타원 이성 함수

수학에서 타원적 이성 함수는 실제 계수를 갖는 이성 함수의 배열이다.타원형 합리함수는 타원형 전자필터 설계에 광범위하게 사용된다.(이 기능들을 같은 이름의 특정 다른 기능과 혼동하지 않기 위해 체비셰프 이성함수라고도 한다.)

합리적인 타원 함수는 양의 정수 n으로 식별되며 선택성 계수라고 하는 매개변수 ξ ≥ 1을 포함한다.선택도계수 ξ을 가진 x의 도 n의 합리적인 타원함수는 일반적으로 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n\frac {K(1/L_{n})(\xi )}}{K(1/\xi )}}}}}\K(, {cd}), 1/L_{n}(\xi )$

어디에

• cd(u,k)는 자코비 타원 코사인 함수다.
• K()는 제1종류의 완전한 타원 적분이다.
• ${\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}$ is the discrimination factor, equal to the minimum value of the magnitude of ${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ for ${\displaystyle x \geq \xi }$.

많은 경우에 특히 a와 b가 정수인 n = 23^ab 형식의 순서에 대해서는 대수함수만으로 타원적 합리함수를 표현할 수 있다.타원적 합리함수는 체비셰프 다항식과 밀접한 관계가 있다:순환 삼각함수가 자코비 타원함수의 특수한 경우인 것처럼 체비셰프 다항식도 타원적 이성함수의 특수한 경우다.

다항식 비율의 표현식

짝수의 경우 타원적 합리적 함수는 두 다항식의 비율로 표현될 수 있으며, 두 다항식 모두 n이다.

${\$$}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi}}}}}}})($n 짝수)

where ${\displaystyle x_{i}}$ are the zeroes and ${\displaystyle x_{pi}}$ are the poles, and ${\displaystyle r_{0}}$ is a normalizing constant chosen such that ${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}$. The above form would be true for even orders as well except that for odd orders, there는 x=sns에서 극이 되고 x=0에서 0이 되므로 위의 양식을 수정하여 다음과 같이 읽어야 한다.

$){\$$}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi}}}}}}})($홀수 없음)

특성.

표준 속성

• ${\displaystyle {}_{}^{}}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}\xi }$, ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)\leq 1}$ x$$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\$ x $\leq 1\,}$
• ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x)=1}$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="R\_\{n\}^\{2\}(\backslash xi\; ,x)=1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d6853b8b8044a1bfa37e1d39aeb5257153db5307"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:12.446ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="60">}}$= 1 ${\$ x $=1\,}$
• ${\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,-x)=R_{n}^{2}(\xi ,x)}$
• (, )> 1 $({\displaystyle R_{n}^{2}(\xi ,x))>$$}$의 경우1 $({\$
• x=1의 경사는 가능한 한 크다.
• x=1의 기울기는 같은 순서의 체비셰프 다항식의 해당 기울기보다 크다.

위의 특성을 만족하는 유일한 합리적 함수는 타원적 합리적 함수(Lutovac 2001, § 13.2) harv 오류: no target: CITREFLutovac2001 (도움말)이다.다음과 같은 속성이 파생된다.

정규화

타원적 이성 함수는 x=1에서 통일로 정규화된다.

${\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1\,}$

내포 속성

내포 속성은 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle R_{m}(R_{n})(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)\,}$

이것은 매우 중요한 재산이다.

• $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$displaystyle $R_{n}}$이 모든$$ prime n에 대해 알려진 경우 내포 속성은 모든 n에 대해$$ ${\displaystyle {Rn}_{}}$ ${\$}}을$($를) 부여한다.특히 R ${\$}}$$및$$ R ${\$은(는) 자코비 타원함수를 명시적으로 사용하지 않고 닫힌 형태로 표현할 수$$ 있으므로, $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle b^{}}$의 n에 대한$$ $모든{\displaystyle {}_{}}$ R ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ $R_{$$a}{n$}}}}{$b}}}$는 그렇게 표현할 수 있다$$.
• 프라임 n에 대한$$ ${\displaystyle R_{}}$ n ${\$의 0을 알면 모든 R $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 0을 찾을 수 있다$$.반전 관계(아래 참조)를 사용하여 극도 찾을 수 있다.
• 내포 속성은 차별 요소의 내포 속성을 의미한다.

