베르디에 이중성

수학에서 베르디에 이중성은 다지관에 대한 푸앵카레 이중성을 일반화하는 피복 이론의 이중성이다.베르디에 이중성은 알렉산더 그로텐디크에 기인한 계략에 대한 일관성 있는 이중성의 지역적 콤팩트 공간의 아날로그로서 장 루이 베르디에(1967, 1995년)에 의해 소개되었다.그것은 시공가능하거나 삐뚤어진 단을 공부할 때 흔히 접하게 된다.

베르디에 이중성

Verdier duality는 피복용 특정 이미지 펑커가 실제로 부선 펑커라고 말한다.두 가지 버전이 있다.

Global Verdier 이중성은 연속 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f\colon$ X$\to Y}$에 대해 적절한 지지 R ${\displaystyle {}_{!}}$ ${\$를 가진 직접 이미지의 파생 펑터라고$$명시한다.$}}}$은(는) $오른쪽{\displaystyle {}^{}}$ 맞춤 f$!{\$ f$^{!$$}}{\$$displaystyle$ $X$$}$의 $sheaf{\displaystyle \mathcal{}}$ $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$과(와) Y ${\$displaystyle {\$mathcal {G$$}$의 $파생{\displaystyle }$ 범주에서는$$$$

${\displaystyle RHom(Rf_{!}{\mathcal{F},{\mathcal {G})\cong RHom({\mathcal {F},f^{!}{\mathcal{G}).}$

느낌표는 종종 "shriek"(감동 표시의 스ang)이라고 발음되며, "${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$ hear$$$$ scream" 또는 "f ${\displaystyf}$ lower scream"이라고 불리는 지도도 역시 "shrick map"을 참조한다.

지역 베르디에 이중성은 다음과 같이 말한다.

${\displaystyle R\,{\mathcal{H}om(Rf_{!}{\mathcal{F},{\mathcal{G}})\cong Rf_{\ast }R\,{\mathcal{H}om({\mathcal{F},f^{!}}{\mathcal{G}}}$

Y에 대한 k 모듈 조각의 파생 범주에서.글로벌 버전과 로컬 버전의 구별은 전자가 셰이브 간의 지도를 연관시키는 반면 후자는 직접 셰이브(복제)와 관련되므로 현지에서 평가할 수 있다는 점에 유의해야 한다.지역 성명에서 양쪽의 글로벌 부분을 차지하는 것은 세계적인 베르디에의 이중성을 준다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 D ${\displaystyle X_{}}$ ${\$ 이원화 복합체는 다음과 같이 정의된다$$.

$\displaystyle \omega _{X}=p^{!}}(k),}$

여기서 p는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 점까지의$$ 맵이다.베르디에 이중성을 단수 설정에서 흥미롭게 만드는 부분 중 하나는 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$가 다지관이 아닐$$ 때(예를 들어 그래프 또는 단수 대수적 다양성) 이원화 복합체가 단도에 집중된 피복에 준 이형성이 아니라는 점이다.이러한 관점에서 도출된 범주는 단수공간의 연구에 필요하다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 한정된 차원 로컬 컴팩트 공간이고 D ${\displaystyle b^{}}$ (${\displaystyle {}^{}X}$) ${\displaystyle D^{b}(X)}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 $대한$ 아벨리아 그룹의$$ 경계 파생 범주인 경우$,$ Verdier 이중은 반투명 펑터(cravariant functor)이다.

${\displaystyle D\colon D^{b}(X)\to D^{b}(X)}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle D({\mathcal {F})=R\,{\mathcal {H}om({\mathcal {F},\omega_{X}).}$

다음과 같은 속성을 가지고 있다.

푸앵카레 이중성

푸앵카레 이중성은 베르디에 이중성의 특별한 경우로 파생될 수 있다.여기에서는 피복 코호몰로지 기계를 이용하여 공간의 코호몰리를 명시적으로 계산한다.

