딕 효과

딕 효과(Dick effect, 이하 "효과")는 원자분수 및 광학 격자 시계와 같은 현대 원자 시계의 주파수 안정성에 대한 중요한 제한입니다.에일리어싱 효과:필요한 로컬 오실레이터(LO)의 고주파 노이즈는 LO의 주파수를 원자의 주파수에 고정시키는 주기적인 질문 프로세스에 의해 0에 가까운 주파수로 앨리어싱(헤테로다이닝)됩니다.노이즈는 사용 가능한 원자 또는 광자의 수에 따라 결정되는 클럭의 고유한 통계적 불안정성을 모방하고 추가합니다.그렇게 함으로써, 그 효과는 원자 시계의 안정성을 저하시키고 LO 성능에 새롭고 엄격한 요구를 가합니다.

임의의 주어진 질문 프로토콜에 대해, LO 노이즈의 스펙트럼 특성과 함께 양자-기계 감도 함수를 사용하여 효과를 계산할 수 있습니다.G. John Dick에 의해 소개된 이 계산 방법론은 현재 원자파 간섭계, 주파수 표준 비교 및 기타 측정 과학 분야의 방법론 개발뿐만 아니라 첨단 마이크로파 및 광 주파수 표준 설계에 널리 사용되고 있습니다.

배경

일반적

주파수 안정성

원자 시계의 주파수 안정성은 일반적으로 앨런 편차 σ ${\displaystyle y_{}}$(${\displaystyle }$τ$)$ {\$displaystyle _{y}(\tau)}$로 특징지어지는데$,$ 이는 평균 시간$$τ {\displaystyle \$tau }$의 함수로서 예상되는 분수 주파수의 통계적 변화의 척도입니다$.$ 일반적으로,클럭 출력의 단기 변동(주파수 또는 위상 잡음)은 고성능을 달성하기 위해 오랜 시간 동안 평균을 내야 합니다.

이러한 안정성은 어떤 절대 표준과 평균 주파수의 예상 차이를 추정하는 시계의 정확도와 같지 않습니다.^[2]

우수한 주파수 안정성은 시계의 사용성에 매우 중요합니다.정확도는 우수하지만 주파수 안정성이 떨어지는 시계는 한 번의 고정밀 테스트 또는 비교를 위해 일주일 이상의 평균을 필요로 할 수 있습니다.이러한 시계는 안정성이 더 높은 시계만큼 유용하지는 않을 것입니다; 며칠이 아닌 몇 시간 안에 테스트를 완료할 수 있는 시계입니다.

원자시계의 안정성 및 작동상태

원자와 LO 사이의 불완전한 피드백으로 인한 원자 시계로부터의 출력의 불안정성은 이전에 잘 이해되었습니다.^[3][4]이러한 불안정성은 단기적인 특성을 가지고 있으며 일반적으로 시계의 효용에 영향을 미치지 않습니다.반면, 이러한 효과는 원자 시계에 대한 근본적인 광자 또는 원자 계수 제한으로 인해 발생하는 것과 동일한 특성(그리고 일반적으로 훨씬 더 큰 특성)을 갖는 주파수 잡음을 발생시킵니다.

수소와 암모니아(수소 매서, 암모니아 매서)를 제외하면 원자 시계의 원자나 이온은 사용 가능한 출력 신호를 제공하지 않습니다.대신, 전자 또는 광학 로컬 오실레이터(LO)가 필요한 출력을 제공합니다.LO는 일반적으로 우수한 단기 안정성을 제공합니다. 장기 안정성은 원자의 피드백에 의해 주파수 가변성을 수정함으로써 달성됩니다.

고급 주파수 표준에서 원자 심문 과정은 일반적으로 본질적으로 순차적입니다. 상태 준비 후, 원자의 내부 시계는 일정 시간 동안 LO의 신호가 있는 상태에서 진동할 수 있습니다.이 기간이 끝나면, 원자들은 상태가 바뀌었는지(그리고 얼마나 변했는지)를 결정하기 위해 광학 신호에 의해 조사됩니다.이 정보는 LO의 주파수를 보정하는 데 사용됩니다.이를 반복하면 LO 자체보다 훨씬 높은 안정성으로 지속적인 작동이 가능합니다.사실, 그러한 피드백은 이전에는 LO 출력의 안정성이 원자에 대한 통계적 한계에 장기간 접근할 수 있도록 하는 것으로 생각되었습니다.

