일관성 있는 이중성

수학에서, 일관성 있는 이중성은 세레 이중성의 많은 일반화들 중 하나일 뿐 아니라, 대수 기하학 및 복합 다지관 이론에서, 그리고 '지역' 이론의 일부인 정류 대수학의 일부 측면에 적용된다.

그 이론의 역사적 뿌리는 고전 대수 기하학에서 분수의 선형 시스템의 조정 선형 시스템 생각에 있다.이것은 쉬프 이론의 등장과 함께 푸앵카레 이중성과 유추하는 방식으로 다시 표현되었다.그 후 그로텐디크의 상대적 관점에 따라 장피에르 세레의 이론은 적절한 형태론까지 확장되었다; 세레 이중성은 비음속 투영적 다양성(또는 완전한 다양성)의 형태론의 한 점으로 회복되었다.결과론(결과론)은 현재 세레-그로텐디크-베르디에 이중성(Serre-Grotendieck-Verdier duality)으로 불리기도 하며, 대수 기하학에서는 기본적인 도구다.로빈 하트손의 이 이론의 치료법인 '잔여물'과 '이중성'(1966)이 참고가 참고가 되었다.콘크리트 조각 중 하나는 그로텐디크 잔여물이었다.

닫힌 다지관을 위한 것이 아닌 푸앵카레 이중성의 버전에 관해서, 적절한 형태론을 넘어서기 위해서는 컴팩트한 지지 개념의 일부 버전이 필요하다.이것은 SGA2에서 로컬 코호몰로지, 그로텐디크 지역 이중성의 관점에서 다루어졌다.1976년 랄프 스트레스벨이 처음, 1978년 에벤 마틀리스가 처음 공식화한 그린리스-메이 이중성은 이 영역에 대한 지속적인 고려의 일환이다.

보조 펑터 관점

세레 듀얼리티는 이중화 쉬프로 선다발이나 변절불능 쉬프를 사용하지만, 일반론(알아보니)은 그렇게 간단할 수 없다.(더 정확히 말하자면, 그럴 수 있지만, 고렌슈타인 링 조건을 부과하는 데 드는 비용으로)특성 턴으로, 그로텐디크는 일반적인 일관성 있는 이중성을 오른쪽 부선장 $f^{!}$ 의 존재로서 재구성했다! ${\$ $f^{!}$ 콤팩트 서포트 펑터 R $Rf_{!}$ ${\$ $}}$ .

높은 직접 영상은 적절한 (계산) 지원을 통해 이 경우 피복된 형태의 피복 코호몰로지로서, 동질대수의 파생 범주형식을 통해 단일 피복자로 묶인다(이 경우를 염두에 두고 소개됨). $f$ $f$ 이(가) 적절한 $f$ 경우 $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ ! $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ = R $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ ${\$ $}}=Rf_{\ast }}$ 은 $Rf_{!}=Rf_{\ast }$ (는) 역 영상 $f^{\ast }$ f $∗{\$ f $^{\ast }}}$ 에 대한 오른쪽 부호다 $f^{\ast }$ 뒤틀린 역영상에 대한 존재 정리는, 원하는 결합의 코모나드에 대한 상담, 즉 자연적 변환에 대한 존재의 증명에 주어지는 이름이다.

{\displaystyle Rf_{!}f^{!

}\오른쪽

화살표

id

$Tr_{f}$ $Tr_{f}$ ${\$ Hartshorne) 또는 $\int _{f}$ $\int _{f}$ ${\$ Verdier)로 표시된다.이중성이 통합에 의해 정의된다는 것은 표기법이 시사하듯이 고전적 의미에 가장 가까운 이론의 측면이다.

더 정확히 말하자면, $f^{!}$ ${\$ f $^{!$ $}}}$ 은(는) $Y$ ${\displaystyle Y$ 에 있는 준 일관성 있는 조각의 파생 범주에서 $X$ $X$ 에 있는 유사한 범주로 $X$ 항상 정확한 펑터로서 존재함 $f^{!}$

f:X\오른쪽 화살표 Y

유한한 크롤 치수의 노메테리아식 계획의 적절하거나 유사하게 투영적인 형태론이다.^[1]이것으로부터 나머지 이론은 파생될 수 있다: 이중화 콤플렉스는 $f^{!}$ 를 통해 후퇴한다! ${\$ f $^{!$ $f^{!}$ 코헨-매컬레이 사건의 이중화 셰이프, 그로텐디크 잔여물 기호.