X가 콤팩트한 방향의 n차원 다지관이고 k는 ${\displaystyle {필드}_{}}$, k $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ X의 상수 피복이라고 가정한다.$f{\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f=p}$을(를) 점까지의 상수 지도가 되도록$$ 한다.Global Verdier 이중성 상태

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong [k_{X},p^{!}k].}$

이 진술에서 푸앵카레 이중성이 어떻게 얻어지는가를 이해하기 위해서는 아마도 양쪽을 하나하나 이해하는 것이 가장 쉬울 것이다.내버려두다

${\displaystyle k_{X}\to (I_{X}^{\\bullet }=I_{X}^{0}\to I_{X}^{1}^{1}\cdots )}}}$

상수 피복의 주입 분해능이다그 다음, 오른쪽 파생된 functors에 대한 표준 사실에 의해

${\displaystyle Rp_{!}k_{X}=p_{!}}I_{X}^{\bullet }=\Gamma _{c}(X;I_{X}^{\bullet }}}$

콤팩트하게 지원되는 X의 코호몰로지인 콤플렉스다.피복(또는 벡터 공간)의 콤플렉스들 사이의 형태 자체가 콤플렉스를 형성하기 때문에 우리는 다음과 같은 것을 발견한다.

${\displaystyle \mathrm {Hom} ^{\bullet }(\Gamma _{c})(X;I_{X}^{\bullet }),k)=\cdots \to \Gamma _{c}(X;I_{X}^{2}^{\ve }\\to \감마 _{c}(X;)I_{X}^{1}^{\ve }\\to \감마 _{c}(X;)I_{X}^{0}}^{\vee }\to 0}$

여기서 마지막 0이 아닌 항은 도 0이고 왼쪽 항은 음의 도이다.파생 범주의 형태론은 복합체의 제로트 코호몰리를 취함으로써 연쇄 복합체의 호모토피 범주에서 얻는다.

${\displaystyle [Rp_{!}k_{X},k]\cong H^{0}(\mathrm {Hom} ^{\bullet })(\Gamma _{c}(X;)I_{X}^{\bullet }),k))=H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }}$

위의 Verdier 이중성 진술의 다른 면에 대해서는, X가 콤팩트한 방향의 n차원 다지관일 때 우리는 당연하게 받아들여야 한다.

${\displaystyle p^{!}k=k_{X}[n],}$

다지관을 위한 이중화 콤플렉스야이제 우리는 로서 오른쪽을 다시 표현할 수 있다.

${\displaystyle [k_{X},k_{X}[n]\cong H^{n}(\mathrm {Hom}) ^{\bullet }(k_{X},k_{X})=H^{n}(X;k_{X}).}$

우리는 마침내 다음과 같은 진술을 얻었다.

${\displaystyle H_{c}^{0}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n}(X;k_{X}).}$

이 주장을 같은 선으로 대체함으로써 우리는_X 고전적인 푸앵카레의 이중성을 얻게 된다.

${\displaystyle H_{c}^{i}(X;k_{X})^{\vee }\cong H^{n-i}(X;k_{X}).}$

참고 항목

• 6개 연산자
• 일관성 있는 이중성

참조

• Borel, Armand (1984), Intersection cohomology, Progress in Mathematics, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
• Gelfand, Sergei I.; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Homological algebra, Berlin: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
• Grothendieck, Alexandre (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5), Lecture notes in mathematics, vol. 589, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. xii+484, ISBN 978-3-540-08248-4, exposés I 및 II는 étal 상황에서의 해당 이론을 포함한다.
• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2002), Sheaves on Manifolds, Berlin: Springer, ISBN 3540518614
• Verdier, Jean-Louis (1967), "A duality theorem in the etale cohomology of schemes", in Springer, Tonny Albert (ed.), Proceedings of a Conference on Local Fields: NUFFIC Summer School held at Driebergen (The Netherlands) in 1966, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 184–198, ISBN 978-3-540-03953-2, MR 0230732
• Verdier, Jean-Louis (1995), "Dualité dans la cohomologie des espaces localement compacts", Séminaire Bourbaki, vol. 9, Paris: Société Mathématique de France, pp. Exp. No. 300, 337–349, ISBN 978-2-85629-042-2, MR 1610971