효과

그 효과는^[5][6] 이 행복한 그림을 방해하는 불안정의 추가적인 원인입니다.이는 LO의 위상 잡음과 문의 절차로 인한 피드백 이득의 주기적 변동 사이의 상호작용에서 발생합니다.취조 기간과 관련된 주파수에서 0에 가까운 주파수에서 피드백 게인 별칭(또는 헤테로다인) LO 노이즈의 시간적 변동은 측정 시간이 증가함에 따라 느리게 개선되는 불안정성(Allan deviation)을 초래합니다.불안정성이 증가하면 원자 시계의 유용성이 제한되고 요구되는 LO에 대한 성능(및 관련 비용)에 대한 엄격한 요구 사항이 발생합니다. (원자의 초고 안정성에 대한 피드백으로 출력이 향상될 수 있도록) 우수한 안정성을 제공해야 할 뿐만 아니라, 이제 우수한(저) 위상 노이즈를 가져야 합니다.e.

단순하지만 불완전한 효과 분석은 다음 질문을 위한 원자를 준비하는 데 필요한 데드 타임 동안 LO 주파수 또는 위상의 변화가 완전히 감지되지 않으므로 수정되지 않을 것임을 관찰함으로써 확인할 수 있습니다.그러나 이 접근 방식은 LO의 신호 펄스에 노출되는 동안 원자의 양자 역학적 반응을 고려하지 않습니다.이것은 추가적인 시간 의존적 반응으로, 민감도 함수를 통해 효과를 분석할 때 계산됩니다.^[5][7]

정량적

여기 그래프는 석영 LO를 사용한 포획 이온 주파수 표준에 대한 효과 예측을 보여줍니다.^[5]석영 발진기는 우수한 안정성 외에도 매우 잘 정의된 노이즈 특성을 가지고 있습니다.주파수 변동은 매우 광범위한 주파수 및 시간에 걸쳐 깜박이는 주파수로 특징지어집니다.플리커 주파수 노이즈는 여기 그래프의 쿼츠 LO에 표시된 것처럼 일정한 앨런 편차에 해당합니다.

그림의 "예상" 곡선은 원자의 피드백에 의해 LO의 안정성이 얼마나 향상되는지를 보여줍니다.측정 시간이 증가함에 따라(공격 시간보다 몇 배 더 긴 경우) 안정성이 꾸준히 증가하여 원자의 고유 안정성에 약 10,000초 이상 접근합니다."실제" 곡선은 안정성이 효과에 의해 얼마나 영향을 받는지를 보여줍니다.원자의 고유 안정성에 접근하는 대신, LO 출력의 안정성은 이제 훨씬 더 높은 값을 가진 선에 접근합니다.이 선의 기울기는 작은 파란색(아래쪽) 화살표로 표시된 것처럼 주기 시간에 측정된 LO 값과 유사한 값으로 원자 한계(로그-로그 플롯에서 1/2을 뺀 값)의 기울기는 작은 파란색(아래쪽) 화살표로 표시됩니다.값(파란 화살표의 길이)은 원자 심문 프로토콜의 세부 정보에 따라 다르며, 민감도 함수 방법론을 사용하여 계산할 수 있습니다.

여기서 두 번째 그래프는 LO의 다양한 성능 측면이 원자 시계에 대해 달성 가능한 안정성에 얼마나 영향을 미치는지를 나타냅니다."이전에 분석된 LO 영향"이라는 레이블이 붙은 의존성은 피드백 루프에 대한 "공격 시간"보다 긴 시간 동안 약 $1$ /${\displaystyle }$τ ${\displaystyle 1/\tau }$ 의존성을 갖는 LO의 안정성이 향상됨을 보여줍니다.측정 시간 τ ${\displaystyle \tau}$의 값이 증가하는 경우$,$ 안정성은 각 측정에 사용할 수 있는 원자 및 광자 수의 통계적 변화로 인해 제한 $1$ /${\displaystyle }$τ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\tau}}$ 의존성에 근접합니다.

반면, 그 효과는 주파수 표준의 이용 가능한 안정성이 고주파 LO 위상 잡음에 대한 반직관적 의존성을 나타내도록 합니다.여기서 주기 시간보다 작은 시간에서 LO의 안정성은 전체 작동 범위에 걸쳐 원자 표준의 안정성에 영향을 미치는 것으로 나타납니다.게다가, 그것은 종종 시계가 원자계에 내재된 안정성에 접근하는 것을 막습니다.

역사

LO 앨리어싱 분석을 제시하는 두 논문이^[5][6] 발표된 지 몇 년 만에, 방법론이 실험적으로 검증되었고,^[8][9] 일반적으로 시간 및 주파수 공동체에 의해 채택되었으며, 많은 고급 주파수 표준의 설계에 적용되었습니다.Lemonde et al. (1998)^[7]에 의해서도 좀 더 종래의 양자-기계적 접근법을 사용한 민감도 함수의 유도로 규명되었고, Santarelli et al. (1996)^[9]에 의해서도 일반화되어 짝수 시간 대칭이 없는 심문 프로토콜에 적용할 수 있게 되었습니다.

