교환 방정식

화폐경제학에서 교환의 방정식은 다음과 같은 관계에 있다.

$M\cdot V=P\cdot Q}$

일정 기간 동안

${\displaystyle M}$ $[\$은(는) 경제에서 평균적으로 유통되고 있는 화폐 공급의 총 명목 금액이다.

$[\$는 돈의 속도로서, 돈의 단위가 소비되는 평균 빈도수다.

$[\$ P$\,}$는 가격 수준이다.

${\displaystyle Q}$ $[\$은(는) 실제 지출(신규 생산 상품 및 서비스에 대한)의 지수다.

따라서 PQ는 명목상 지출의 수준이다. 이 방정식은 속도 정의의 재정렬이다. V = PQ / M. 이와 같이 어떠한 가정도 도입하지 않고서는 tautology이다. 화폐의 양적 이론은 통화 공급, 가격 수준, 그리고 금리가 속도에 미치는 영향에 대한 가정을 추가함으로써 인플레이션의 원인과 통화 정책의 영향에 대한 이론을 만들어낸다.

국민소득과 상품계정의 광범위한 이용가능성 이전 분석에서 교환 방정식은 거래형태로 더 자주 표현되었다.

${\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot T}$

어디에

${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ $displaystyle V_{T}\,}$은(는) 화폐 단위가 소비되는 모든 거래의 평균 빈도(새로 생산된 상품과 서비스에 대한 지출뿐만 아니라 중고 물품 구매, 화폐와 관련된 금융 거래 등)이다$$.

${\displaystyle T}$ $[\$은(는) 집계 트랜잭션의 실제 가치를 지수화한 것이다$$.

Foundation

The foundation of the equation of exchange is the more complex relation:

${\displaystyle M\cdot V_{T}=\sum _{i}(p_{i}\cdot q_{i})=\mathbf {p} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {q} }$

where:

${\displaystyle p_{i}\,}$ and ${\displaystyle q_{i}\,}$ are the respective price and quantity of the i-th transaction.

${\displaystyle \mathbf {p^{T}} }$ is a row vector of the ${\displaystyle p_{i}\,}$.

${\displaystyle \mathbf {q} }$ is a column vector of the ${\displaystyle q_{i}\,}$.

The equation:

${\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot T}$

is based upon the presumption of the classical dichotomy — that there is a relatively clean distinction between overall increases or decreases in prices and underlying, “real” economic variables — and that this distinction may be captured in terms of price indices, so that inflationary or deflationary components of p may be extracted as the multiplier P, which is the aggregate price level:

${\displaystyle M\cdot V_{T}=P\cdot (\mathbf {p} _{real}^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {q} )=P\cdot T}$

where ${\displaystyle \mathbf {p} _{real}^{\mathrm {T} }}$ is a row vector of relative prices; and likewise for

${\displaystyle M\cdot V=P\cdot Q.}$

In 2008 economist Andrew Naganoff (Russian: Эндрю Наганов) proposed an integral form of the equation of exchange, where on the left side of the equation is ${\displaystyle M(V)dV}$ under the integral sign, and on the right side is a sum ${\displaystyle PiQi}$ from i=1 to ${\displaystyle N}$. Generally, ${\displaystyle N}$ could be infinite. There are two variants of this formula:

${\displaystyle \int \ M(V)dV}$ = ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N}{k_{i}\mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}}$

and

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}M(V)dV\leqslant \sum \limits _{i=1}^{N}{k_{i}\mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}}$

The simplest cases for the dissipative scaling factors and ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}}$ are: ${\displaystyle k_{i}=\pm 1}$, ${\displaystyle \mathbf {P} _{i}\mathbf {Q} _{i}=const}$.

Also, ${\displaystyle k_{i}}$ can be determined by the methods of the fuzzy sets.

If liquidity function ${\displaystyle W'(V)=M(V)}$, then, by the mean value theorem:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{V_{max}}M(V)dV}$ = ${\displaystyle M(V_{m})V_{max}=W(V_{max})-W(0)}$

Naganoff's formula is used to describe in details the processes of inflation and deflation, Internet trading and cryptocurrencies.

Applications

Quantity theory of money

The quantity theory of money is most often expressed and explained in mainstream economics by reference to the equation of exchange. For example, a rudimentary theory could begin with the rearrangement

${\displaystyle P={\frac {M\cdot V}{Q}}}$

If ${\displaystyle V}$ and ${\displaystyle Q}$ were constant or growing at the same fixed rate as each other, then:

${\displaystyle {\frac {dP}{P}}={\frac {dM}{M}}}$

and thus

${\displaystyle {\frac {dP/P}{dt}}={\frac {dM/M}{dt}}}$

where

${\displaystyle t\,}$ is time.

즉, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과 Q ${\displaystyle Q}$이(가) 일정하거나 동일한 고정율로 성장한다면, 인플레이션율은 정확하게 통화 공급의 증가율과 같을 것이다.

수량 이론의 반대자는 교환 방정식을 거부하지 않을 수 없으며, $대신{\displaystyle }$ Q$${\$displaystyle$Q} $또는$ V ${\$$displaystyle$ $V}$에서 $d{\displaystyle \frac{/M}{}}$ d ${\displaystyle \frac{t}{}}$에 대한 오프셋 응답($직접$ 또는$간접)$을 가정할 수 있다$.$

통화수요

케임브리지 대학과 연계한 경제학자 알프레드 마샬, A.C. 피구, 존 메이너드 케인즈는 통화 공급의 일정 부분이 거래에 사용되지 않고 대신 현금을 보유하는 편의와 보안을 위해 열릴 것이라고 주장했다. 이러한 현금 비율은 $일반적$으로 명목 소득의 일부인$$k ${\displaystyle k}$로 표현된다(${\displaystyle n}$ Y ${\displaystyle nY}).$ (캠브리지 경제학자들도 부(富)가 역할을 할 것이라고 생각했지만 단순성을 위해 부(富)는 생략되는 경우가 많았다.) 따라서 현금 잔액 수요에 대한 케임브리지 방정식은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle M_{D}=k\cdot nY}$

고전적인 이분법 및 실질소득이 지출 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$과 동일해야 한다는 점을 고려할 때$,$ 이분법은

${\displaystyle M_{D}=k\cdot P\cdot Q}$

경제가 평형 상태(${\displaystyle {MD}_{}}$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{D}=M})$라고 가정하고, 실질소득은 외생성이며, 단기적으로는 k가 고정되어 있다고 가정하면, 케임브리지 방정식은 k:의 역행과 같은 속도의 교환방정식에 해당한다.

${\displaystyle M\cdot {\frac {1}{k}}=P\cdot Q}$

The money demand function is often conceptualized in terms of a liquidity function, ${\displaystyle L(r,Y)}$,

${\displaystyle M_{D}=P\cdot L(r,Y)}$

where ${\displaystyle Y}$ is real income and ${\displaystyle r}$ is the real rate of interest. If ${\displaystyle V}$ is taken to be a function of ${\displaystyle r}$, then in equilibrium

${\displaystyle L(r,Q)={\frac {Q}{V(r)}}}$

History

The equation of exchange was stated by John Stuart Mill^[2] who expanded on the ideas of David Hume.^[3] The algebraic formulation comes from Irving Fisher, 1911.

See also

• Irving Fisher § Economic theories

Notes

References

• Michael D. Bordo (1987). "equation of exchange," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 2, pp. 175–77.
• Milton Friedman (1987. “quantity theory of money”, in The New Palgrave: A Dictionary of Economics ), v. 4, pp. 3–20.