세레 이중성보다 더 고전적인 언어로, 그러나 여전히 더 넓은 표현을 얻기 위해, 하트쇼른(Algebraic Geometry)은 셰이브의 Ext functor를 사용한다; 이것은 파생된 범주에 대한 일종의 디딤돌이다.

투영적 또는 적절한 형태론 $f:X\rightarrow Y$ : $f:X\rightarrow Y$ → $f:X\rightarrow Y$ $f:X\rightarrow Y$ 에 대한 Grotendieck 이중성의 고전적 진술은 Hartshorne (Residues and duality)에서 발견되는 유한차원의 노메테리아식 계략에 대한 $f:X\rightarrow Y$ 다음과 같은 준 이형성이다.

Rf_{\ast }RHOM_{X}(F^{\bullet },f^{!}}G^{\bullet }\RHOM_{Y}(RF_{\ast }F^{}\bullet }},G^{\bullet }})

$F^{\bullet }$ $∙{\$ 의 $F^{\bullet }$ 경우, 위 경계 $O_{X}$ ${\$ - 준일합성 코호몰로지 및 $G^{\bullet }$ $G^{\bullet }$ ${\$ G $^{\bullet }}}}$ 의 $O_{X}$ $G^{\bullet }$ $O_{Y}$ 복합체 아래 경계 $OY {\$ cohomology.여기 $H$ $o$ m $Hom$ s는 $Hom$ 동음이의어 덩어리다.

$f^{!}$ ${\$ f $^{!$ $}}$ 강성 이중화 콤플렉스를 이용한 필독소 $f^{!}$

몇 년 $f^{!}$ f $![\$ 를 구성하기 위한 몇 가지 접근방식이 있다. $}}}}$ 필독자가 나타났다 $f^{!}$ .꽤 최근의 성공적인 접근법은 경직된 이원화 복합체 개념에 기초한다.이 개념은 우선 반덴 베르흐에 의해 비확정적인 맥락에서 정의한 것이다.^[2]이 구조는 Hochschild cohomology(슈클라 cohomology) 파생된 Hochschild cohomology(슈클라 cohomology): $k$ $k$ 을(를) 교환 링으로 $k$ 하고, A $A$ 을(를) 교환 $k-$ - $k-$ 대수학으로 $k-$ 한다 $A$ .Functor $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ m A $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ k $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ ( $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ , $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $){\displaystyle RHom_{$ $A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ 가 $RHom_{{A\otimes _{k}^{L}A}}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ 코체인 $복합체$ M $M$ 을 $M$ (를) 개체 $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ m A $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ K $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ ( $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ , $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ L $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ ) ${\stylease RHOM_{\$ displaystylease RH}에 가져간다. $A$ $RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ ${\$ $otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ 에 $RHom_{{A\otimes _{k}^{L}A}}(A,M\otimes _{k}^{L}M)$ 대한 파생 범주 A {\ $displaystyle A$ ^[3]^[4]에 대한 .

$A$ $A$ 은 $A$ (는) 노메트리안이며, $k$ $k$ 에 $A$ 상대적인 A ${\displaystyle$ A $}$ 에 대한 경직성 이중화 콤플렉스는 정의상 페어 $(R,\rho )$ , $(R,\rho )$ 이고 $k$ $,$ $여기$ 서 R {\ $displaystyle$ R $(R,\rho )$ $}$ 은 $R$ $A$ $평면$ $치수$ 가 유한한 A {\ $dism$ 이다. $k$ $k$ 및 여기서 $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ : $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ → $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ m $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ , $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ ) ${\displaystyle \rho :R\to RHom_{{$ $A\otimes _{k}^{L}A}(A,$ $D(A)$ $\otimes _{k}^{L}R)$ 는 파생 범주 $D(A)$ A $D(A)$ ) $D(A)$ 에 있는 이형성 $D(A)$ 이처럼 $\rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)$ 경직된 이원화 복합체가 존재한다면 강한 의미에서는 유일하다.^[5]

