엥겔 정리

수학의 한 분야인 표현 이론에서 엥겔의 정리는 유한차원 리 $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$ g ${\$ {$g}$이(${\displaystyle 가\mathfrak{}}$) 각 $display$ g {\$displaystyle X\in$ {\$mathfrak {g}$에 대한 경우에만 nilpotent Lie 대수라고$$ 명시하고 있다$.$

${\displaystyle \operatorname {ad}(X)\colon {\mathfrak {g}\to {\mathfrak {g},}$

given by ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$, is a nilpotent endomorphism on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; i.e., ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}$ for some k.^[1]그것은 엥겔의 정리라고도 불리는 정리의 결과인데, 만일 행렬의 리 대수학이 영분점 행렬로 이루어진다면, 행렬은 모두 동시에 엄밀하게 상위 삼각형 형태로 올 수 있다는 것이다.Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent as a Lie algebra, then this conclusion does not follow (i.e. the naïve replacement in Lie's theorem of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one-dimensional Lie subalgebra of scalar matrices).

이 정리는 수학자 프리드리히 엥겔이 1890년 7월 20일(호킨스 2000, 페이지 176)의 빌헬름 킬링에게 보낸 편지에서 그 증거를 스케치한 데서 따온 것이다.엥겔의 제자 K.A.움라우프는 (Umlauf 2010)로 재인쇄된 1891년 논문에서 완전한 증거를 제시했다.

진술들

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\displaystyle \mathfrak{l}}$($){\displaystyle {\mathfak{gl}(V)}}$을(를) 유한차원 벡터 공간 V $및{\displaystyle \mathfrak{}}$ g${\displaystyle \mathfrak{g}}$ g${\displaystyle }$l ($){\mathfrak {g}\subset{\mathfrak{g}}(V)$의 내형성에 대한 Lie 대수학으로 한다$$.그렇다면 엥겔의 정리에서는 다음과 같은 것이 동등하다고 말하고 있다.

1. 각 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$는 V의 영점 내형성이다$$.
2. There exists a flag ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}$ such that ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}$; i.e., the elements of ${\displaystyle {\ma$$thfrak{g}}$은(는) 동시에 완전히 상분할 수 있다$$.

기본 기본 필드에 대한 가정은 필요하지 않다는 점에 유의하십시오.

다양한 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 및$$ V에 대한 문장 2.은 문장과 동일하다는 점에 유의한다.

For each nonzero finite-dimensional vector space V and a subalgebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$, there exists a nonzero vector v in V such that ${\displaystyle X(v)=0}$ for every ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.$$}$

이것은 #proof에서 증명된 정리의 형식이다.(이 진술은 요구되는 특성으로 깃발을 귀납적으로 구성할 수 있기 때문에 사소한 것으로 Statement 2와 동등하다.)

In general, a Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is said to be nilpotent if the lower central series of it vanishes in a finite step; i.e., for ${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak$${g}}}$ = (i+1)-${\$${\displaystyle {}^{}\mathfrak{}}$ k${\displaystyle }$= ${\displaystyle$ C$^{k}{\mathfrak{g}=0}$과 같은 k가 있다$.$Then Engel's theorem gives the theorem (also called Engel's theorem): when ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ has finite dimension, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is nilpotent if and only if ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ is nilpotent for each ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$$$. Indeed, if ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ consists of nilpotent operators, then by 1. ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 2. applied to the algebra ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$, there exists a flag ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ such that ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$.$C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ C$^{i}{\mathfrak {g}\subset$ {\$mathfrak$ {$g}_$i$}}}$이(가) $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$g}$이(가) nilpotent라는$$ 것을 의미하므로(정확실히 그 반대).

증명

우리는:[2]만약 g⊂ g나는(V){\displaystyle{\mathfrak{g}}\subset{\mathfrak{gl}}(V)}는 리 subalgebra의 정리의 다음과 같은 형태다는 X∈ g{\displaystyle X\in{\mathfrak{g}}}은 멱영원의 자기 준동형과 만약 V가 긍정적인 차원이 존재하는 조금 벡터 v에 V가 X(.v${\displaystyle )}$= 각 X에 대해$$ $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {g$}$의 0 {\$displaystyle X(v)=0$$\}.$

$증명$은 g ${\$의 치수에 따라 유도되며 몇$$ 단계로 구성된다.(참고 그 증명 구조는 해결 가능한 대수학에 관한 리의 정리 구조와 매우 유사하다.)기본적인 경우는 사소한 것으로 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 치수가 양수라고$$ 가정한다.

1단계: $이상적$인 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 코드인$$ 1을 g ${\$에 찾으십시오$.$

이것이 가장 어려운 단계다.$h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 유한-차원성에 의해 $존재$하는 g ${\$의 최대(적절한) 하위 골격으로 한다$$$.$우리는 그것이 이상적이고 코디네이션이 있다고 주장한다.For each ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$, it is easy to check that (1) ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ induces a linear endomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ and (2) this induced map is nilpotent (in사실, ${\displaystyle \mathrm{ad}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \operatorname {ad}(X)}$은(는) nilpotent).Thus, by inductive hypothesis, there exists a nonzero vector v in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ such that ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}$ for each ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. That is to say, if ${\displaystyle v=[Y]}$ forsome Y in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ but not in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, then ${\displaystyle [X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}$ for every ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$. But then the subspace ${\displ$$aystyle {\mathfrak{h}'\subset$${\mathfrak${$g$$}}$에 $걸쳐$ 있으며$$, Y는 Lie 하위골격으로 $h{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ {$h}$이(가) 이상적이다$$.따라서 최대성 기준으로 $h{\displaystyle {\mathfrak{}}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$= ${\displaystyle g\mathfrak{}}$ ${\$이것은 그 주장을 증명한다.

2단계: $W{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ v${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$ X (${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ X ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle h\mathfrak{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ W$=\{v\in$ V $X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}\}}}}$을(를) 놓으십시오$.$그런 다음 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$$mathfak$$${$g}}$은(는) 각 $X{\displaystyle }$$each{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$에 대해 W$$; 즉, X${\displaystyle }$(${\displaystyle v}$)${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X($$v)\$$in$ $W$$}$을(를) ${\displaystyle \mathrm{안정화}}$시킨다$.$

Indeed, for ${\displaystyle Y}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle X}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, we have: ${\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0}$ since ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is an ideal and${\displaystyle 그래서\mathfrak{}}{\displaystyle }$[ ${\displaystyle X}$, Y ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ h ${\$ 따라서 $Y{\displaystyle }$($){\displaystyle$ Y$(v)}$는 W에 있다$$.

3단계: $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$에 의해 살해되는 0이 아닌 벡터를 찾아 증거를 마무리하십시오$.$

$g{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\displaystyle h}$+ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak{g}={\mathfrak{h}+L}$를 쓰십시오. 여기서$$ L은 1차원 벡터 서브공간입니다.Let Y be a nonzero vector in L and v a nonzero vector in W. Now, ${\displaystyle Y}$ is a nilpotent endomorphism (by hypothesis) and so ${\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}$ for some k.$그러면{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2단계}^{}}$까지 벡터가 W에 있으므로 Y k${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle v}$) ${\displaystyle Y^{k}(v)}}$이(가) 필요한 벡터가 된다$$. $◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \square }$

참고 항목

• 리의 정리
• 하이젠베르크 군

메모들

인용구

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