이산 스플라인 보간법

수학적 수치해석 분야에서 이산 스플라인 보간술은 보간술의 일종으로, 보간물은 이산 스플라인이라고 하는 조각 다항식의 특수한 유형이다.이산형 스플라인이란 중심 차이가 노트에서 연속적으로 나타나는 조각 다항식인 반면, 스플라인이란 조각 다항식으로서 그 파생상품이 노트에서 연속적으로 나타나는 것이다.이산 입방 스플라인(intertaincipal splines)은 주문 0, 1, 2의 중심 차이가 연속되어야 하는 이산 스플라인이다.^[1]

이산 스플라인들은 1971년 망가사린과 슈메이커에 의해 차이점을 수반하는 특정 최소화 문제의 해결책으로 도입되었다.^[2]

이산 큐빅 스플라인

x₁, x₂, . . . x를_n-1 실제 숫자의 증가 순서가 되게 하라.g(x)가 다음과 같이 정의된 조각의 다항식일 수 있음

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&x<x_{1}\\g_{i}(x)&x_{i-1}\leq x<x_{i}{\text{ for }}i=2,3,\ldots ,n-1\\g_{n}(x)&x\geq x_{n-1}\end{cases}}}$

여기서 g₁(x), . . . . g_n(x)는 도 3의 다항식이다.h > 0으로 한다. 만약

${\displaystyle(g_{i+1}-g_{i})(x_{i}+jh)=0{\text{{}}}}}}{{{\text{ 및 }i=1,2,\ldots,n-1}$

그리고 g(x)를 이산 입방 스플라인이라고 한다.^[1]

대체제식1길

이산형 입방 스플라인을 정의하는 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i}-h)=g_{i}(x_{i}-h)}$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i})=g_{i}(x_{i})}$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i}+h)=g_{i}(x_{i}+h)}$

대체 공식 2

함수 f(x)의 오더 0, 1, 2의 중심 차이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle D^{(0)}f(x)=f(x)}$

${\displaystyle D^{(1)f(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$

${\displaystyle D^{(2)f(x)={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}$

이산 입방 스플라인을 정의하는 조건도 다음과 같다^[1].

${\displaystyle D^{(j)}g_{i+1}(x_{i})=D^{(j)}g_{i}(x_{i}){\text{ for }j=0,1,2{\text{ 및 }i=1,2,\ldots,n-1.}$

이것은 중심 차이 $D{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle j^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle D^{(j)}g(x)}$이(가) x에서_i 연속적이라는$$ 것을 나타낸다.

예

x₁ = 1과 x₂ = 2를 n = 3으로 한다.다음 함수는 이산 큐빅 스플라인을 정의한다.^[1]

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}x^{3}&x<1\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})&1\leq x<2\\x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})+(x-2)((x-2)^{2}-h^{2})&x\geq 2\end{cases}}}$

이산 입방 스플라인 보간물

x₀ < x와₁ x_n > x와_n-1 f(x)를 닫힌 간격 [x₀ - h, x_n + h]에 정의된 함수로 한다.다음 조건을 만족하는 고유한 입방 이산 스플라인 g(x)가 있다.

${\displaystyle g(x_{i}=f(x_{i}){\text{{{{}i=0,1,\ldots,n.}$

${\displaystyle D^{(1)g_{1}g(x_{0})=D^{(1)f(x_{0}).}$

${\displaystyle D^{(1)g_{n}(x_{n})=D^{(1)f(x_{n}).}$

이 고유한 이산형 입방 스플라인(spline)은 [x₀ - h, x + h] 간격에서_n f(x)에 대한 이산형 스플라인 보간물이다.이 보간물은 x₀, x₁, ., x에서_n f(x)의 값에 동의한다.

적용들

• 이산 큐빅 스플라인들은 원래 특정한 최소화 문제의 해결책으로 도입되었다.^[1][2]
• 그들은 비선형 스플라인 계산에 응용할 수 있다.^[1][3]
• 그것들은 2차 순서 경계 값 문제의 대략적인 해답을 얻기 위해 사용된다.^[4]
• 이산 보간성 스플라인들은 이열성 파장을 형성하는데 사용되었다.^[5]

참조