공평한 케이크 커팅

공정성(EQ) 케이크 커팅은 공정성 기준이 공정성인 케이크 커팅의 일종입니다.이는 모든 파트너의 주관적 가치가 동일하고, 즉 각 파트너가 자신의 몫에 대해 동등하게 만족하는 케이크 할당입니다.수학적으로, $이$ 는 모든 파트너 $i$ 와 j에 대해 다음을 의미합니다.

{\displaystyle V_{i}(X_{i})=V_{j}(X_{j})

장소:

$($ X_ ${i$ })는 $X_{i}$ $파트너$ i에게 할당된 케이크 $X_{i}$ 입니다.
$($ 는 $V_{i}$ $파트너$ i의 가치 측정 기준입니다.케이크 조각마다 해당 조각에서 $파트너$ i의 효용을 나타내는 숫자를 반환하는 실수치 함수입니다.일반적으로 $V_{i}(\emptyset )=0$ 기능은 V $V_{i}(\emptyset )=0$ i ( $V_{i}(\emptyset )=0$ ) $V_{i}(\emptyset )=0$ ( \ $displaystyle$ V _ { $i$ } ( \ $emptyset$ ) $= 0$ ) 및 $V_{i}(\emptyset )=0$ $V_{i}(EntireCake)=1$ i ( $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(EntireCake)=1$ i $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(EntireCake)=1$ e ) $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(EntireCake)=1$ ( \ $displaystyle V_{i}$ ( $Entire$ Cake ) $= 1$ )이 $V_{i}(EntireCake)=1$ $V_{i}(\emptyset )=0$ 정규화됩니다.

다른 공정성 기준과의 비교 및 예는 공정성 페이지를 참조하십시오.

두 파트너를 위한 공평한 케이크 커팅 찾기

원 컷 풀 폭로

파트너가 2개일 경우 한 컷으로 EQ 부문을 취득할 수 있지만 파트너의 ^[1]평가에 대한 충분한 지식이 필요합니다.케이크가 [0,1] 구간이라고 가정합니다. $u_{1}([0,x])$ $x\in [0,1]$ $x\in [0,1]$ [ $x\in [0,1]$ , $]{$ $displaystyle$ x \ $in [$ $u_{1}([0,x])$ , $1$ $displaystyle$ { $1$ }}}{ displaystyle $u$ _ { 2 （ [ $x$ , $u_{2}([x,1])$ }}}{ $displaystyle u$ _ { $u_{2}([x,1])$ 2 $}([$ x , 1 $u_{2}([x,1])$ $])})$ 를 $u_{1}([0,x])$ $u_{2}([x,1])$ $u_{1}([0,x])$ 하여 같은 그래프에 플롯합니다.첫 번째 그래프는 0에서 1로 증가하고 두 번째 그래프는 1에서 0으로 감소하므로 교차점이 있습니다.그 시점에서 케이크를 자르는 것은 공평한 분배를 낳는다.이 분할에는 몇 가지 추가 속성이 있습니다.

각 파트너가 최소 1/2의 값을 받기 때문에 EF입니다.
파트너당 값이 1/2 이상일 수 있으므로 EX가 아닙니다.
단일 컷을 사용하는 모든 부문 중에서 Pareto 효율(PE)입니다.그러나 두 개 이상의 ^[2]절단을 사용하는 보다 효율적인 분할이 있을 수 있습니다.
케이크 방향을 무작위로 선택한 경우(0이 1이 되고 1이 0이 되도록 뒤집을 수 있음) 이 절차는 다음과 같은 의미에서 약하게 진실합니다. 진정한 확률 측정치를 제출해야만 파트너는 케이크 ^[1]절반 이상을 받을 수 있습니다.

(부정효용으로) 가사분담에도 동일한 절차를 사용할 수 있습니다.

