피드백 선형화

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피드백 선형화는 비선형 시스템을 제어하는 데 사용되는 일반적인 접근법이다.접근방식은 변수의 변화와 적절한 제어 입력을 통해 비선형 시스템을 등가 선형 시스템으로 변환하는 것을 포함한다.피드백 선형화는 형태의 비선형 시스템에 적용될 수 있다.

${\displaystyle {\signified}{\dot {x}&=f(x)+g(x)\qquad &(1)\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad \qquad &(2)\end{igned}}}}}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^{n}}$는 상태 벡터, $u{\displaystyle {}^{}}$ R$$p {\$displaystyle$u$\$$in$$\mathb$ {R$}$$$^{p$}}}$는 입력$$ $벡터{\displaystyle ,}$ y ${\displaystyle {}^{}}$ R$$m {\$displaystystytyb {R}{m}$은 출력의 벡터다.목표는 제어 입력을 개발하는 것이다.

${\displaystyle u=a(x)+b(x)v\,}$

새 입력 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$과(와) 출력 사이의 선형 입력-출력 맵을 렌더링한다.그러면 결과 선형 제어 시스템에 대한 외부 루프 제어 전략이 적용될 수 있다.

SISO 시스템의 피드백 선형화

여기서, 단일 입력 단일 출력(SISO) 시스템의 피드백 선형화의 경우를 고려한다.유사한 결과를 다중 입력 다중 출력(MIMO) 시스템으로 확장할 수 있다.이 경우 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ $u\in \mathb {R}$$및$ ${\displaystyle y\mathbb{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$ {$R}}.$ 목표는 시스템(1)을 피드백의 법칙을 나타내는 소위 정상 형태로 $변환$하는 좌표 변환 z${\displaystyle }$= T$x)$를 찾는 것이다$.$

${\displaystyle u=a(x)+b(x)v\,}$

$새로운{\displaystyle }$ 입력 v system${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {$}$에서 $출력$ y ${\$$displaystyle y}$까지 선형 입출력 맵을 렌더링할 수 있다$.$ 변환된 시스템이 원래 시스템의 동등한 표현임을 보장하려면 변환이 차이점형이어야 한다.즉, 변환은 반전성(즉, 비주사성)만이 아니라 변환과 그 역이 모두 부드러워야 원래의 좌표계의 차별성이 새로운 좌표계에 보존된다.실제로 변환은 국소적으로만 다를 수 있으며 선형화 결과는 이 작은 영역에서만 유지된다.

이 문제를 해결하려면 몇 가지 도구가 필요하다.

거짓말 파생상품

피드백 선형화의 목표는 $출력{\displaystyle }$ y ${\displaystyle y}$과 그 첫 번째$({\displaystyle \mathrm{n}}$-${\displaystyle }$1 ) ${\displaystyle (n-1)$ 파생상품인$$ 변환 시스템을 생산하는 것이다.이 목표 시스템의 구조를 이해하기 위해 우리는 Lie 파생상품을 사용한다.(2)의 시간 파생을 고려한다. 이 시간 파생은 체인 규칙을 사용하여 계산될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} t}}&={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}f(x)+{\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}g(x)u\end{aligned}}}$

$이제{\displaystyle }$ f (${\displaystyle }x{\displaystyle }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)}$의 Li 파생 모델을 f ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$을(를) 따라 다음과 같이$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d}h(x)}{\mathrm {d} x}f(x),}$

$또한{\displaystyle }$ 이와 유사하게,${\displaystyle }$g${\displaystyle }$(${\displaystyle }$x )$${\$displaystyle h(x)}$의 Lie 파생상품은 다음과 같이$$ $g{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle g(x)}$을(를) 따른다$$.

${\displaystyle L_{g}h(x)={\frac {\mathrm {d}h(x)}{\mathrm {d} x}g(x).}$

이 새로운 표기법으로 $우리$는 y ${\displaystyle \stackrel{}{\dot{}}}$ ${\$을(를) 다음과 같이 표현할$$ 수 있다.

${\daptyle {\dot{y}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

Lie 파생상품의 표기법은 동일한 벡터장 또는 다른 벡터장과 관련하여 여러 파생상품을 취할 때 편리하다는 점에 유의하십시오.예를 들어,

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d}(L_{f}h(x))}}{\mathrm {d} x}f(x),}$

그리고

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\mathrm {d}(L_{f}h(x))}{\mathrm{d} x}g(x).}$

상대정도

출력 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및$$ 그 ${\displaystyle 첫}$ 번째$({\displaystyle }$n -${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle(n-1)$ 파생상품의$$ 상태 벡터로 구성된 피드백 선형 시스템에서 입력 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 시스템에 어떻게 들어가는지$$ 이해해야 한다.이를 위해 상대적 정도의 개념을 도입한다.(1)과 (2)가 제공한 우리의 시스템은 다음과 같은 경우$$ 상대적인 정도 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle W\mathbb{}}$ ${\$ {$W}을($를) ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ 지점에 가지고$$ 있다고 한다.

