경험적 특성 함수

( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . . ,${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n}}}$은(는) 독립적이며 공통 특성 함수 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \varphi (t)}$과(는)로 동일한 분산된 실제 값 랜덤 변수$.$다음과 같이 정의된 경험적 특성 함수(ECF)

${\displaystyle \varphi _{n}(t)={\frac {1}{n1}\sum _{j=1}e^{\rm {i}tX_{j},\\\rm {i}={\sqrt{-1},}$

그 상응하는 인구 특성 함수의 일관되고 불편 추정량.(t){\displaystyle \varphi(t)}, 각 t동안 φ ∈ R{\displaystylet\in \mathbb{R}}. 그 ECF 분명히 첫 페이지 342의 고전적인 교과서 계수(1946년)[1]면서 부분의 보조 도구의 밀도 esti.매트파젠(1962년)^[2]의 이온거의 10년 후 ECF는 두 개의 별도 적용 라인에서 연구의 주요 대상으로 기능한다.매개변수 추정은 프레스(1972)에서,^[3] 적합도 검정은 히스코트(1972)에서.^[4]그 이후로 ECF에 근거한 통계 추론 방법의 광범위한 확대가 있었다.For reviews of estimation methods based on the ECF the reader is referred to Csörgő (1984a),^[5] Rémillard and Theodorescu (2001),^[6] Yu (2004),^[7] and Carrasco and Kotchoni (2017),^[8] while testing procedures are surveyed by Csörgő (1984b),^[9] Hušková and Meintanis (2008a),^[10] Hušková and Meintanis (2008b),^[11] and Meintanis (2016).^[12]우샤코프(1999)^[13]와 프라카사 라오(1987)(^[14]8장)는 ECF를 통한 추정과 적합도 시험뿐만 아니라 ECF 공정의 한계 속성에 대한 좋은 정보 출처다.특별히 언급할 가치가 있는 연구 라인은 Székeley 외 연구진이 원래 제안했던 대로 거리 상관에 의한 ECF 독립성 시험이다.(2007).^[15]이 접근법은 매우 대중적이 되었고 현재 활발한 개발 중에 있다.거리 상관 방법에 대한 최근 조사는 Edelmann et al. (2019)^[16]를 참조한다.대칭성, 동질성 및 독립성 시험을 위한 기본적인 ECF 기반 적합도 방법에 대한 최근의 설명은 Chen et al. (2019)에서 찾을 수 있다.^[17]

참조