비례등가변형

완전한 폭로 절차는 더 약한 종류의 공평성과 더 강한 종류의 진실성을 만족시키는 변형을^[3] 가지고 있다.이 절차에서는 먼저 각 파트너의 중위수를 찾습니다.0<><>b<1{0<, a<, b< 1\displaystyle}과 파트너 A의 중앙점은{\displaystyle}과 파트너 B의 b{\displaystyle b}, 가정하자.그러면, A와 B[b1]{\displaystyle[b,1]}을 받는다. 이제는 흑자-[a, b]{\displaystyle[a,b]}은[0,]{\displaystyle[0,a]}을 받는다.잉여금은 파트너 간에 균등하게 배분된다.예를 들어 A가 잉여를 0.4로, B가 0.2로 값을 지정하면 $[a,b]$ 는 $[a,b]$ [ $[a,b]$ , b $]\displaystyle [a$ , b $]$ 로부터 $[a,b]$ B보다 2배 더 많은 값을 받습니다 $[a,b]$ .따라서 이 프로토콜은 공평하지 않지만 여전히 EF입니다.그것은 다음과 같은 점에서 약하게 진실하다.위험을 회피하는 참가자는 거짓된 평가를 보고하면 더 작은 가치를 남길 수 있기 때문에 그의 진정한 가치를 보고할 동기를 갖는다.

2컷 - 움직이는 칼

오스틴 이동 나이프 절차는 두 파트너 각각에게 정확히 1/2의 주관적 가치를 지닌 조각을 제공합니다.따라서 중분류는 EQ, EX 및 EF입니다.2개의 컷이 필요하며, 파트너 중 한쪽에 2개의 절단된 조각을 줍니다.

많은 컷 - 완전한 폭로

2개 이상의 컷이 허용되면 EQ뿐만 아니라 EF 및 PE로 분할할 수 있습니다.일부 저자는 이러한 구분을 "완벽한"^[4]이라고 부른다.

PE-EF-EQ 사업부에 필요한 최소 삭감 횟수는 파트너의 평가에 따라 달라집니다.대부분의 실제적인 경우(가치평가가 단편적으로 선형인 모든 경우를 포함)에서 필요한 삭감 횟수는 유한하다.이 경우 최적의 절단 개수와 정확한 위치를 찾을 수 있습니다.알고리즘을 사용하려면 파트너의 평가에 ^[4]대한 완전한 지식이 필요합니다.

런타임

위의 모든 절차는 연속적입니다. 두 번째 절차는 연속적으로 움직이는 칼이 필요하고 다른 절차는 두 가지 가치 척도의 연속 플롯이 필요합니다.따라서 한정된 수의 이산 단계로 수행할 수 없습니다.

이 무한대 특성은 정확한 결과를 요구하는 나눗셈 문제의 특성입니다.정확한 division #Impossibility를 참조하십시오.

원컷 - 거의 균등하게 분할

준균등분할은 임의의 $\epsilon >0$ $>$ $0$ 에 대해 파트너의 값이 최대 $\epsilon$ {\ $displaystyle$ $\epsilon$ > $0$ 만큼 다른 나눗셈을 말하며, 두 파트너에 대한 준균등분할분할은 한정된 시간과 한 ^[5]컷으로 찾을 수 있습니다.

3개 이상의 파트너를 위한 공평한 부문 찾기

칼 이동 절차

오스틴의 절차는 n개의 파트너로 확장할 수 있습니다.각 파트너에게 정확히 $(\displaystyle$ 1/ $n$ 의 주관적인 값을 부여합니다. 이 중분류는 EQ이지만 반드시 EX, EF 또는 PE는 아닙니다(일부 파트너는 다른 파트너에게 주어진 점유율을 $1/n$ 1/ $(\displaystyle$ 1/ $n)$ 보다 높게 평가할 수 있습니다).

연결된 조각 - 완전한 폭로

Jones의 완전한 공개 절차는 다음과 같은 방법으로^[3]n개 \\ $displaystyle$ n개 $n$ $n$ 에게 확장될 수 있습니다.