${\displaystyle L_{m\cdot n}(\xi )=L_{m}(L_{n})(\xi )}$

값 제한

타원적 합리적 함수는 다음과 같은 방법으로$$ 첫 번째 종류 T ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T_{n}(x)}$의 체비셰프 다항식과 관련된다.

${\displaystyle \lim _{\xi =\오른쪽 화살표 \,\ft }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)\,}$

대칭

${\$$짝수$ $n에$대한 R_{$n}(\$xi ,$x)\,}$

${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$,${\displaystyle }$- x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- R ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$, ${\displaystyle x}$) ${\$

에퀴리플

${\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}$ has equal ripple of ${\displaystyle \pm 1}$ in the interval ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$. By the inversion relationship (see below), it follows that ${\displaystyle 1/R_{n}(\xi ,x)}$ has equiripple in ${$$\displaystyle -1/\xi \leq x\leq 1/\xi$ $}$${\displaystyle }$± ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$) ${\displaystyle \pm 1/L_{n}(\xi )}$.

반전 관계

다음과 같은 반전 관계는 유지된다.

${\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}}}},}$

이는 극과 영이 짝을 이루어서 다음과 같이 된다는 것을 암시한다.

${\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}$

홀수 순서 함수는 x=0에 0을, 무한대에 해당하는 극을 갖는다.

폴스와 제로

순서 n의 타원적 합리적 함수의 0은 ${$${\displaystyle \mathrm{ni}\}}$ {\$displaystyle x_{$ni}(\$xi$ )} 또는$$ $display$ {\displaystyle x_{$ni$$}}$이 ${\displaystyle {\mathrm{암묵적}}_{}}$으로 알려진 ${\displaystyle {경우}_{}}$$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ n i ${\$displaystystyle $x_$${ni$}}}로 기록된다.타원적 합리함수의 0은 함수의 분자에 있는 다항식의 0이 될 것이다.

타원적 합리적 함수의 0의 다음 출처는 체비셰프 다항식(Lutovac 2001, § 12.6) 하브 오류의 0을 결정하는 것과 유사하다: 목표 없음: CITREFLutovac2001(도움말).모든 z에 대해 이 사실을 사용

${\displaystyle \mathrm {cd} \left(2m-1)K\left(1/z\right),{\frac {1}{z}\right)=0\,}$

타원 이성 함수에 대한 정의 방정식은 다음을 함축한다.

${\displaystyle n{\l_{n}}{K(1/\xi )}}{K(1/\xi )}\mathrm {cd}^{1}(x_{m},1/\xi )=(2m-1)K(1/L_{n}}}$

0이 주어지도록

${\displaystyle x_{m}=\mathrm {cd} \left(K(1/\xi )\,{\frac {2m-1}{n1},{\frac {1}{\xi }\오른쪽).}$

그런 다음 반전 관계를 사용하여 극을 계산할 수 있다.

내포 특성에서 ${\displaystyle {Rm}_{}}$ ${\$과 ${\displaystyle {Rn}_{}}$ ${\$의 영을 대수적으로 표현할 수 있다면$$(즉, 자코비 타원함수를 계산할 필요 없이) $Rm{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$n ${\$의 영을 대수적으로 표현할 수 있다$$.특히 순서 $2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ 3 ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 타원적 합리적 함수의 0은 대수적으로 표현할 수 있다$$(Lutovac 2001, § 12.9, 13.9) 하브 오류: 대상 없음: CITREFLutovac2001 (도움말).${\displaystyle 예}$를 들어 R ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle x}$) ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$의 0을 다음과 같이$$ 찾을 수 있다.정의

${\displaystyle X_{n}\equiv R_{n}(\xi ,x)\qquad L_{n}\equiv R_{n}(\xi ,\xi )\qquad t_{n}\equiv {\sqrt{1-1/L_{n}^{2}}.}$

그러면 둥지 틀고 그걸 아는 것부터.

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}$

$여기$서 t ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ /${\displaystyle \sqrt{\xi {}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$

${\displaystyle L_{2}={\frac {1+t}{1-t}}{1-t}:{4}={\frac {1+t_{2}}:{1-t_{2}}:},\qquad L_{8}={\frac{1+t_{4}}}}}}:{1-t_{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle X_{2}={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}},\qquad X_{4}={\frac {(t_{2}+1)X_{2}^{2}-1}{(t_{2}-1)X_{2}^{2}+1}},\qquad X_{8}={\frac {(t_{4}+1)X_{4}^{2}-1}{(t_{4}-1)X_{4}^{2}+1}}.}$

이 마지막 세 방정식은 반전될 수 있다.

