미분 이상

미분형성 이론에서, 미분형 이상 I는 부드러운 다지관의 미분형성 링에서 대수학적 이상, 다시 말해서 외부 분화 d에 의해 더욱 닫히는 링 이론에서 등급화된 이상이며, 이는 I의 어떤 형태 α에 대해서도 외부 파생형 dα가 I에 있다는 것을 의미한다.

미분대수학 이론에서, 미분 링 R의 미분 이상 I는 각 미분 연산자에 의해 스스로 매핑되는 이상이다.

외부 미분 시스템 및 부분 미분 방정식

외부 디퍼렌셜 시스템은 부드러운 매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과(와) 차동 이상형으로 구성됨

${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle I\subset \Oomega ^{*}(M)}$.

외부 디퍼렌셜 시스템$({\displaystyle M}$, I${\displaystyle }$) ${\displaystyle(M,I)}$의 통합 매니폴드는 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$에 포함된 모든 차동 형식 중 $N$ ${\displaystyle N}$에 대한 풀백(pullback)이 동일하게 사라지는$$ 속성을 가진 하위$$ 관리형 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \}}$ M ${\displaystyledown M}$으로 구성된다$$.

어떤 부분 미분방정식 시스템이라도 독립성이 있는 외부 미분방식으로 표현할 수 있다.${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $u$에 대한 k번째 순서 부분 미분 방정식 시스템${\displaystyle :}$ R ${\displaystyle {}^{}}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 화살표 $\mathb {R} ^{n$이 주어졌다고 가정합시다.

$displaystyle F^{r}(x,u$$I}}=0,\quad 1\leq$I$\leq k$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -jet$$$({\displaystyle u^{}}$ a${\displaystyle {}^{}}$, p ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$,${\displaystyle \dots ,}$ p ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}}$ a )${\displaystyle }$=${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}u}$ a ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ a ${\displaystyle \frac{x^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$, …,${\displaystyle \frac{{\mathrm{}}^{}}{}\dots }$ ${\displaystyle \frac{I^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{u^{}}{\mathrm{}}}$u u ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}{}_{}\frac{x^{}}{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ) 1${\displaystyle {}_{}}${ ${\displaystyle I_{}}$ k {\$displaystystyle(u^{a},p_{i}^}}}}}},\dots,p_{{}}}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{}}}$$I}^{a}=(u^{a})(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}}},\dots,{\frac {\partial ^{{{}u}{\partial x^{{}}}}}}}}$$I}}})_{1\leq I \leq k}}$ of any solution of this partial differential equation system is a submanifold ${\displaystyle N}$ of the jet space, and is an integral manifold of the contact system ${\displaystyle du^{a}-p_{i}^{a}dx^{$$i},\message,dp_{$$I{\displaystyle }$$}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{$1_{$1\leq$I$\leq k-1}$ k ${\displaysty k}$ -jet$$ 번들에 있는$$ \eq k-1}

이 아이디어는 미분 기하학의 방법으로 부분 미분 방정식의 특성을 분석할 수 있게 한다.예를 들어, 관련 외부 미분 시스템을 적어서 부분 미분 방정식의 시스템에 Cartan-Kahler_theorem을 적용할 수 있다.우리는 카탄의 동등성 방법을 외부 차동계통에 자주 적용하여 그들의 대칭과 차이점형 불변성을 연구할 수 있다.

완벽한 미분 이상

차동 이상 ${\displaystyle I}$ ${\$ $i$$\,}$은(는) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ $a\$$in$ $I}$을(를) 포함할 경우 b${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {일부}^{}}$ >에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ ${\$$displaystyle$ b$^{$$n}=a$$}$을(를) 포함하는 $속성$을 가진 경우 완벽하다

참조

• 로버트 브라이언트, 필립 그리피스, 루카스 슈는 지오메트리, 토폴로지, & Physics, Conf에서 미분 방정식의 기하학을 향하여.Proc. 강의 노트 Geom.S.-T. Yau가 편집한 토폴로지, vol.IV (1995), 페이지 1-76, Internat.언론, 케임브리지, MA
• 로버트 브라이언트, 시잉선체르, 로버트 가드너, 필립 그리피스, 휴버트 골드슈미트, 외부 차동 시스템, 스프링어--베를라크, 하이델베르크, 1991년.
• 토마스 A.아이비, J. M. 랜즈버그, 카탄 초심자용.이동 프레임 및 외부 디퍼렌셜 시스템을 통한 디퍼렌셜 형상제2판수학 대학원, 175.미국 수학 협회, 프로비던스, RI, 2016.
• H. W. Raudenbush, Jr. "이상 이론과 대수적 미분 방정식", 미국수학협회의 거래, 제36권, 제2권 (1934년 4월), 페이지 361–368.안정적인 URL:[1] doi:10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• J. F. Ritt, Differential Algebra, Dover, New York, 1950.