$n!$ 의 가능한 각 순서 $(n$ !\ $displaystyle$ n $!\$ displaystyle $n-1$ $)$ 에 $n-1$ $n-1$ (\ $displaystyle$ 변수 세트를 작성합니다. $n-1$ 는 $(\displaystyle n-1)$ 컷포인트이며 $n-1$ , 방정식은 인접 파트너의 동등성을 결정합니다.예를 들어 파트너가 3개 있고 순서가 A:B:C인 경우 두 변수는 $(\$ 입니다. $AB}}($ A와 B 사이의 컷포인트) $x_{BC}$ $x_{BC}$ $(\$ $BC$ 2개의 $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ 은 $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ ( 0 $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ , $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ B $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ ( $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ , $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ C $)\style V_{A}$ (0 $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ , $x_{)$ 입니다. $AB)$ = $V_{B}(x_{$ AB}, $x_$ {BC $})$ 및 $V_{A}(0,x_{AB})=V_{B}(x_{AB},x_{BC})$ $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ , $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ B $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ C ) $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ C $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ C $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ ) $V_{B}(x_{AB},x_{BC})=V_{C}(x_{BC},1)$ ({ $B}(x_{AB$ }, $x_{BC$ }) = $V_{C}(X_BC$
$n!$ 의 $n!$ $!\displaystyle$ n $!$ 순서 중에서 모든 파트너의 (동일한) 값이 가장 큰 순서를 선택합니다.

최대 균등값은 $1/n$ 1/ $(\displaystyle$ 1/ $n$ $1/n$ 이어야 합니다. 비례 분할( $1/n$ 파트너에게 최소 $1/n$ 1/ $(\displaystyle$ 1/ $n$ 을 제공할 수 있기 때문입니다.

파트너의 가치 척도가 서로 절대적으로 연속적인 경우(즉, 파트너가 동일한 지원을 받는다는 의미), 파트너의 가치를 높이려는 시도는 다른 파트너의 가치를 떨어뜨려야 합니다.즉, 연결된 조각을 제공하는 솔루션 중 PE가 솔루션임을 의미합니다.

불가능한 결과

Brams, Jones 및 Klamler는 EQ, PE 및 EF(이러한 부문을 "완벽한"이라고 부릅니다)를 연구합니다.

우선, 3개의 파트너에 대해서, EQ+EF 사업부가 존재하지 않는 것을 ^[3]증명합니다.이들은 2컷이 포함된 모든 EQ 할당이 EF가 아닌 1차원 케이크에 대한 3가지 특정 가치 측도를 설명함으로써 이 작업을 수행합니다.

그런 다음 3개 이상의 파트너에게 PE+EF+가 있음을 증명합니다.분리된 조각이 있더라도 ^[2]EQ 분할이 존재하지 않을 수 있습니다.이들은 다음과 같은 특성을 가진 1차원 케이크에 대한 3가지 특정 가치 측도를 설명함으로써 이를 실현합니다.

2컷의 경우 모든 EQ 할당은 EF도 PE도 아닙니다(단, EF와 2-PE 또는 EQ와 2-PE도 있습니다).
3컷에서는 모든 EQ 할당이 PE가 아닙니다(단, EQ+EF 할당이 있습니다).
4컷에서는 모든 EQ 할당이 EF가 아닙니다(단, EQ+PE 할당이 있습니다).

파이 커팅

파이는 1차원 동그라미 모양의 케이크입니다.

Barbanel, Brams 및 Stromquist는 EQ 및 EF인 파이의 분할의 존재를 연구합니다.다음 존재 결과는 특정 분할 ^[6]알고리즘을 제공하지 않고 증명됩니다.

2명의 파트너에게 파이 파티션은 항상 존재하기 때문에 부러움이 없고 공평합니다.파트너의 가치 척도가 서로 절대적으로 연속적인 경우(즉, 한 파트너에게 긍정적인 가치를 갖는 모든 요소가 다른 파트너에게도 긍정적인 가치를 갖는 경우), 시기심이 없고 공평하며 지배적이지 않은 파티션이 존재합니다.
3개 이상의 파트너에게 선망의 여지가 없는 공평한 할당을 찾는 것은 불가능할 수 있습니다.하지만 항상 공평하고 지배적이지 않은 분열이 존재한다.

분할 가능한 재화

조정된 승자 절차는 두 파트너 간에 분할 가능한 상품 세트의 공평하고 선망 없는 효율적인 분할을 계산합니다.

