동일성

수학적 논리학에서는 한 이론의 일관성이 다른 이론의 일관성을 내포하고, 그 반대도 마찬가지라면 두 이론은 동일하다.이 경우, 대략적으로 말하면, 그들은 "서로와 같이 일치한다"고 할 수 있다.null

일반적으로 이론 T의 절대 일관성을 증명하는 것은 불가능하다.그 대신 우리는 일반적으로 일관성이 있다고 믿어지는 이론 S를 취하며, S가 일관성이 있다면 T도 일관성이 있어야 한다는 약한 진술을 증명하려고 노력한다. 우리가 이것을 할 수 있다면 T는 S에 대해 일관성이 있다고 말한다.만약 S가 T에 관해서도 일관성이 있다면, 우리는 S와 T가 동일하다고 말한다.null

일관성

수학 논리학에서는 형식 이론이 수학적 대상으로 연구된다.어떤 이론들은 서로 다른 수학적인 물체를 모델링할 수 있을 만큼 강력하기 때문에, 그들 자신의 일관성에 대해 궁금해 하는 것은 당연하다.null

힐버트는 수학적인 방법을 사용하여 수학의 일관성을 보여주는 것이 궁극적인 목표였던 20세기 초에 프로그램을 제안했다.대부분의 수학적 학문들은 산술로 줄일 수 있기 때문에, 프로그램은 산술 자체 내에서 공식화할 수 있는 방법에 의해 산술의 일관성을 빠르게 확립하는 것이 되었다.null

괴델의 불완전성 이론은 힐버트의 프로그램이 실현될 수 없음을 보여준다: 일관된 반복적으로 열거할 수 있는 이론이 그 자체의 변태성을 공식화할 수 있을 만큼 충분히 강하다면, 즉 산술의 약한 단편(로빈슨 산술적 만족도)을 모델링할 수 있을 만큼 충분히 강하다면, 그 이론은 그 자신의 단점을 증명할 수 없다.관대함변성문 "이론은 일관적이다"를 대표하는 형식적인 진술이 어떤 요건을 충족시켜야 하는가에 대해서는 기술적 주의가 있지만, 결과는 (충분히 강한) 이론이 그 자체의 일관성을 증명할 수 있다면 진술이 심지어 공리인지 여부를 확인할 수 있는 계산 가능한 방법이 없다는 것이다.이론이든 아니든, 또는 이론 자체가 일관성이 없다(이 경우 자신의 일관성과 같은 거짓 진술을 포함하여 어떤 것도 증명할 수 있다).null

이러한 점을 감안할 때, 완전한 일관성 대신, 상대적인 일관성을 보통 고려한다.S와 T를 형식적인 이론으로 하자.S가 일관된 이론이라고 가정해 보자.T가 일관성이 있다는 것을 따르는가?만약 그렇다면, T는 S에 대해 일관성이 있다.각각이 다른 이론에 비해 일관성이 있다면 두 이론은 동일하다.null

일관성 강도

T가 S에 비해 일관성이 있지만 S가 T에 비해 일관성이 없는 것으로 알려져 있다면, 우리는 S가 T보다 일관성 강도가 더 크다고 말한다.일관성 강도의 이러한 문제를 논의할 때 토론이 이루어지는 메타테오리를 주의 깊게 다룰 필요가 있다.2차 산술 수준의 이론이라면 역수학 프로그램은 할 말이 많다.일관성 강도 문제는 대부분 수학의 모델을 확실히 할 수 있는 재귀 이론이기 때문에 집합 이론의 일반적인 부분이다.집합 이론의 공리 집합 중 가장 널리 사용되는 것을 ZFC라고 한다.이론적 설정 문장이A다른 것과 동일하다고 한다.B, 주장되고 있는 것은 메타테오리(이 경우 Peano Mathics)에서 이론 ZFC+가 증명될 수 있다는 것이다.A및 ZFC+B동일하지 않다보통 원시 재귀 산수는 문제의 메타테오리로 채택할 수 있지만, 메타테오리가 ZFC나 그 연장선이라 하더라도 그 개념은 의미가 있다.강제하는 방법은 ZFC, ZFC+CH, ZFC+CH, ZFC+¬CH 이론이 모두 동일하다는 것을 보여줄 수 있게 한다(여기서 CH는 연속체 가설을 나타낸다).null

ZFC의 파편이나 그 확장(예: ZF, 선택의 공리가 없는 세트 이론 또는 ZF+AD, 결정성의 공리 없는 세트 이론)을 논할 때, 위에서 설명한 개념은 그에 따라 조정된다.따라서 ZF는 괴델이 보여주듯이 ZFC와 동일하다.null

수많은 조합성명의 일관성 강도는 큰 추기경들이 교정할 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

• 쿠레파의 가설의 부정은 접근하기 어려운 추기경의 존재와 동일하다.
• 특수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -아론자jn$$ 나무의 존재는 마를로 추기경의 존재와 동일하다.
• $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ -아론자jn$$ 나무의 존재는 약하게 콤팩트한 추기경의 존재와 동일하다.^[1]

참고 항목

• 대형기초재산

참조

• 가나모리 아키히로(2003년).하이 인피니트.스프링거.ISBN 3-540-00384-3