이전에는 원자 시계에 대한 성능 한계가 정확도와 광자 또는 원자 계수의 안정성 한계로 특징지어졌지만, 그 효과는 이제 그림의 3분의 1에 해당했습니다.이 초기 단계는 1998년 IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control 저널의 Dick^[13] 효과에 대한 특별호에서 4개의 논문이^{[10][8][11][12]} 발표되면서 절정에 달했습니다.

영향

아마도 딕 분석의 가장 중요한 결과는 연구자들이 많은 매우 다른 원자 시계에 사용되는 방법론과 기술에 근거하여 정확하게 효과를 계산할 수 있게 한 수학적 틀의 제시 때문일 것입니다.그 효과는 일반적으로 고도화된 주파수 표준의 안정성에 가장 큰 제한이 되기 때문에,^[14][15] 그 이후로 많은 작업이 개선 전략에 초점을 맞추고 있습니다.또한 효과 방법론과 민감도 기능을 통해 다양한 기술 분야에서 상당한 발전을 이루었습니다.

• 영향으로 인한 한계 불안정성에 대한 값은 LO의 위상 잡음 특성과 결합된 문의 프로토콜에 의해 결정됩니다.이론의 결과는 여러 종류의 원자 시계에 대해 계산되었습니다.^[16][17][18]

• 마이크로웨이브 원자 분수 시계 연구소들은 마이크로웨이브 원자 주파수 표준의 기준으로 이전에 사용되었던 석영 초극성 발진기(USO)를 대체하기 위해 극저온^[19][20] 또는 광학^[21] LO 기술로 전환했습니다.석영 USO의 불안정성은 피드백에 의해 감소되어 시계의 고유한 원자 안정성을 효과적으로 실현할 수 있었지만, 그 효과에 의해 변형된 위상 잡음은 이전 섹션의 그래프에서 볼 수 있듯이 이제 시계의 불안정성의 주요 원인이었습니다.극저온 및 광학 기술은 원자 표준의 고유한 안정성을 실현하는 데 필요한 안정성과 위상 잡음을 모두 제공할 수 있습니다.

이러한 원자 시계는 일반적으로 레이저 냉각된 원자의 공을 각 개별 원자의 시계를 시작하도록 작용하는 마이크로파 공동을 통해 위쪽으로 던짐으로써 작동합니다.원자들이 아래쪽으로 되돌아올 때, 원자들은 시계를 멈추는 두 번째 마이크로파 펄스를 받는 같은 공동을 다시 가로지릅니다.그리고 나서 공은 마이크로파(LO)와 그들의 비행 시간 동안 발달한 원자들 사이의 위상 차이를 "읽어내는" 공동 아래의 광학 질문 장치를 통해 떨어집니다.이는 효과를 발생시키는 순차적 과정인 반복됩니다.^[5]

더 작은 규모에서, 펄스 광학 펌핑(Pulse Optical Pumping, POP) 기법을 사용하는 Rb 증기 클록의 안정성은 쿼츠 USOLO에 의한 효과가 제한 성능 인자가 될 정도로 향상되었습니다.결합된 USO-DRO(유전체 공진기 발진기) LO 기술의^[22] 발전은 이제 향상된 성능을 가능하게 합니다.

• 광학 시계는 모든 시계 중 가장 높은 안정성을 달성했고, 두 번째 시계의 정의로서 세슘 분수 시계를 대체할 궤도에 오르고 있습니다.^[2]그러나 (Katori, 2011)는 ^[14]다음과 같이 말합니다: "그러나 광학 격자 시계에서는 QPN(양자 투영 잡음)이 현저히 낮기 때문에 딕 효과가 더 높은 안정성을 달성하는 데 주요 장애물이 됩니다."광학 표준에 적용된 효과와 그 결과에 대한 분석은 "딕 효과의 치명적인 영향"을 개탄한 주요 리뷰(Ludlow, et al., 2015)^[15]와 여러 다른 논문에서 다루어져 왔습니다.^[23][24]

