효과 대수

효과 알헤브라는 양자역학에서 관찰할 수 있는 사건의 (부분적) 대수적 특성을 추상화하는 부분 알헤브라스다.효과 알헤브라에 해당하는 구조는 1980년대 후반과 1990년대 초에 이론물리학이나 수학에서 세 개의 다른 연구 그룹에 의해 도입되었다.그 이후로, 그들의 수학적 특성과 물리적인 특성과 계산적 중요성은 이론 물리학, 수학, 컴퓨터 과학 분야의 연구자들에 의해 연구되었다.

역사

1989년에 Giuntini와 Greuling은 unarp 특성을 연구하기 위한 구조를 도입했는데, 이는 발생 확률이 0과 1 사이인 양자 사건을 의미한다(따라서 둘 중 어느 쪽도 사건이 아니다).^[1][2]1994년, Chovanec과 Kôpka는 D-poset을 부분적으로 정의된 차이 연산을 갖는 포셋으로 도입했다.^[3]같은 해 베넷과 파울리스 이펙트 알헤브라와 언삭 양자 로직의 논문이 발표되었다.^[4]효과 대수라는 용어를 처음 사용한 것이 이 마지막 논문이었지만,^[5] 세 가지 구조는 모두 동등하다는 것이 밝혀졌다.^[2]D-posets와 effect algebras 범주의 이형성 증명은 예를 들어 Dvurecenskij와 Pulmannova에 의해 제시된다.^[6]

동기

양자역학에 대한 운영적 접근방식은 일련의 관측 가능한 (실험적) 결과들을 물리적 시스템의 구성 개념으로 삼는다.즉, 물리적 시스템은 일어날 수 있는 사건들의 집합으로 보여지고 따라서 현실에 측정 가능한 영향을 미친다.그런 사건을 효과라고 한다.^[7]이 관점은 이미 시스템을 설명하는 수학적 구조에 제약을 가한다: 우리는 각각의 효과에 확률을 연관시킬 수 있어야 한다.

힐베르트 공간 형식주의에서 효과는 다음과 같은 부분 순서로 ID 연산자 아래에 있는 양성 반피니트 자기 적응 연산자에 해당한다.${\displaystyle }$$A{\displaystyle }$${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\leq$ B$}(B$${\displaystyle }$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B-A}$이(가)^[5] 양의$$ 세미데마인 경우만 해당).양수인 조건에서는 기대값이 음수가 아니라는 것을 보장하고, ID 연산자보다 낮으면 확률을 산출한다.이제 힐버트 우주 효과에 대한 두 가지 작업을 정의할 수 있다.${\displaystyle$$=$$I-A{\displaystyle }$$}$ 및$$ $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\$$displaystyle$ $A$$+B\leq I$ $여기$서 I ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle I}$은 ID 연산자를 가리킨다.$A{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle A'}$은(는) 양의 세미데마인테고, A ${\displaystyle A}$이기 때문에 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$ 아래에 있으므로$$ 항상 정의된다는 점에 유의하십시오.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) A ${\displaystyle A}$의 부정으로 생각할$$ 수 있다$.$ $A{\displaystyle }$+ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A+B}$은(는) 항상 양의 세미데핀이지만 모든 쌍에 대해 정의되지 않는다. 합계가 ID 아래에 있는 효과 쌍에 대해 정의 영역을 제한해야 한다.이러한 쌍을 직교라고 하며 직교성은 관측 가능성의 동시 측정 가능성을 반영한다.

정의

효과 대수학은 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 $세트{\displaystyle }$ E ${\displaystyle E$ $상수{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle 0}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$$ ${\displaystyle 1$$\},$ 총 단일 연산${\displaystyle {}^{}}$:${\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle E}$ ${\displaystystyle ':$$E\rightarrow E}$, a binary relation ${\displaystyle \bot \subseteq E\times E}$, and a binary operation ${\displaystyle \oplus :\bot \rightarrow E}$, such that the following hold for all ${\displaystyle a,b,c\in E}$:

• 동시성: 만약${\displaystyle }if{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\perp$ b$}$이$($가) 있다면 b ${\displaystyle b}$ a${\displaystyle b\perp a$$}$ 및 ${\displaystyle \oplus }$ $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \oplus }$ a${\displaysty$ a$\oplus b=b\oplus$ a$\},$
• associativity: if ${\displaystyle a\perp b}$ and ${\displaystyle (a\oplus b)\perp c}$, then ${\displaystyle b\perp c}$ and ${\displaystyle a\perp (b\oplus c)}$ as well as ${\displaystyle (a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c),}$
• ${\displaystyle \mathrm{맞춤법}}$: ${\displaystyle \perp }$ ${\$과(${\displaystyle {}^{})}$${\displaystyle }$${\displaystyle {\oplus }^{}}$ = ${\displaystyle 1}$ 1 ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $a\$oplus a$'=1$ $plus$ b = 1 {\$displaystyle$ $a$$\oplus b=1},$b$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$= ${\$ b$=a$
• 제로원 법칙: ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a\perp 1$이면 $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=0$^[4] .

