측정기준의 동등성

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수학의 미터법 공간 연구에서는 동일한 기초 공간에 대해 "같은" 또는 동등한 두 가지 지표가 다양한 개념으로 존재한다.

다음에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) 비어 있지 않은 세트를 나타내고$$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\$1} 및 $d$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 $X{\displaystyle }$ ${\displaysty X}$에서 두 가지 메트릭을 나타낸다$$$.$

위상 등가성

$두{\displaystyle }$ ${\displaystyle {메트릭스\mathrm{}}_{}}$d 1 {\$displaystyle d_${${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$} 및$$d 2 {\$displaystyle$ d_${2$}}개가 X ${\displaystyle X$에서 동일한 위상을 생성하는 경우 위상학적으로 동등하다고 한다$$."위상학"이라는 형용사는 종종 삭제된다.^[1]이러한 상태를 표현하는 방법에는 여러 가지가 있다.

• a 부분 집합 A ${\displaystyle \mathrm{subset}}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$은(는) $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$1}:{$$1$}일$$ 경우만 열려 있음.
• 오픈 볼 "nest": 어떤 $지점{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \in }$ X ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$ 및 반경$$ > ${\displaystyle r>0$에 대해 다음과 같은 radii , ″> ${\displaystyle r',r>0}$이 있다.

${\desplaystyle B_{r'}(x;d_{1})\subseteq B_{r}{{r}{\text{{} 및 }B_{r"}(x;d_{2})\subseteq B_{r}(x;d_{1}).}$

• ID 함수 $I{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I:X\to X}$은$({\displaystyle }$는${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle {}_{}}$ 2)${\dstyle (d_{1},d_{2})$ -연속성$$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ ) ${\dyplaystyle$ ($d_${2},d_${1}})$ -연속성이$$ 있다.

위상학적 동등성에 필요한 조건은 다음과 같다.

• $엄격히{\displaystyle {}_{}}$ 증가, 연속 및 하위 가독성 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$→ R${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ f$:\mathb {R} \to \mathb {R} _{+}}$ ${\displaystyle {이렇게}_{}}$ d 2 = ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}{}_{}}$1 {\$displaystyle d_{2}=f\circirc d_{1$^[2]
• 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X$에 대해 양수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$이(가) 존재하며, 이는$$ 모든 y${\displaystyle }y{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystystyle$y\in $X$

${\displaystyle \d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \req d_{1}(x,y).}$

강한 등가성

${\displaystyle 두}$ 가지 메트릭 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및 ${\displaystyle d_{}}$ 2 ${\$}}:$$양수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및$$ $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$$}$이($가)$ 있는 경우에만 강하게 동등하다$.$

${\displaystyle \d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \req d_{1}(x,y).}$

위에 나열된 위상학적 동등성에 대한 충분한 조건과 대조적으로, 강한 동등성은 $X$의 각 점과 연관된 잠재적으로 다른 상수보다는$$X ${\displaystyle X}$의 모든 점 쌍에 대해 고정되는 상수의 집합이 $있어야{\displaystyle }$ 한다$.$

두 가지 측정지표의 등가성이 강하다는 것은 위상적 등가성을 의미하지만 그 반대는 아니다.위상 등가성이 강한 등가성을 의미하지 않는 직관적인 이유는 한 메트릭스 아래의 경계 집합도 강력한 등가 메트릭스 아래 경계되지만 반드시 위상 등가 메트릭스 아래에는 경계해야 하는 것은 아니기 때문이다.

When the two metrics ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ are those induced by norms ${\displaystyle \ \cdot \ _{A},\ \cdot \ _{B}}$ respectively, then strong equivalence is equivalent to the condition that, for all ${\displaystyle x\in X}$,

$\displaystyle \alpha \x\ _{A}\leq \x\{B}\leq \beta \x\ _{A}}$

유한 치수 공간에서는 유클리드 미터법, 택사브 미터법, 체비셰프 거리를 포함하여 p-orm에 의해 유도된 모든 지표가 강하게 동등하다.^[3]

등가성으로 보존되는 속성

• 기능의 연속성은 도메인이나 범위가 동등한 측정기준에 의해 재측정되는 경우 보존되지만, 균일한 연속성은 강력한 동등한 측정기준에 의해서만 보존된다.^[4]
• ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f :${\displaystyle U}$→ V ${\displaystyle f:$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 대한$$$$U\$to$ V$\}$ $및{\displaystyle }$ U {\$displaystyle U}$은(는$)$ 도메인 또는 범위가 강력한 동등한 표준으로 다시 명명된 경우 표준 공간의 하위 집합이 보존된다.^[5]
• 완전한 메트릭과 강하게 동등한 메트릭도 완전하다. 동종 형태는 완전성을 보존하지 않기 때문에 등가 메트릭도 동일하지 않다.For example, since ${\displaystyle (0,1)}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} }$ are homeomorphic, the homeomorphism induces a metric on ${\displaystyle (0,1)}$ which is complete because ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is, and generates the same topology as the usual one, yet ${\displa$순서$$${\displaystyle {(}_{}}$2 - n ) n } N $displaystyle(2^{-n})_{n\in \mathb{N}}}}}}$은(유도 메트릭에서는 Cauchy가 아님)이기 때문에 $ystyle(0$${\displaystyle {}^{}{}_{}}$1$)$은 완전하지 않다. (유도 메트릭에서는 Cauchy가 아니다).

메모들

참조