질의의 복잡성

두 에이전트에 대해서도 [7]Robertson-Webb 쿼리 모델의 유한 프로토콜을 사용하여 공평한 케이크 할당을 찾을 수 없습니다.또한 > > 0의 경우:

접속되어 있는 「에쿼티」케이크 커팅에는,^[8] 적어도 「로그⁻¹」쿼리가 필요합니다.2개의 에이전트의 경우 O(log⁻¹ )) 프로토콜이 존재합니다.^[5]3개 이상의 에이전트의 경우 가장 잘 알려진 프로토콜에는 O(n(log n + log⁻¹ )) ^[9]쿼리가 필요합니다.
접속이 없는 경우에도 "equitable cake-cuting"에는 적어도 δ(log⁻¹ " / log log⁻¹ ")의 ^[7]쿼리가 필요합니다.

최대 이퀄리티 할당 규칙 속성

max-equitable division 규칙은 모든 공평한 케이크 할당 중에서 에이전트의 공통 값이 최대인 것을 선택하는 규칙입니다.두 가지 종류가 있습니다.

absolute-equivity 규칙은 absolute(정규화되지 않은) 값을 균등하게 합니다.
상대 동등 규칙은 상대(정규화된) 값을 같게 합니다.

연결된 max-equitable 할당(절대 및 상대 모두)이 항상 존재하며, 일반화된 max-equitive-knives 절차를 사용하여 찾을 수 있습니다.

절대평등규칙은 약하게 파레토 최적과 자원단일성이지만 비례하지는 않습니다.
상대평등규칙은 약하게 파레토 최적 및 비례하지만 자원단일성은 ^[10]아닙니다.

요약표

이름.	유형	파트너 수	컷수	특성.
존스^[1]	풀 레벨 프로시저	2	1(최적)	EQ, EF, 1-PE
브람스존스클램러^[3]	풀 레벨 프로시저	n	n-1(최적)	EQ, (n−1)-PE
오스틴	무빙 나이프 프로시저	2	2	EQ, EF, EX
오스틴	무빙 나이프 프로시저	n	많이	EQ
바르바넬브람스^[4]	풀 레벨 프로시저	2	많이	EQ, EF, PE
체흘라로바필라로바^[5]	이산 근사 프로시저	2	1(최적)	거의 EQ에 가까운

'아소' 참조

평등주의 케이크 커팅 - 에이전트의 최소 효용을 극대화하는 할당.효용이 다르면 더 작은 효용도 더 큰 효용을 가진 대리점으로부터 일부 케이크를 이동함으로써 개선될 수 있기 때문에 종종 평등주의적 할당은 공평한 할당과 일치한다.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Jones, M. A. (2002). "Equitable, Envy-Free, and Efficient Cake Cutting for Two People and Its Application to Divisible Goods". Mathematics Magazine. 75 (4): 275–283. doi:10.2307/3219163. JSTOR 3219163.
^ ^a ^b Steven j. Brams; Michael a. Jones; Christian Klamler (2013). "N-Person Cake-Cutting: There May Be No Perfect Division". The American Mathematical Monthly. 120: 35. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.01.035. S2CID 7929917.
^ ^a ^b ^c ^d Steven J. Brams; Michael A. Jones; Christian Klamler (2007). "Better Ways to Cut a Cake - Revisited" (PDF). Notices of the AMS.
^ ^a ^b ^c Barbanel, Julius B.; Brams, Steven J. (2014). "Two-Person Cake Cutting: The Optimal Number of Cuts". The Mathematical Intelligencer. 36 (3): 23. CiteSeerX 10.1.1.361.366. doi:10.1007/s00283-013-9442-0. S2CID 189867346.
^ ^a ^b ^c Cechlárová, Katarína; Pillárová, Eva (2012). "A near equitable 2-person cake cutting algorithm". Optimization. 61 (11): 1321. doi:10.1080/02331934.2011.563306. S2CID 120300612.
^ Barbanel, J. B.; Brams, S. J.; Stromquist, W. (2009). "Cutting a Pie is Not a Piece of Cake". American Mathematical Monthly. 116 (6): 496. CiteSeerX 10.1.1.579.5005. doi:10.4169/193009709X470407.
^ ^a ^b Procaccia, Ariel D.; Wang, Junxing (2017-06-20). "A Lower Bound for Equitable Cake Cutting". Proceedings of the 2017 ACM Conference on Economics and Computation. EC '17. Cambridge, Massachusetts, USA: Association for Computing Machinery: 479–495. doi:10.1145/3033274.3085107. ISBN 978-1-4503-4527-9. S2CID 9834718.
^ Brânzei, Simina; Nisan, Noam (2018-07-13). "The Query Complexity of Cake Cutting". arXiv:1705.02946 [cs.GT].
^ Cechlárová, Katarína; Pillárová, Eva (2012-11-01). "On the computability of equitable divisions". Discrete Optimization. 9 (4): 249–257. doi:10.1016/j.disopt.2012.08.001. ISSN 1572-5286.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
^ Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (2018-09-01). "Resource-monotonicity and population-monotonicity in connected cake-cutting". Mathematical Social Sciences. 95: 19–30. arXiv:1703.08928. doi:10.1016/j.mathsocsci.2018.07.001. ISSN 0165-4896. S2CID 16282641.

