 들어 $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ 이상( $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ )의 내림 체인( $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ) $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ) $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ( $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ 3 $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ) $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ . $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ . . ${\displaystyle (x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset...$ $}}$ $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ - 이것은 무한 내림차인 것이지만, $(x^{n})$ ( $(x^{n})$ ) ${\displaystyle (x^{n})$ 과 $(x^{n})$ $(x^{n+1})$ ( $(x^{n+1})$ + $(x^{n+1})$ ) ${\displaystyle (x^{n+1})$ 과 같은 두 개의 연속적인 용어에 대해서는 $(x^{n+1})$ 이 용어 사이에 k[x]의 무한 내림차인 체인은 포함되어 있지 않다.

이 예를 더 확장하여 Krull 치수 2가 있는 두 변수인 k[x,y]의 다항식 링을 고려하십시오. $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ 인 $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ x ) $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ 2 $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ) $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ 3 $(x)\supset (x^{2})\supset (x^{3})\supset ...$ ) . . . ${\displaystyle(x)\supset(x^{2})\supset(x^{3})\supset...$ $}$ . Given any two adjacent terms in this chain, $(x^{n})$ and $(x^{n+1})$ , there is an infinite descending chain $(x^{n}y,x^{n+1})\supset (x^{n}y^{2$ $,x^{n+1}\supset (x^{n}y^{3},x^{n+1}}\supset...$ $(x^{n}y,x^{n+1})\supset (x^{n}y^{2},x^{n+1})\supset (x^{n}y^{3},x^{n+1})\supset ...$ 그래서 우리는 두 개의 인접한 용어 사이에 더 많은 무한 내림차인이 존재하도록 하강 사슬을 찾을 수 있다. - 우리는 두 겹 깊이의 내림차슬을 '둥지' 수 있다.이것을 확장하면, n개의 변수에 있는 다항식 링에서, 더 이상 깊이가 없고 더 이상 n개의 층으로 내려가는 사슬을 중첩할 수 있다는 것을 쉽게 알 수 있다.이것은 본질적으로 이상 징후가 편차 n을 갖는다는 것을 의미하는 것이다.