유한한 형식 k{k\displaystyle}-algebra의{A\displaystyle}라고 가정하면은 불확대 경직된 dualizing{A\displaystyle}k{k\displaystyle}에게 먼저 Yekutieli과 Zhang[6]유한 크룰 전류량 k{k\displaystyle}은 정기noetherian 링을 가정하여 밝혀졌다 상대에 대한 복잡한 존재.nsi그리고 Avramov에 의해 Iyengar와 Lipman은^[7] k $k$ 이(가) 유한 Krull 치수의 고렌슈타인 링이고 $k$ $A$ $A$ 이 $A$ (가) k $k$ 위에 유한 평면 치수를 갖는다고 가정한다 $k$

한정된 형식의 k{k\displaystyle}만약 X{X\displaystyle}것은 한번 엄격한 dualizing 복잡한 전 세계적인 존재를 제정하고}는 견고한 dualizing 복잡한 RX{\displaystyle R_{X}을 얻다, 지도 f:X→ Y{\disp을 감안 아핀 조각 have,[8][9]이 견고한dualizing 단지들을 달라붙게 할 수 있다.laysty $k$ $k$ 을(를) 통한 계획의 $f:X\to Y$ 르 $f:X\to$ Y $k$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ ! $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ X $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ ∘ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ $f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}$ ${\$ $}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}}$ , where for a scheme $X$ , we set $D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})$ .

이중화 복합 예제

투사적 다양성을 위한 복합체 이원화

투영 버라이어티 $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ ${\$ X $\subset \mathb {P} ^n}$ 의 이원화 콤플렉스는 콤플렉스에서 주어진다 $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ .

\ophomega_{X}^{\bullet }=\mathrm {ROM} _{\mathb {P}^{n}}}}{\mathcal {O}_{X}\omega_{\mathb {P}^{n}}}[+n]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

^[10]

선을 교차하는 평면

투영적 다양성 고려

X={\text{Proj}\왼쪽({\frac {\mathb {C}[x,y,z,w]}{x(x)(x)(y,z)}}}}}{\text{Proj}\{\mathb {C}[x,y,xz]}}

We can compute $\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbb {P} ^{3}}[+3])$ using a resolution ${\mathcal {L}}^{\bullet }\to {\mathcal {O}}_{X}$ by locally free sheaves.이것은 콤플렉스가 주는 것이다.

0\to {\mathcal {O}}(-3){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z\\-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy&xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0

$\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ O $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ ( $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ - 4 $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ ) ${\displaystyle \omega _{\mathb {P}^{3}\cong$ {\ $mathcal {O}(4)}$ 이(가) 있기 때문에, 다음과 $\omega _{\mathbb {P} ^{3}}\cong {\mathcal {O}}(-4)$ 같은 결과가 나왔다.

\omega _{X}^{\bullet }=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet },{\mathcal {O}}(-4)[+3])=\mathrm {RHom} _{\mathbb {P} ^{3}}({\mathcal {L}}^{\bullet }\otimes {\mathcal {O}}(4)[-3],{\mathcal {O}})

이것이 콤플렉스다.

[{\mathcal {O}}(-4){\xrightarrow {\begin{bmatrix}xy\\xz\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {\begin{bmatrix}z&-y\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}(-1)][-3]

참고 항목

베르디에 이중성

메모들

^ Verdier 1969, Amnon Neeman에 의해 우아하고 일반적인 접근법이 발견되었는데, 대수적 위상 특히 갈색 표현성의 방법을 사용하였다(Neeman 1996 참조).
^ van den Bergh, Michel (September 1997). "Existence Theorems for Dualizing Complexes over Non-commutative Graded and Filtered Rings". Journal of Algebra. 195 (2): 662–679. doi:10.1006/jabr.1997.7052.
^ Yekutieli, Amnon (2014). "The Squaring Operation for Commutative DG Rings". arXiv:1412.4229 [math.KT].
^ Avramov, Luchezar L.; Iyengar, Srikanth B.; Lipman, Joseph; Nayak, Suresh (January 2010). "Reduction of derived Hochschild functors over commutative algebras and schemes". Advances in Mathematics. 223 (2): 735–772. arXiv:0904.4004. doi:10.1016/j.aim.2009.09.002. S2CID 15218584.
^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 May 2008). "Rigid Dualizing Complexes Over Commutative Rings". Algebras and Representation Theory. 12 (1): 19–52. arXiv:math/0601654. doi:10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID 13597155.
^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 May 2008). "Rigid Dualizing Complexes Over Commutative Rings". Algebras and Representation Theory. 12 (1): 19–52. arXiv:math/0601654. doi:10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID 13597155.
^ Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (14 January 2010). "Reflexivity and rigidity for complexes, I: Commutative rings". Algebra & Number Theory. 4 (1): 47–86. arXiv:0904.4695. doi:10.2140/ant.2010.4.47. S2CID 18255441.
^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (2004). "Rigid dualizing complexes on schemes". arXiv:math/0405570.
^ Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (10 September 2011). "Reflexivity and rigidity for complexes, II: Schemes". Algebra & Number Theory. 5 (3): 379–429. arXiv:1001.3450. doi:10.2140/ant.2011.5.379. S2CID 21639634.
^ Kovacs, Sandor. "Singularities of stable varieties" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2017-08-22.