[jones2002-1] Jones, M. A. (2002). "Equitable, Envy-Free, and Efficient Cake Cutting for Two People and Its Application to Divisible Goods". Mathematics Magazine. 75 (4): 275–283. doi:10.2307/3219163. JSTOR 3219163.

[bjk2011-2] Steven j. Brams; Michael a. Jones; Christian Klamler (2013). "N-Person Cake-Cutting: There May Be No Perfect Division". The American Mathematical Monthly. 120: 35. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.01.035. S2CID 7929917.

[bjk07-3] Steven J. Brams; Michael A. Jones; Christian Klamler (2007). "Better Ways to Cut a Cake - Revisited" (PDF). Notices of the AMS.

[bb2014-4] Barbanel, Julius B.; Brams, Steven J. (2014). "Two-Person Cake Cutting: The Optimal Number of Cuts". The Mathematical Intelligencer. 36 (3): 23. CiteSeerX 10.1.1.361.366. doi:10.1007/s00283-013-9442-0. S2CID 189867346.

[cp11-5] Cechlárová, Katarína; Pillárová, Eva (2012). "A near equitable 2-person cake cutting algorithm". Optimization. 61 (11): 1321. doi:10.1080/02331934.2011.563306. S2CID 120300612.

[bbs09-6] Barbanel, J. B.; Brams, S. J.; Stromquist, W. (2009). "Cutting a Pie is Not a Piece of Cake". American Mathematical Monthly. 116 (6): 496. CiteSeerX 10.1.1.579.5005. doi:10.4169/193009709X470407.

[:2-7] Procaccia, Ariel D.; Wang, Junxing (2017-06-20). "A Lower Bound for Equitable Cake Cutting". Proceedings of the 2017 ACM Conference on Economics and Computation. EC '17. Cambridge, Massachusetts, USA: Association for Computing Machinery: 479–495. doi:10.1145/3033274.3085107. ISBN 978-1-4503-4527-9. S2CID 9834718.

[:0-8] Brânzei, Simina; Nisan, Noam (2018-07-13). "The Query Complexity of Cake Cutting". arXiv:1705.02946 [cs.GT].

[:1-9] Cechlárová, Katarína; Pillárová, Eva (2012-11-01). "On the computability of equitable divisions". Discrete Optimization. 9 (4): 249–257. doi:10.1016/j.disopt.2012.08.001. ISSN 1572-5286.{{cite journal}}: CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)

[10] Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (2018-09-01). "Resource-monotonicity and population-monotonicity in connected cake-cutting". Mathematical Social Sciences. 95: 19–30. arXiv:1703.08928. doi:10.1016/j.mathsocsci.2018.07.001. ISSN 0165-4896. S2CID 16282641.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[8]

[9]

[7]

[10]

Search