• 두 개의 완전한 원자 시스템에 대한 타이밍(하나의 LO만 사용하는 경우)을 인터리브할 수 있으므로 ^[6][25]원자 상태 준비 및 검출과 관련된 데드 타임을 제거할 수 있습니다.이를 통해 효과가 크게 감소하고, 이를 제거할 수도 있습니다.그의 접근 방식의 효과는 의도적으로 저하된 LO를^[26][27] 사용한 실험에서 Biedermann et al.에 의해 검증되었습니다. 이어서, Shioppo et al.^[16][28]에 의해 이 접근 방식이 적용되어 두 개의 레이저 냉각 Yb 광학 표준을 사용한 테스트에서 현재까지 가장 높은 클럭 안정성을 달성했으며, 훨씬 작은 규모로 Rb 증기 마이크로파 클럭을 사용했습니다.^[29]저글링 프로토콜을 사용하여 하나의 분수에서 제로 데드 타임을 달성할 수 있다고 제안되었습니다.^[30]이론적 논문은 또한 두 개의 완전한 원자 시스템뿐만 아니라 효과를 제거할 뿐만 아니라 광자 또는 원자 계수 효과로 인한 제한적인 안정성을 줄이기 위해 세 번째(단일 LO로 다시)를 추가할 것을 제안합니다.^[31]

• 효과를 없앨 수 있는 대안은 지속적으로 작동하는 분수입니다.^[32]이러한 시계는 연속적인 흐름을 가진 레이저 냉각 원자의 공급원의 개발에 의해 가능한 것으로 입증되었습니다.^[33]이 시계는 상승하는 원자와 하강하는 원자를 물리적으로 분리하기 위해 일반적인 분수와는 다른 구성을 사용합니다.이는 발사 방향을 수직에서 벗어나 각도를 조정함으로써 달성됩니다. 원자의 내부 클럭은 하나의 마이크로파 공동에서 시작된 다음 포물선 아크를 실행한 후 두 번째 클럭에서 중지됩니다.두 번째 공동은 두 번째 레이저 질문 시스템과 함께 발사 시스템 및 공동에서 측면으로 이동합니다.

• 원자의 내부 클럭을 시작 및 정지하기 위해 사용되는 마이크로파 또는 광 신호는 일반적으로 직사각형 시간 의존성을 갖습니다.형상화된^[6][34] 펄스는 전자기 신호의 급격한 켜짐과 꺼짐으로 인해 발생하는 민감도 함수의 기울기의 불연속성을 제거함으로써 효과를 줄일 수 있습니다.이는 결국 LO 위상 잡음의 고주파 성분에 대한 민감도를 감소시키고, 따라서 효과를 감소시킵니다.또한, 인터리브 타이밍이 있는 여러 개의 시계에 적용할 경우, 적절한 형태의 펄스가 효과를 완전히 없앨 수 있습니다.^[6]
• 주파수 표준을 비교합니다.^{[35][36][37][38]}
• 원자 시계는 지구 기반 기술에서 이미 사용할 수 있는 성능만을 요구하는 응용 프로그램과 우주에서 작동하는 시계에서만 사용할 수 있는 성능을 요구하는 응용 프로그램 모두에 사용되고 제안되었습니다.^[39][40]좋은 예로는 ACES 다중 시계 물리 페이로드에 통합하기 위해 유럽 우주국에 전달되어 ISS에 발사될 예정인 PARAO 레이저 냉각 Cs 원자 주파수 표준이 있습니다.공간 기반 클럭의 성능 이점의 상당 부분은 효과 감소로 인한 것입니다. 이는 원자 클럭이 0G로 작동할 때 사용할 수 있는 더 긴 문의 시간과 더 높은 듀티 계수로 인한 것입니다.
• 원자 중력계로 응용되고 ^[43]중력파 검출을 위한 원자 간섭계^[34][42].^[44]

방법론

서론

현대의 원자 주파수 표준 또는 클럭은 일반적으로 로컬 오실레이터(LO), 주기적으로 LO에 의해 조사되는 원자 시스템 및 해당 조사 결과에 기초하여 LO의 주파수 오류를 수정하기 위한 피드백 루프로 구성됩니다. 따라서 LO의 주파수를 원자 시스템의 주파수에 고정시킵니다.^[3][4]효과는 원자 심문 프로토콜의 세부 사항에 의존하는 불완전한 잠금을 만드는 과정을 설명합니다.^[5]LO 노이즈가 주파수 표준에 유용한 출력을 제공하는 LLO(locked local oscillator)의 주파수 안정성에 미치는 이러한 새롭게 인식된 영향을 계산하기 위해서는 두 단계가 필요합니다.다음과 같습니다.

• 질문 과정에서 원자 시스템에 대한 LO 위상 변동에 대한 순간 민감도 계산.이는 사이클 시간 동안 평가된 감도 함수 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$로 표시되며$,$ 이는 하우스키핑 작업이 진행 중인 사이클의 일부 동안 0의 값을 가지며 (예: 램지 심문(Ramsey Question)과 관련된 심문 펄스 간의 일치 값을 갖습니다.

