인자화제도

수학에서 모든 함수는 주입함수에 이어 추체함수의 합성어로 쓰일 수 있음을 알 수 있다.인자화 시스템은 범주 이론에서 이 상황을 일반화한 것이다.null

정의

범주 C에 대한 인자화 시스템(E, M)은 다음과 같은 C의 두 종류의 형태론 E와 M으로 구성된다.

1. E와 M은 모두 C의 모든 이형성을 포함하며 구성 하에서 폐쇄된다.
2. C의 모든 형태론 f는 $일부{\displaystyle }$ 형태론 ${\displaystyle e}$에${\displaystyle }$대해 f${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ e {\$displaystyle$ f=$m\circle e}$로 인수될 수 있다. E ${\displaystyle e\in$ $E$$}$ $및$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle m\in$
3. The factorization is functorial: if ${\displaystyle u}$ and ${\displaystyle v}$ are two morphisms such that ${\displaystyle vme=m'e'u}$ for some morphisms ${\displaystyle e,e'\in E}$ and ${\displaystyle m,m'\in M}$, then there exists a unique morphism ${\disp$$다음$ 다이어그램을 통근하는 $레이스타일$ w$}:$

비고: (${\displaystyle u}$, v${\displaystyle }$) ${\displaystyle (u,v)}$은 화살표$$ 범주에 있는 m e$${\$displaystyle me}$에서 m ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$까지의 형태론이다$$.null

직교성

${\displaystyle v}$ $e{\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ {\$displaystyle$ $u$$}$ 및 $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $ve=mu}$의 모든 형태론에 대해 고유한 형태론$$w {\$displaystyle$$$u$$} 및 v {\$displaystyle ve=$$mu$}이$$(가$)$ 있는 경우, 두 개의 $형태론{\displaystyle }$$$e {\$displaystythet w}$이 직교, e u${\displaystyle }$m ${\$dism {\disclaystythodistics w$}$이라고 한다$$.도표가 그렇게 되어

통근하다이 개념은 다음과 같이 형태론 집합의 직교형을 정의하기 위해 확장될 수 있다.

${\displaystyle H^{\uparrow }=\{e\quad \quad \forall h\in H,e\downarrow h\}}$ and ${\displaystyle H^{\downarrow }=\{m\quad \quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.$$}$

인자화 시스템에서 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\cap M}$은(는) 모든 이형성을 포함하므로$$ 정의의 조건(3)은 다음과 같다.

(3) $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }^{}}$ ${\$ M$^{\uparrow}},$ $M$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M\subseteq$ E$^{\downarrow }}}$

증명: 이전 도표 (3)에서 m ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle i}$ d${\displaystyle }$, ${\displaystyle \text{e}{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle :=}$ i ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$ m$:=id,\$ e$'=id}($적절한 객체에 대한 ID) 및 $m{\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle :=m}$ ${\displaystym m':=m}$을(으)로 한다$.$

등가정의

C의 형태론 등급의$$ 쌍$({\displaystyle E}$, M$){\displaystyle (E,M)}$은 다음과 같은 조건을 만족하는 경우에만 인자화 시스템이다.

1. C의 모든 형태론 f는 e ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle e}$$${\$displaystyle f=m$\circle e$}$과($와{\displaystyle }$) e ∈ E ${\displaystyle e\in E}$ 및$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$.${\displaystyle m\$in$.}$과(와)로 인수할 수 있다.
2. ${\displaystyle E}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\uparrow }^{}}$ ${\$ $M$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M=E^{\downarrow }}}$

취약 인자화 시스템

e와 m이 범주 C에서 두 가지 형태라고 가정하자.그 다음 e는 m에 대해 왼쪽 리프팅 특성을 가진다(존중 m은 e에 대해 오른쪽 리프팅 특성을 가지고 있다). ve = mu 다음과 같은 도표가 통용되는 형태론 u와 v의 모든 쌍에 대해 형태론이 있는 경우.직교성과의 차이는 w가 반드시 고유하지 않다는 것이다.null

범주 C에 대한 약한 인자화 시스템(E, M)은 다음과 같은 C의 두 종류의 형태론 E와 M으로 구성된다.^[1]

1. 등급 E는 정확히 M의 각 형태론에 관한 왼쪽 리프팅 특성을 가진 형태론의 등급이다.
2. 등급 M은 정확히 E의 각 형태론에 관한 올바른 리프팅 특성을 가진 형태론의 등급이다.
3. C의 모든 형태론 f는 $일부{\displaystyle }$ 형태론 ${\displaystyle e}$에${\displaystyle }$대해 f${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$ e {\$displaystyle$ f=$m\circle e}$로 인수될 수 있다. E ${\displaystyle e\in$ $E$$}$ $및$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \in }$ M ${\displaystyle m\in$

이 개념은 모델 범주에 대한 간결한 정의로 이어진다: 모델 범주는 범주 C와 ( 소위) 약한 동등성 W, 섬유화 F, 공동조합 C의 등급으로 구성된 쌍이다.

• C는 모든 한계와 콜리미트를 가지고 있다.

• ${\displaystyle (C}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle F}$) ${\displaystyle (C\cap W,F)}$은(는) 약한 인자화 시스템이며$$,

• ${\displaystyle (C}$, ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle W}$) ${\displaystyle (C,F\cap W)}$은(는) 약한 인자화 시스템이다$$.^[2]

모델 카테고리는 모델 구조를 갖춘 완전하고 완전한 카테고리다.A map is called a trivial fibration if it belongs to ${\displaystyle F\cap W,}$ and it is called a trivial cofibration if it belongs to ${\displaystyle C\cap W.}$ An object ${\displaystyle X}$ is called fibrant and the morphism ${\displaystyle X\rightarrow 1}$ to the terminal object is a fibration, and 초기 물체로부터$$ $형태론{\displaystyle \mathrm{}}$0 → ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\오른쪽 화살표$X}이(가) 공동진동일 경우 coffrant라고 한다.^[3]null

참조

• Peter Freyd, Max Kelly (1972). "Categories of Continuous Functors I". Journal of Pure and Applied Algebra. 2.
• Riehl, Emily (2014), Categorical homotopy theory, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781107261457, ISBN 978-1-107-04845-4, MR 3221774

외부 링크

• Riehl, Emily (2008), Factorization Systems (PDF)