단일 작업$\{\$을(를) 정형화라고 하며$$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle a}$의 정형화라고 한다$.$$\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$의 정의 $\perp {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \bot }$을(를) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 직교라고 하며$$${\displaystyle ,<img\; alt="E"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4232c9de2ee3eec0a9c0a19b15ab92daa6223f9b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.776ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="128">}$ a , ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\$$displaysty$ $a$$,b\in$ $E}$은 if b$}$인 경우에만 직교라고 한다$$$.$$\oplus {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ^[4]$\oplus }$ 작업을$$ 직교 합계 또는 단순 합계라고 한다.

특성.

효과 대수의 모든$$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$ $a{\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a,b}$ 및$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에 대해${\displaystyle }$shown ${\displaystyle b}$, c {\$displaystyle a\perp b,c}$을 가정하여 다음과 같이 표시할 수 있다$.$

• ${\displaystyle {}^{}a}$ ${\displaystyle {″}^{}}$= ${\displaystyle$ a$''=a$
• ${\displaystyle {}^{}0}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= 1 ${\displaystyle$ 0$'=1$
• ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\$${\displaystyle \mathrm{perp}}$ $0}$및 ${\displaystyle \oplus }$ $0{\displaystyle }$= ${\displaystyle a\oplus 0=a$
• ${\displaystyle ab}$b = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\oplus$b=$0}$은${\displaystyle }a{\displaystyle }$ = ${\displaystyle b}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle a=b=0}$을(를) 의미한다$.$
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle b}$= ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\oplus b=a\oplus c}$은 ${\displaystyle b}$= c ${\displaystyle b=c}$를 의미한다$.$^[4]

주문 속성

모든 효과 대수학 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$은 부분적으로 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$과 같이 정렬된다: c${\displaystyle }$$is{\displaystyle }$ E ${\displaystyle a\perp c}$과 ${\displaystyle \oplus }$ $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\oplus c=b$이($가)$ 있는 경우에만$$ $해당$된다.이 부분 순서는 다음을 충족한다.

• ${\displaystyle ab}$ b ${\displaystyle a\leq$ $b$$}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $b{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ≤ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ≤$$≤ {\$displaystyle$ b$'\leq$ a$\text{'}\},$
• ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle b}${\$displaystyle a\perp$ b$}$ $만약$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ′ b ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ b$\text{'}\}$^[4]인 경우만.

예

오르토알게브라스

효과 대수 정의의 마지막 공리가 다음과 같이 대체되는 경우:

• $if{\displaystyle }$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle$ a$\perp a$ 그러면 a = 0 {\$displaystyle a=0$

정형외과의 정의를 ^[4]내리다이 공리는 효과 알헤브라에 대한 마지막 공리를 내포하므로(다른 공리가 있는 경우), 모든 직교 지브라는 효과 대수다.직교 게브라(및 효과 알제브라)의 예는 다음과 같다.

• 직교성원소로 부정이 있고 결합이 합으로 분리된 부울 알헤브라가 있다.^[8]
• 직교양양체,^[8]
• 직교 격자,^[8]
• orth-algebras는 직교조로서 보완을 하고 조합은 합으로 요소들을 분리하는 것을 제한한다.^[9]
• 힐베르트의 공간 투영과 힐베르트의 공간 효과에 대한 정의로 정의되는 합과 직교로 인한 힐베르트의 공간 투영.^[8]

MV알제자리 MV

모든 MV-알제브라(MV-algebra)는 단항 연산을 직교 요소로 하고 이항 연산을 합으로 직교 요소로 제한하는 효과 대수(그러나 일반적으로 직교 연산은 아니다)이다.MV-algebras의 $맥락$에서, ${\displaystyle a,}$ b$${\$displaystyle a,$$b{\displaystyle {}^{}}$} 원소 쌍의 직교성은${\displaystyle {}^{}{\prime }^{}{}^{}1}$ =$$1 {\$displaystyle$a'\$oplus b'=$1}로$$ 정의된다$.$ 이것은 MV-algebra를 효과 대수로서 볼 때 직교와 일치한다.^[10]

An important example of an MV-algebra is the unit interval ${\displaystyle [0,1]}$ with operations ${\displaystyle a'=1-a}$ and ${\displaystyle a\oplus b=\max(a+b,1)}$. Seen as an effect algebra, two elements of the unit interval are orthogonal if and only if ${\disp$$laystyle a+b$\leq$$ $1}$을(를) 사용한 다음 1${\displaystyle b}$= +${\displaystyle b}$ = a + b ${\displaystyle a\oplus b=a+b}$을$($를) .