원자나 이온의 광 여기의 다른 예들과는 달리, 이 여기 과정은 매우 높은 Q 인자들로 인해 수행되는 데 밀리초 또는 심지어 초가 걸리는 느린 작업입니다.광자가 고체에 부딪혀 전자를 방출하는 대신, 여기에는 많은 광자로 구성된 일관된 EM장이 구름의 각 원자나 이온을 바닥 상태에서 혼합 상태로 (천천히) 구동하는 과정이 있습니다. 일반적으로 바닥과 여기 상태에서 진폭이 같은 것입니다.

원자가 문의 마이크로파 또는 광학장에 노출되는 시간 동안$$ $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$에 대한 함수 형태는 양자 역학 상태 전이 과정에^[5][6] 대한 가상 스핀 모델을 사용하거나 대수적 접근법을 사용하여 계산할 수 있습니다.^[7]이러한 형태는 신호가 인가되지 않는 시간 동안 상수 값(일반적으로 0 또는 단위)과 결합하여 전체 문의 주기에 걸쳐 민감도 함수를 잘 정의할 수 있습니다.

원자 시스템의 램지 문의 및 라비 문의 식별력은 이전에 약간 조정된 구동 신호에 대한 원자 또는 이온의 양자 역학적 반응을 기반으로 계산되었습니다.이 이전에 계산된 값은 이제 질문 주기에 걸쳐 획득된$$민감도 함수 $g{\displaystyle \stackrel{}{(t)}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {g(t)}}$의 시간 평균과 일치합니다.

• 효과로 인한 원자 시계의 한계 안정성 계산.LO의 감도$$ 함수 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ 및 주파수$$ 노이즈 ${\displaystyle {스펙트럼}_{}^{}}$ Sy ${\displaystyle {\mathrm{LO}}_{}^{}f)}${\$displaystyle S_{y}^{LO}(f)}$를 고려하면 이제 클럭의 제한 안정성을 계산할 수 있습니다.등가 피드백 모델을^[11] 분석하면 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$의 시간 변화로 인한 루프 이득의 변화는$$원자의 완벽한 (무소음) 피드백에도 불구하고 LO에 수정되지 않은 느린 변화를 초래한다는 것을 알 수 있습니다.주기적으로, $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$의 주파수 스펙트럼은 이산이며, 주기 시간의 $역수$의 정수배 ${\displaystyle n}$인 주파수에서 하모닉은 $f$ ${\displaystyle n_{}}$ = n${\displaystyle }$/ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{n$}= n / ${t_{c}}$와 같습니다$.$ 이러한 하모닉 별칭들 각각은 거의 0에 가까운 주파수에서 LO 노이즈,클럭에 출력 신호를 제공하는 잠긴 로컬 오실레이터의 White frequency noise ${\displaystyle {Sy}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{LLO}}_{}^{}}$(${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)}$에 추가합니다.이 추가 노이즈는 원자 시계에서 광자 또는 원자 계수로 인해 발생하는 노이즈와 동일한 종류이므로 성능이 저하됩니다.

민감도 함수 계산

아래에 제시된 계산의 개념과 결과는 효과를 설명하는 첫 번째 논문에서 확인할 수 있습니다.^[5][6]

원자 시계의 각 문의 주기는 일반적으로 원자 또는 이온의 기저 상태 준비와 함께 시작됩니다.P를 질문 후에 어떤 사람이 흥분 상태로 발견될 확률이라 하자.문의 신호의 진폭 및 시간은 일반적으로 LO를 원자 주파수에 정확히 맞추면 $P$ =$1 {\displaystyle$P = 1$},$즉 모든 원자 또는 이온이 여기 상태에 있도록 조정됩니다.P는 시스템을 (예를 들어) 여기 상태 원자 또는 이온에 대해서만 형광을 발생시키는 다른 신호에 노출시킴으로써 각 측정에 대해 결정됩니다.

P의 주기적인 측정을 이용하여 효과적인 피드백을 얻기 위해서는 P가 주파수 변화에 민감도를 갖도록 프로토콜을 배치해야 합니다.그러면 주파수 변화 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에 대한 민감도를 다음과 같이 정의할 수 있습니다$$.
${\displaystyle {{dP} \over {d\nu}}=\pi \,g\,t_{i}$
여기서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 문의 시간이므로, $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 값은 LO의 빈도 변화에 대한 P 측정의 민감도를$$ 특성화합니다.LO를 원자 전이 주파수에 정확히 맞추면 P가 최대가 되므로($P$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$P = $1}$에서$),$ 이 경우 $g$ ${\displaystyle g}$의 값은 0이 됩니다.따라서, 예를 들어, Rabi Question을 사용하는 주파수 표준에서, LO는 $초기$에 P${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle$ P = $0.5}$이 되도록 조정되고$,$ LO 주파수의 불안정성으로 인해 P의 후속 측정이 이와 다른 값을 반환하게 되면 피드백 루프는 LO 주파수를 조정하여 이를 다시 가져옵니다.

