이절순서열

Disjunctive sequence

이절 순서는 모든 유한한 문자열이 하위 문자열로 나타나는 무한 시퀀스(한정된 문자 알파벳 위에 걸쳐 있음)이다.예를 들어, 이진 Champernown 시퀀스

모든 이진 문자열을 숏플렉스 순서로 결합하여 형성하며, 모든 이진 문자열을 명확하게 포함하므로 이격적이다.(위의 공백은 유의하지 않으며 문자열 사이의 경계를 명확히 하기 위해서만 존재한다.)크기 k의 알파벳에 대한 이항 시퀀스 S의 복잡도 함수는 pS(n) = k이다n.[1]

어떤 정상적인 순서(동일한 길이의 각 문자열이 동일한 주파수로 나타나는 순서)는 불연관적이지만, 그 반대는 사실이 아니다.예를 들어, 0이n 모든 0으로 구성된 길이 n의 문자열을 나타내도록 하는 것은 시퀀스를 고려하십시오.

기하급수적으로 긴 0의 문자열을 모든 이진 문자열의 숏렉스 순서에 분할하여 얻음.이 시퀀스의 대부분은 0초라는 긴 런으로 이루어져 있어 정상적이지 않지만 여전히 절연적이다.

이절 순서는 반복되지만 균일하게 반복되거나 거의 주기적인 경우는 결코 없다.

예

다음과 같은 결과를[2][3] 사용하여 다양한 이항 시퀀스를 생성할 수 있다.

만약1 a, a2, a3, ...가 lim (an+1 / an) = 1과 같은 양의 정수의 무한 확장 순서라면,
그 다음, 임의의 양의 정수 m과 정수 b 2 2에 대해, base b에 m의 표현으로 시작하는 a가n 있다.
(반복적으로1 a, a2, a, a3, ...에 대한 base-b 식을 결합하여 얻은 무한 시퀀스는 {0, 1, ..., b-1} 알파벳에 대해 절연된다.)

두 가지 간단한 사례가 이러한 결과를 예시한다.

  • an = nk, 여기서 k는 고정된 양의 정수다.(이 경우, 임 (an+1 / an) = 임 ( (n+k1) / nk ) = 임 (1 + 1/n)k = 1.)
예: base-ten 식을 사용하여
123456789101112...(k = 1, 양의 자연수),
1491625364964...(k = 2, 제곱),
182764125216343...(k = 3, 큐브),
등
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}에서 분리됨.
  • an = pn, 여기서 p는n n 소수th.(이 경우 임(an+1 / an) = 1은 pn ~ n ln n의 결과)
예: 시퀀스
23571113171923...(베이스 10 사용),
10111011111011110110001 ...(기준 2 사용),
등

각 숫자 집합에 대해 불연관적이다.

다양한 이격 시퀀스를 제공하는 또 다른 결과는[4] 다음과 같다.

an = 바닥(f(n))인 경우, 여기서 f는 모든 x > 0에 대해 f(x)가 0보다 큰 실제 계수를 갖는 비정규 다항식이다.
그123 다음엔 연결...(basen b로 표현된)는 base의 정상적인 시퀀스로서, 따라서 {0, 1, ..., b-1}에서 분리된다.

예: base-ten 식을 사용하여

818429218031851879211521610...(f(x) = 2x3 - 5x2 + 11x 포함)
591215182124273034...(f(x) = πx + e 포함)

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}에서 분리됨.

리치 수

리치 숫자 또는 이항 숫자는 어떤 base에 대한 확장이 {0,...,b-1} 알파벳에 대한 이항 시퀀스인 실제 숫자다.base b의 모든 정규 숫자는 이격적이지만 반대로 되지 않는다.실제 숫자 x는 세트 { x bn mod 1}이(가) 단위 간격에서 밀도가 높은 경우에만 base b가 풍부하다.[5]

모든 기초에 불연속적인 숫자를 절대 불연속이라고 부르거나 어휘라고 한다.모든 알파벳의 모든 문자열은 사전 안에서 발생한다.세트는 계산 가능한 밀도 집합의 교차점을 포함하는 경우 "comeager" 또는 "residual"이라고 불린다.절대적으로 이분법적인 현실의 집합은 잔여물이다.[6]모든 진짜 비합리적인 대수적 숫자는 절대적으로 분리되어 있다고 추측된다.[7]

메모들

  1. ^ Bugeaud (2012) 페이지 91
  2. ^ Calude, C.; Priese, L.; Staiger, L. (1997), Disjunctive sequences: An overview, University of Auckland, New Zealand, pp. 1–35, CiteSeerX 10.1.1.34.1370
  3. ^ Istrate, G.; Păun, Gh. (1994), "Some combinatorial properties of self-reading sequences", Discrete Applied Mathematics, 55: 83–86, doi:10.1016/0166-218X(94)90037-X, Zbl 0941.68656
  4. ^ Nakai, Yoshinobu; Shiokawa, Iekata (1992), "Discrepancy estimates for a class of normal numbers" (PDF), Acta Arithmetica, LXII.3 (3): 271–284, doi:10.4064/aa-62-3-271-284
  5. ^ Bugeaud (2012) 페이지 92
  6. ^ 칼루드&잠파이어스쿠(1999)
  7. ^ Adamczewski & Bugeaud(2010) 페이지 414

참조