복합미분형

수학에서 복합 미분형(complex differential form)은 다지관(일반적으로 복합 다지관)의 미분형으로서 복잡한 계수를 가질 수 있도록 허용된다.

복잡한 형태는 미분 기하학에서 넓은 응용을 가지고 있다.복잡한 다지관에서는 그것들이 근본적이며 대수 기하학, 케흘러 기하학, 호지 이론의 많은 기초가 된다.비복합 다지관에 대해서는, 거의 복잡한 구조, 스피너 이론, CR 구조의 연구에도 역할을 한다.

전형적으로 복잡한 형태는 형태들이 인정하는 바람직한 분해 때문에 고려된다.예를 들어, 복잡한 다지관에서는 모든 복잡한 k-폼을 소위 (p,q)-폼의 합으로 고유하게 분해할 수 있다. 대략적으로, 복합 결합체의 q 차등과 홀모형 좌표의 p 미분들의 쐐기.(p,q)형식의 앙상블은 연구의 원시적 대상이 되고, k형식보다 다지관의 미세한 기하학적 구조를 결정한다.예를 들어 호지 이론이 적용되는 경우 보다 미세한 구조도 존재한다.

복합 매니폴드의 디퍼렌셜 형태

M이 복합 치수 n의 복합 다지관이라고 가정한다.그리고 n개의 복합 값 함수 z¹,...,z로ⁿ 구성된 로컬 좌표계가 있어 한 패치에서 다른 패치로 좌표 전환이 이 변수의 홀모픽 함수가 된다.복잡한 형태의 공간은 이러한 전이 기능이 단지 매끄러울 뿐 아니라 홀로모르픽이라는 사실에 따라 근본적으로 풍부한 구조를 지니고 있다.

단일 양식

우리는 한 가지 형태의 사례로 시작한다.먼저 복잡한 좌표를 각각의 j에 대해 z^j=x^j+iy로^j 분해한다.내버려 두는

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\filename d{\bar{z}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}}}}$

복잡한 계수를 가진 모든 미분형식이 하나의 합으로 고유하게 쓰여질 수 있다고 본다.

${\displaystyle \sum \{j=1}^{n}\좌측(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\z}^{j}bar{z}^{j}\오른쪽).}$

Ω은^1,0 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dz$s 및$$Ω만^0,1 포함하는 복잡한 미분 형식의 공간이며, $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle z\stackrel{}{}}$ ${\$s만 포함하는 형태의 공간이다.Cauchy-Riemann 방정식을 통해 공간 Ω과^1,0 Ω이^0,1 홀모픽 좌표 변화 하에서 안정적이라는 것을 알 수 있다.즉, 홀모픽 좌표계의 w를_i 다르게 선택할 경우 Ω의 원소는 Ω의^0,1 원소와 마찬가지로 Ω의^1,0 원소가 시간적으로 변형된다.따라서 공간 Ω과^0,1 Ω은^1,0 복합 매니폴드의 복잡한 벡터 번들을 결정한다.

고급 양식

복잡한 미분 형태의 쐐기 생산물은 실제 형태와 동일한 방식으로 정의된다.p와 q를 음이 아닌 정수의 한 쌍이 되게 하라.(p,q)-폼의 공간^p,q Ω은^1,0 Ω에서 p 요소의 웨지 곱과 Ω에서^0,1 q 원소의 쐐기 곱을 선형 조합하여 정의한다.상징적으로

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

Ω의^1,0 p 인자와 Ω의^0,1 q 인자가 있는 곳. 1-폼의 두 공간과 마찬가지로 좌표의 홀로모르픽 변화에서도 안정적이므로 벡터 번들을 결정한다.

만약^k E가 전체 도 k의 모든 복잡한 미분 형태의 공간이라면, E의^k 각 원소는 p+q=k로 공간 Ω^p,q 사이에서 나온 원소의 선형 결합으로서 고유한 방법으로 표현될 수 있다.더 간결하게, 직접적인 총액 분해가 있다.

${\displaystyle E^{k}=\Oomega ^{k,0}\oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \oplus \Op+q=k}\Oomega ^{p,q,q}.}$

이 직접 합분해효과는 홀로모르픽 좌표 변화하에서도 안정적이기 때문에 벡터 번들 분해도 결정한다.

특히 p+q=k로 각 k와 p와 q에 대해 벡터 번들의 표준 투영법이 있다.

${\displaystyle \pi ^{p,q:E^{k}\오른쪽 화살표 \오메가 ^{p,q}.}$

돌벌 작전원들

일반적인 외부 파생상품은 섹션 $d{\displaystyle }$ :${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$→ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{r}}^{}}$+ 1 ${\$$\Oomega ^{r}\to \Oomega ^{r+1$}을$($를) 통해

${\displaystyle d(\Oomega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Oomega ^{r,s}}$

외부 파생상품은 그 자체로 다지관의 보다 견고한 복합구조를 반영하지 않는다.

d와 이전 항에서 정의한 투영을 사용하여 Dolbeault 연산자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \cHB =\pi ^{p+1,q}\cHB d:\Oomega ^{p,q}\오른쪽 화살표 \Oomega ^{p+1,q}},\quad {\bar {\partial }=\pi ^{p,q+1}\circl d:\오메가 ^{p,q}\오른쪽 화살표 \오메가 ^{p,q+1}}$

이러한 연산자를 로컬 좌표로 설명하려면

${\displaystyle \alpha =\sum _{ I =p, J =q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar{z}^{J}\in \Oomega ^{p,q}}}}$

여기서 I와 J는 다중 지표가 된다.그러면

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{ I , J}\sum _{\ell }{\frac \partial f_{\frac }{{\partial f_{{}}}}}}}IJ}{\partial z^{\ell }}\,dz^{\el}\wedge dz^{I}\웨지 d{\bar{z}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }\alpha =\sum _{ I , J}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{\partial f_{}}}}IJ}{\partial{\bar}^{\z}^{}d{\bar{z}^{\ell}\wedge dz^{}}}I}\wedge d{\bar{z}^{J}.}$

다음과 같은 속성이 유지되는 것으로 보인다.

${\displaystyle d=\property +{\bar {\pair }}$

${\displaystyle \properties ^{2}={\bar {\bar}=\bar {\bar}}+{\bar {\bar {\bar}\pair =0.}$

이러한 연산자와 그 속성은 돌베오트 코호몰로지 및 호지 이론의 많은 측면을 기초로 한다.

복잡한 다지관의 별 모양 영역에서 돌보트 연산자는 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$\}$^[1]에 대한 호모토피 연산자를 분할하여 발생하는 이중 호모토피 연산자를 가지고 있다.이것은 복잡한 다지관의 푸앵카레 보조정리 내용물이다.

홀로모르퍼스형식

각 p에 대해, 홀로모르픽 p-폼은 Ω의^p,0 번들의 홀로모르픽 섹션이다.국부좌표에서는 홀로모르픽 p-폼을 양식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \alpha =\sum _{ I =p}f_{I}\,dz^{I}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 f I ${\$$I}}$은 홀로모픽 함수다.균등하게, 그리고 복합 결합의 독립성 때문에 (p,0)형 α는 다음과 같은 경우에만 홀로모르픽이다.

${\displaystyle {\bar {\pair}\pair =0.}$

비록 이것이 때때로 혼동을 야기할 수 있기 때문에 많은 저자들이 대체 표기법을 채택하는 경향이 있지만, 홀모픽 p-폼의 층은 종종 Ω으로^p 쓰여진다.

참고 항목

• 돌베오 복합체
• 프롤리셔 스펙트럼 시퀀스
• 제1종 차등

참조

• P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
• Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.