실험가들은 원자 번호, 빛 세기 등의 시간적 변동을 완화하기 위해 다양한 프로토콜을 사용하여 P가 정확하게 결정될 수 있도록 하지만, 여기서는 더 이상 논의하지 않습니다.

Rabi 질문에 대한 LO 주파수 변화에 대한 P의 감도는 이전에 계산되었으며 LO 주파수를 ${\displaystyle 주파수}$${\displaystyle }$δ ν$${\$displaystyle \nu }$로 $오프셋하여$ P=${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle$ P=$0.5}$을(를) 얻을 때 g ${\displaystyle {\mathrm{Ra}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{bi}}_{}}$ ≈ ${\displaystyle 0.60386}$ ${\displaystyle g_{Rabi}\$약 $0.60386}$의 값을 가지는 것으로 확인되었습니다$.$ 이는 δ ≡ ${\displaystyle 2}$를 delta할 때 달성됩니다.${\displaystyle \delta }$ ν$$ ${\displaystyle \Delta \equiv$ 2$\$ \$nu \,t_{i}}$는 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle =}$$$${\displaystyle }$반≈ ${\displaystyle 0_{}.798685}$ ${\displaystyle \Delt$${\displaystyle a}$ =\$Delta _{half$${\displaystyle \mathrm{\}\backslash appr}}$$ox$ 0$.798685$가 되도록 조정합니다.

주파수 변화에 대한 P의 민감도에 대한 시간 의존적 형태를 도입할 수 있으며, $g{\displaystyle (t)}${\$displaystyle g(t)}$를 다음과$$ 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{g(}t)}$ ${\displaystyle \underset{}{=}}$ ${\displaystyle \underset{}{2}\lim \underset{}{}}$ϕ ${\displaystyle \to }$ 0${\displaystyle \frac{}{}\mathrm{\delta \; P}\frac{(\delta }{}}$ ϕ${\displaystyle \frac{,}{}\mathrm{t)}}$δ ϕ {\$displaystyle g$) = 2\$lim$ \$phi$ \$to$ $elta$P(\$delta$ \$phi,t)$ \$ov$ \phi$\}\},$
여기서 δ P${\displaystyle }$(δ ϕ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle \delta P(\delta \phi,t)}$는 t $시간$ ${\displaystyle t}$에서 위상 스텝 δ ϕ ${\delta \phi }$가 문의 신호에 도입되었을 때 들뜸일 확률의 변화입니다$.$ 식의 양변을 통합하면 주파수가 변화할 확률 P에 미치는 영향을 알 수 있습니다.g 여기 프로세스, δ ω ${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$\delta $\omega(t)}$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{}}$ $P$= $12$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \frac{c_{}}{}}$∫ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {t_{}}_{}^{}}$ c${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle \mathrm{t\; )}}$ δ ${\displaystyle \omega }$ (${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle$ \$Delt$ P = {1 $\over {2t_{c}}\int$_{$0}^{t_{c}}{g$(t$)dt$
이것은 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$이(가) 민감도 함수이며, 주파수 변동이 최종 들뜸 확률에 미치는 영향에 대한 시간 의존성을 나타냅니다.

Rabi Question의 경우에 대한 민감도 함수는 다음과 같이 제공됩니다.^[5][6]

${\displaystyle g(t)={{\Delta } \over {{1+\Delta ^{2}}^{3/2}}\left[\sin(\Omega _{1}(t))\left(1-\cos(\Omega _{2}(t))+\sin(\Omega _{2}(t)\left(1-\cos(\Omega _{1}(t))\right]}$
여기서 ω ${\displaystyle 1_{}}$( t )${\displaystyle }$= ω ⋅ (${\displaystyle \frac{{ti}_{}}{}}$) ${\displaystyle \Omega _{1}(t$) =\$Omega \cdot \left$ ({{$t} \over {t_{i}}\right$
${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{}}_{}t{\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle {\mathrm{\omega }}_{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ (1${\displaystyle }$- ( ${\displaystyle \frac{{ti}_{}}{}}$) ${\displaystyle$ \$Omega$ _${$Omega $\cdot \left($1 -$\$ ({t \$over {t_{i}}\right$
${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \omega \mathrm{}\mathrm{\delta }}$ ${\displaystyle \mathrm{(}}$π${\displaystyle \mathrm{)}}$= ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathrm{1}}$ + ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ 2 ${\displaystyle$ \$Om$(\$Delt$ )$=\pi {\sqrt$ {1$+{\Delta }^{2$
그리고 여기서 δ ≡ ${\displaystyle 2}$ δ ν ${\displaystyle {ti}_{}}$ ${\displaystyle \equiv 2\,\$delta $\nu \,t_{i}}$는 반signal 진폭 δ =$$δ ${\displaystyle \mathrm{반}}$≈ 0.${\displaystyle \delta$ =\$delta _{half}\$approx $0.798685}$로 조정됩니다$.$