${\displaystyle x={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t\,\왼쪽({\frac {1-X_{2}}:{1+X_{2}}:}\오른쪽)}}}},\qquad X_{2}={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{2}\,\좌측({\frac {1-X_{4}}}}{1+X_{4}}}}{1+X_{4}}}}}}{1+X_{4]}}}\오른쪽)}}}},\qquad X_{4}={\flac {1}{\pm {\sqrt {1+t_{4}\,\좌측({\frac {1-X_{8}}{1+X_{8}}}}}}}}}}}}}.\qquad }}}}}}$

To calculate the zeroes of ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x)}$ we set ${\displaystyle X_{8}=0}$ in the third equation, calculate the two values of ${\displaystyle X_{4}}$, then use these values of ${\displaystyle X_{4}}$ in the second equation to calculate four values of ${\displaystyle X_2}$${\displaystyle X_{1}:{$n2}} 마지막으로$$ 첫 번째 방정식에서 이 값을 사용하여 $R{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle }$, ${\displaystyle x}$)의 8개 0을 계산한다. ${\displaystyle R_{8}(\xi ,x$ ($t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은 유사한 반복에 의해 계산된다$$.)다시 말하지만, 반전 관계를 이용하여 이러한 0은 극을 계산하는 데 사용될 수 있다.

특정 값

우리는 처음 몇 개의 타원적 합리적 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x\,}$

${\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}$

어디에

${\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}:}}}}$

${\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{p}^{2}(x^{2}-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2}){{x^{p}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}\!-\!1)^{2/3}}^{2/3}$

${\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt{G}}{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}-{\sqrt{G^{3}}}}}}}}}}$

${\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}$

${\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}$

${\$$R_{3}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_$${2}(\xi ,x)\,}$ 등

순서 n=5 및 $n{\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}{\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\$의 명시적 표현은 Lutovac(2001, § 13) harvtxt 오류: no target: CITREFLutovac2001 (도움말)을 참조하십시오$.$

해당 차별 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle L_{1}(\xi )=\xi \,}$

${\displaystyle L_{2}(\xi )={\frac {1+t}{1-t}=\좌측(\xi +{\sqrt{\xi ^{2}-1}\우측)^{2}}$

${\displaystyle L_{3}(\xi )=\xi ^{3}\왼쪽({\frac {1-x_{p}^{2}}:{\xi ^{2}-x_{p}^{2}}\오른쪽)^{2}}:$

${\displaystyle L_{4}(\xi )=\좌({\sqrt {\xi }}+(\xi ^{2}-1)^{1/4}\우)^{4}\좌(\xi + sqrt {\xi ^{2}}:$

${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 6 (${\displaystyle \xi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$) )${\$ 등

해당하는 0은 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이며, 여기서 n은 순서, j는 0의 숫자다.각 주문에는 총 n개의 0이 있을 것이다.

${\displaystyle x_{11}=0\,}$

${\displaystyle x_{21}=\xi {\sqrt {1-t}\,},}$

${\displaystyle x_{22}=-x_{21}\,}$

${\displaystyle x_{31}=x_{z}\,}$

${\displaystyle x_{32}=0\,}$

${\displaystyle x_{33}=-x_{31}\,}$

${\displaystyle x_{41}=\xi {\sqrt}\\좌측(1-{\\sqrt{t}\우측)\좌측(1+t-{\sqrt{t(t+1)}}},}$

${\displaystyle x_{42}=\xi {\sqrt}\\좌측(1-{\\sqrt{t}\우측)\좌측(1+t+{\sqrt{\t(t+1)}}},}$

${\displaystyle x_{43}=-x_{42}\,}$

${\displaystyle x_{44}=-x_{41}\,}$

반전 관계에서 해당하는 극 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 x ${\displaystyle {p,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \xi }$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle x_{p,ni}=\xi /(x_{ni}}}})$로 확인할 수 있다$$.

참조

• 매트릭월드
• Daniels, Richard W. (1974). Approximation Methods for Electronic Filter Design. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6.
• Lutovac, Miroslav D.; Tošić, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2.