유니탈 C*-알지브라 효과 집합

Slightly generalising the motivating example of Hilbert space effects, take the set of effects on a unital C*-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, i.e. the elements ${\displaystyle a\in {\mathfrak {A}}}$ satisfying ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$. The addition operation on ${\displaystyle a,b\in [0,1{]}_{\mathfrak{A}}}$${\displaystyle a,b\in [0,1]_{\mathfrak {A}$은${\displaystyle (}$는) + ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \le }$ 1 ${\displaystyle$ a$+b\leq 1}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{다음}}$에 ${\displaystyle \oplus }$ $b{\displaystyle }$=${\displaystyle }$+ ${\displaystyle b}$ ${\displaysty a\oplus b=a+b}$일 때 정의된다$.$orth${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle }$a$${\$displaystyle a'=1-a}$에 의해 정형화가 주어진다$.$^[11]

효과 알헤브라의 종류

연구된 효과 알헤브라의 종류는 다양하다.

• 간격 효과 알헤브라는 간격${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ ${\$로 나타난다.그중$$${G}$이(가) 아벨리안 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 주문했다$.$^[4]
• 볼록 효과 알헤브라는 대수에서$$ 실제 단위 간격${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]}$의 작용을 가지고 있다.Gudder의 표현 정리는 이 모든 것들이 실제 순서 벡터 공간의 간격 효과 대수학으로서 발생한다는 것을 보여준다.^[12]
• 격자 효과 알헤브라는 주문 구조가 격자를 형성한다.^[13]
• Riesz 분해 특성을 만족하는 효과 알헤브라스:^[14] MV-알제브라는 정확히 Riesz 분해 특성을 가진 격자 효과 대수학이다.^[15]
• 순차 효과 알헤브라는 Lüders 제품을 C*-알제브라에 모델링하는 추가 순차적 제품 연산을 가지고 있다.^[16]
• 효과 모노이드란 효과 알헤브라의 범주에 있는 모노이드다.그것들은 추가적인 연관성 있는 단분배배분배 곱셈 연산을 가진 효과 알헤브라스다.^[17]

형태론

효과$$ 대수 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$에서 효과 대수 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$까지의 형태론은 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle E}$→ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:$${\displaystyle F}$ ( $1$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle$f(1)=1}$$및 모든$$ $a{\displaystyle }$ ,$b 1$ E $displaystyle a,b\$in E$}$과 같은 $E$$오른쪽 화살표$ F$}$

${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\perp b}$은(는) $f{\displaystyle }$(${\displaystyle }$)$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (b)}$ {\$displaystyle$ f$(a)\perp$f$(b)}$ 및 f$$ ${\displaystyle (은)}$ =${\displaystyle f}$( )${$ ${\displaystyle f}$($a\oplus$ b$)=f(a)\oplus f(b)}$을 의미한다$.$^[4]

그리고 나서 형태는 정형화된 요소들을 보존한다는 것을 따른다.

이러한 형태론을 갖춘 효과 알제브라는 다음과 같은 특성을 가진 범주를 형성한다.

• 부울 알헤브라의 범주는 효과 알헤브라의 범주의 전체 하위 범주다.^[18]
• 모든 효과 대수학은 유한 부울 알헤브라의 콜리밋이다.^[18]

양의 연산자 값 측정값

알헤브라가 양자 이론에서 개념을 설명하기 위해 어떻게 사용되는지를 보여주는 예로서, 양성 운영자 값 측정치의 정의는 다음과 같이 효과 대수 형태론의 관점에서 주조될 수 있다.$E{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle {\mathcal {E}(H)}$을(를) 힐버트 공간 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 효과 대수,$$$and{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$을(를) σ-algebra로 한다$$.양수 연산자 값 측정(POVM)은 계수 가능한 체인의 결합을 보존하는$$ 효과 대수형 형태론 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$→ E${\displaystyle }$( $){\displaystyle \Sigma \righarrow {\mathcal{E}(H)$이다.POVM은 그것의 이미지가 Hilbert $공간{\displaystyle }$H {\$displaystyle$H}에 있는 투영의 직교골에 포함되어 있을 때 정확하게 투영 값 측정값이다$.$^[9]

참조

외부 링크

• nLab에서의 효과 대수