$g{\displaystyle }$(${\displaystyle t)}$ ${\displaystyle g(t)}$에 대한 이 함수 형태의 시간 평균을 취하면 다음을 얻을 수 있습니다$.$
${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle \frac{{ti}_{}}{}}$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle t\frac{\mathrm{}}{}}$) ${\displaystyle \mathrm{dt}}$ ≈ ${\displaystyle 0.60386}$ ${\displaystyle {$1$\over t_{i}}{\int _{0}^{t_{i}}g(t)$
${\displaystyle {\mathrm{gRabi}}_{}}$ ${\$에 대해 이전에 참조된 것과 정확히 일치합니다$.$ : $이$는${\displaystyle g(}$t$)$ {\$displaystyle g$(t$$$)}$이(가) 이전에 사용된 감도 g {\$displaystyle$ g$}$의 적절한 일반화임을 보여줍니다$.$

(주파수 오프셋 대신) 두 문의 펄스 사이에 π${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi /2}$ 위상 스텝이 있는 램지 문의 경우에 대한 민감도 기능 양식은 다소 간단하며 다음과 같이 제공됩니다.

${\displaystyle g(t)={\begin{case}\sin \left(\pi {t} \over {2\,t_{p}}\right))&(0&<&t&<&t_{p})\1&(t_{p})\\sin \left(\pi {t_{i}-t} \over {2\,t_{p}\right)\n(t_{i}-t)\n(t_{p})\n(t_{i}-t)\n(t_{p})\n(t_{i})\n(t_{i})&<t_{c}\\\end{case})}$
여기서 ${\displaystyle {tp}_{}}$ ${\$는 펄스 시간, ${\displaystyle {ti}_{}}$ ${\$는 취조 시간, ${\displaystyle {tc}_{}}$ ${\$는 사이클$$ 시간입니다.