참조

Greenlees, J. P. C.; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I-adic completion and local homology", Journal of Algebra, 149 (2): 438–453, doi:10.1016/0021-8693(92)90026-I, ISSN 0021-8693, MR 1172439
Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 20–48
Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", Journal of the American Mathematical Society, 9 (1): 205–236, doi:10.1090/S0894-0347-96-00174-9, ISSN 0894-0347, MR 1308405
Verdier, Jean-Louis (1969), "Base change for twisted inverse image of coherent sheaves", Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford University Press, pp. 393–408, MR 0274464
Hopkins, Glenn, An Algebraic Approach to Grothendieck's Residue Symbol (PDF)

[1] Verdier 1969, Amnon Neeman에 의해 우아하고 일반적인 접근법이 발견되었는데, 대수적 위상 특히 갈색 표현성의 방법을 사용하였다(Neeman 1996 참조).

[2] van den Bergh, Michel (September 1997). "Existence Theorems for Dualizing Complexes over Non-commutative Graded and Filtered Rings". Journal of Algebra. 195 (2): 662–679. doi:10.1006/jabr.1997.7052.

[3] Yekutieli, Amnon (2014). "The Squaring Operation for Commutative DG Rings". arXiv:1412.4229 [math.KT].

[4] Avramov, Luchezar L.; Iyengar, Srikanth B.; Lipman, Joseph; Nayak, Suresh (January 2010). "Reduction of derived Hochschild functors over commutative algebras and schemes". Advances in Mathematics. 223 (2): 735–772. arXiv:0904.4004. doi:10.1016/j.aim.2009.09.002. S2CID 15218584.

[5] Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 May 2008). "Rigid Dualizing Complexes Over Commutative Rings". Algebras and Representation Theory. 12 (1): 19–52. arXiv:math/0601654. doi:10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID 13597155.

[6] Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 May 2008). "Rigid Dualizing Complexes Over Commutative Rings". Algebras and Representation Theory. 12 (1): 19–52. arXiv:math/0601654. doi:10.1007/s10468-008-9102-9. S2CID 13597155.

[7] Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (14 January 2010). "Reflexivity and rigidity for complexes, I: Commutative rings". Algebra & Number Theory. 4 (1): 47–86. arXiv:0904.4695. doi:10.2140/ant.2010.4.47. S2CID 18255441.

[8] Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (2004). "Rigid dualizing complexes on schemes". arXiv:math/0405570.

[9] Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (10 September 2011). "Reflexivity and rigidity for complexes, II: Schemes". Algebra & Number Theory. 5 (3): 379–429. arXiv:1001.3450. doi:10.2140/ant.2011.5.379. S2CID 21639634.

[10] Kovacs, Sandor. "Singularities of stable varieties" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2017-08-22.

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목차

보조 펑터 관점

$f^{!}$ ${\$ f $^{!$ $}}$ 강성 이중화 콤플렉스를 이용한 필독소 $f^{!}$

이중화 복합 예제

투사적 다양성을 위한 복합체 이원화

선을 교차하는 평면

참고 항목

메모들

참조

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f! {\displaystyle f^{!}}강성 이중화 콤플렉스를 이용한 필독소

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$f^{!}$ ${\$ f $^{!$ $}}$ 강성 이중화 콤플렉스를 이용한 필독소 $f^{!}$