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle L_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$ L ${\displaystyle f_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0$$\$$qquad \$$fall$ $x}$와 $모든{\displaystyle }$ k$$${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle r}$ -${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$ k\$leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

출력 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$의 시간 파생상품 표현에 비추어 이 상대적 수준의 정의를 고려할 때$,$ 우리는 시스템 (1)과 (2)의 상대적 정도를 입력 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 나타나기$$ 전에$$ $출력{\displaystyle }$ y ${\displaysty y}$을(를) 구별해야 하는 횟수로 간주할 수 있다.LTI 시스템에서 상대 정도는 전달함수의 분모 다항식의 정도(즉, 극의 수)와 분자의 다항식의 정도(즉, 0의 수)의 차이다.

피드백에 의한 선형화

이어지는 논의를 위해 $시스템$의 상대적인 정도는 n ${\displaystyle n}$이라고 가정할 것이다$.$ 이 경우 출력 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 나눈 후

${\displaystyle {\begin}y&=h(x)\\{\dot{f}h(x)\\\\ddot{{y}h(x)\\\&\vdots \\\y^{n-1}==={y}}>&#y^{n-1}>>L_{f}^{n-1h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{arged}}}$

where the notation ${\displaystyle y^{(n)}}$ indicates the ${\displaystyle n}$th derivative of ${\displaystyle y}$. Because we assumed the relative degree of the system is ${\displaystyle n}$, the Lie derivatives of the form ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$ for ${\displaystyle i=}$${\displaystyle 1,}$ …${\displaystyle }$,${\displaystyle n}$ - ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i=1,\displays,n-2}$은 모두 0이다.즉, 입력 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$은$($는) 첫 번째$({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle(n-1$) 파생상품에 직접적인 기여를 하지 않는다$$.

시스템을 정상 형태로 만드는$$ 좌표 변환 $T{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle T(x)}$은$($는) 첫 번째$({\displaystyle n}$- ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle(n-1$) 파생$$ 모델에서 나온다.특히.

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}}$

원래 $x{\displaystyle }${\$displaystyle x}$ 좌표계의$$ 궤적을 새로운 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$ 좌표계로$$ 변환한다.이러한 변형이 차이점형성인 한, 원래의 좌표계에서의 원활한 궤적은 $z{\displaystyle }${\$displaystyle z$} 좌표계에서도 역시$$ 매끄러운 독특한 상대들을 가질 것이다.$그{\displaystyle }$ z$[\displaystyle z]$ 궤도는$$ 새로운 시스템에 의해 설명될 것이다.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1h(x)u\end{case}}}.}$

따라서, 피드백 제어법

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1h(x)}}}}}(-L_{f}^{nh(x)+v)}}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에서 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$로 선형$$ 입력-출력 맵을 렌더링하다$($${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z_{1}=y}).$결과 선형화된 시스템

${\dottyle {\n1}{\dot {z}_{1}_{1}=z_{2}\\\\\\\dot{2}_{2}=z_{3}\\\\\\\\\\\\\dot {z}_{n}_{n}>v\case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 통합업체의$$ 계단식이며, $외부{\displaystyle }$ 변환 제어 v {\$displaystyle v}$은(는$)$ 표준 선형 시스템 방법론을 사용하여 선택할 수 있다$$.특히, 국가-피드백(state-feedback) 제어법은

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

여기서 상태 벡터 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$은(는$)$ 출력 y {\$displaystyle y}$이고 첫 번째$({\displaystyle n}$-${\displaystyle 1}$) {\$displaystyle(n-1$) 파생$$ 모델은 LTI 시스템을 생성함

${\displaystyle {\dot{z}=Az}$

와 함께

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

따라서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$의 적절한 선택으로 선형화된 시스템의 폐쇄 루프 폴을 임의로 배치할 수 있다$.$

불안정한 제로 다이내믹스

피드백 선형화는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$보다 낮은 상대적인 수준의 시스템을 사용하여 수행할 수 있다$.$ 그러나 시스템의 정상적인 형태는 불안정할 수 있는 제로 다이내믹스(즉, 시스템의 출력에서 관측할 수 없는 상태)를 포함할 것이다.실제로 불안정한 역학은 시스템에 해로운 영향을 미칠 수 있다(예를 들어, 시스템의 내부 상태가 한없이 커지는 것은 위험할 수 있다).관측할 수 없는 이러한 상태는 통제 가능하거나 최소한 안정적일 수 있으므로 이러한 상태가 실제로 문제를 일으키지 않도록 조치를 취할 수 있다.최소 위상 시스템은 제로 역학에 대한 약간의 통찰력을 제공한다.

참고 항목

• 비선형 제어

추가 읽기

외부 링크

• ECE 758: 단일 링크 유연 공동 조작기의 모델링 및 비선형 제어 – 설명 및 피드백 선형화 적용
• ECE 758: Ball-in-Tube 선형화 예 – 이미 정상적인 형태에 있는 시스템에 대한 선형화의 사소한 적용(즉, 좌표 변환이 필요하지 않음)
• Wolfram language 기능은 피드백 선형화를 수행하고, 상대적 순서를 계산하며, 제로 다이내믹스를 결정하는 기능이다.