주파수 표준 안정성에 대한 한계 계산

펄스 모드 원자 시계의 작동은 여기 블록 다이어그램에 표시된 것처럼 기능적 요소로 분해될 수 있습니다(전체 분석은 Greenhall^[11] 참조).여기서 LO는 자신의 블록으로 표시되고 나머지 4개의 블록으로 조사된 원자 시스템이 표시됩니다.여기서 원자 심문 과정의 시간 의존성은 변조기에 의해 영향을 받으며, 여기서 시간 의존적 주파수 오류 δ ν${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle \nu(t)}$에 앞 절에서 계산한 시간 의존적 이득 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle g(t)}$를 곱합니다.적분기에 입력되는 신호는 주파수 오류 δ ν ${\displaystyle \delta \nu}$에 비례하며$,$ 이를 통해 느린 주파수 오류와 로컬 오실레이터의 드리프트를 수정할 수 있습니다.
블록 다이어그램에서 작업을 이해하려면 δ ν${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle \delta \nu(t)}$ 및 $g{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ g$(t)}$ 값을 해당 평균값과 평균과의 편차로 구성해야 합니다.δ ν${\displaystyle \stackrel{}{}\stackrel{}{t)}}$¯ ⋅ $g$(${\displaystyle \stackrel{}{t)}}$ ¯ ${\displaystyle {\overline {\delta$ \$nu(t))}\cdot {\overline$ {g$(t)}}($한 주기에 걸쳐 평균을 취하면 ${\displaystyle {tc}_{}}$ ${\displaystyle$ t_{$c})$가$$적절한 피드백 작동을 일으켜 로컬 오실레이터의 주파수를 판별기의 주파수에 고정합니다. ν 0$${\$displaystyle$ \nu _${0}.$또한 고주파수($$δ ν${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$- δ ν${\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{}}$t ) ⋅ ${\displaystyle g\stackrel{}{}}$( ${\displaystyle \stackrel{}{t}}$ )${\displaystyle \stackrel{}{}}$¯ ${\displaystyle (\$delta$\nu (t)$ - {\$overline {\$delta $\nu (t)}})\cdot {\overline {g(t)}}$의 구성 요소는 통합 및 샘플링에 의해 매끄럽게 처리되어 이미 알려진 단기 안정성 한계가 발생합니다.그러나 (δ ν${\displaystyle (t)}$ -${\displaystyle }$δ ν${\displaystyle \stackrel{}{(t)}}$ ¯${\displaystyle )}$⋅${\displaystyle \stackrel{}{}g(t)}$ -${\displaystyle g\stackrel{}{(t)}}$ ¯${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (\delta \nu(t$) - ${\overline {\delta \nu(t)}})\cdot (g(t$) - ${\overline {g(t)})}$라는 용어는 또한 매우 낮은 주파수 변동을 발생시킵니다$.$이는 루프가 로컬 오실레이터를 부적절하게 보정하고 주파수 표준의 출력에 추가적인 저주파 변동을 초래하는 앨리어싱 효과입니다.
(Dick, 1987)^[5] 및 (Santarelli et al., 1996)의 방법론에 따라 ^[9]민감도 함수의 푸리에 성분은 다음과 같습니다.
${\displaystyle {gn,}_{}}$ $=$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ g (${\displaystyle }$t )${\displaystyle {}_{}\cos }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (2}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ n ${\displaystyle \frac{t_{}}{}}$ c${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$) ${\displaystyle \mathrm{dt}}$ ${\displaystyle g_{n$}=\$int_{0}^{t_{c}}{g(t)\cos \$ ({{$2\pint} \over {t_{c}\right)dt$
${\displaystyle {gn,}_{}}$ $=$ ${\displaystyle \int }$ ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {{tc}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle }$t )${\displaystyle {}_{}\sin }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (2}$ ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ t ${\displaystyle \frac{c_{}}{}}$) ${\displaystyle \mathrm{dt}}$ ${\displaystyle g_{n$}=\$int_{0}^{t_{c}}{g(t)\sin \$ ({{$2\pint} \over {t_{c}\right)dt$
${\displaystyle {}_{gn}}$ $=$ ${\displaystyle \sqrt{{gn,}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ 2${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{gn,}_{}^{}}}$ s ${\displaystyle \sqrt{{}_{}^{}}}$ 2 ${\displaystyle$}={\$sqrt {g_{n,cos}^{2}+g_{n,sin}^{2}},$
$g$ ${\displaystyle 0_{}}$ = ∫ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ g (${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \mathrm{dt}}$ ${\displaystyle g_{0$}=\$int$ _${0}^{t_{c}}{g(t)dt$
여기서 ${\displaystyle {tc}_{}}$ ${\$는 사이클$$ 시간입니다.잠긴 로컬 오실레이터는 모든 패시브(비마스터) 주파수 표준에서 유용한 출력 신호를 제공합니다.화이트 주파수 노이즈 ${\displaystyle {SY}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{LO}}_{}^{}0)}$ ${\displaystyle S_{y}^{LLO}(0)}$에 대한 하한 값은 모든$$ 주파수$({\displaystyle {Sy}_{}^{}}$ $($에서 LO의 주파수 노이즈에 종속되는 것으로 나타남$$$($ LO(f)) {\displaystyle \$left({S_{y}^{LO}(f)\right)})$
${\displaystyle S_{y}^{LLO$$LO}\left({n \over t_{c}}\right$
여기서 ${\displaystyle {tc}_{}}$ ${\$는 사이클 시간(원자 시스템의 연속적인 측정 사이의 시간)입니다$$.
화이트 주파수 노이즈가 있는 오실레이터의 앨런 분산은 σ ${\displaystyle y_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$τ${\displaystyle )}$ = ${\displaystyle \frac{{Sy}_{}}{}}$(${\displaystyle \frac{0)}{}}$ 2 τ${\displaystyle$\sigma $_{y}^{2}(\$tau)={$S_{y}(0) \over {2\tau$ 따라서 효과로 인한 안정성 한계는 다음과 같이 주어집니다.
$1$$LO}\left$$n \over t_{c}}\right)}}.$
매우 짧은 심문 펄스를 가진 램지 심문의 경우, 이것은
$1$$LO}\left({n \over t_{c}}\right$
$여기$서 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 심문 시간입니다.σ${\displaystyle 리}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$τ) ${\displaystyle$ \$sigma$ _{$y}^{$인 플리커 주파수 노이즈가 있는 LO의 경우$LO}(\tau )}$은(는)$$$tau$ {\$displaystyle$ \$τ$}과(와) 독립적이며$,$ 듀티 팩터 $d$ $=$ ${\displaystyle {ti}_{}}$/ ${\displaystyle {tc}_{}}$ ${\displaystyle$d$=$$t_{i}/t_{c}$의 일반적인 이0 < d <$.$7 {\$displaystyle$ 0$.4$< $d<$ 0$.7$}),앨런 편차는 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
$displaystyle \sigma$$LO} \over {\sqrt {2\ln(2)}}\cdot \left {sin(\pid$$\over {\pid}}\right \cdot {\sqrt {t_{c} \over {\tau}}}.$

참고 항목

• 원자시계
• 도수기준

참고문헌

외부 링크

• 구글 스콜라의 딕 이펙트 논문