필터링된 범주

범주 이론에서, 필터링된 범주는 범주로 이해되는 지시된 집합의 개념을 일반화한다(Hence는 지시된 범주로 불리며, 일부는 지시된 범주를 필터링된 범주의 동의어로 사용한다).아래에 상기될 코필터 카테고리의 이중 개념이 있다.

필터링된 범주

다음과 같은 경우 범주 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 필터링됨

• 그것은 비어있지 않다.
• $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$의 두 $개체{\displaystyle }$ j ${\displaystyle$ $j$$}$ 및${\displaystyle {}^{}}j{\displaystyle {}^{}}$ ${\$$'}$에 $대해{\displaystyle }$$$j${\displaystyle }$→ k ${\$$displaystyle$ $f:$$j'\to$ $k$$}$와 ${\displaystyle \mathrm{같은}}$ 두 ${\displaystyle {}^{}}$의 화살표$f$가 $존재$한다.
• ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$에 있는 두 개의 병렬 화살표 $u{\displaystyle }$${\displaystyle :}$ ${\displaystyle i}$ → ${\displaystyle u,v:i\$$to$ j$}$에 대해 개체$$k ${\displaystyle$ k$}$와 화살표 $w{\displaystyle }$: ${\displaystyle j}$→ ${\displaystyle k}$ :$$w${\displaystyle }$= ${\displaystyle w}$v {\$displaystyle wu=wv}$ 등이$$ 있다$.$

여과된 콜리밋은 functor ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle J}$→ C ${\displaystyle F:$$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 필터링된 범주인$$ J$\to C}$

공동 필터링된 범주

반대 범주 $J{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {o\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$ ${\$ J$^{\mathrm{op}}}}$을(를) 필터링하면$$ 범주 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 함께 필터링된다$$.세부적으로 범주는 다음과 같은 경우에 함께 필터링된다.

• 그것은 비어있지 않다.
• $J{\displaystyle }$ ${\\$$displaystyle J$$\}$의 두 $개체{\displaystyle }$ j$${\$displaystyle$ $j$$}$ $및$ j$${\$displaystyle$ j$'}$에 대해${\displaystyle k}$ → j → ${\displaystyle j}$→ $displaystyle$f${\displaystyle {:}^{}}$$k$\$to$ j$'$ $및$ f${\displaystyle }$:${\displaystyle k}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ → $displaystyle f$$':k\to$ J$}$이 있다$$.
• $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$에 있는 두 개의 병렬 화살표 ${\displaystyle u,}$ ${\displaystyle v}$ : ${\displaystyle j}$→ i$${\$displaystyle u,v:j\to$$$i$}$에 대해 $개체{\displaystyle }$k {\$displaystyle k}$와 화살표$$ w${\displaystyle }$: ${\displaystyle k}$→ ${\displaystyle j}${\$displaystyle$$w:$$k$\to $j}$이(가$)$가 있으며${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle u}$ = v = v$${\$displaystyw.$

여과된 한계는 $functor{\displaystyle }$F :${\displaystyle J}$ → ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle$ F$:$$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) 공동 필터링된 범주인$$ $J\to C}.$

Ind-objects 및 pro-objects

Given a small category ${\displaystyle C}$, a presheaf of sets ${\displaystyle C^{op}\to Set}$ that is a small filtered colimit of representable presheaves, is called an ind-object of the category ${\displaystyle C}$. Ind-objects of a category ${\displaystyle C}$ form a full subcategory ${\displaystyle Ind(C}$functors (presheaves) C ${\displaystyle o{}^{}}$p → S e ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle C^{op}\to Set}$의 범주에 있는$$${\displaystyle Ind(C)}$ $.$범주 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle o}$(${\displaystyle C}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{In}}$ ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle p^{}{}^{}}$) ${\displaystyle o^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$$^{$$op$} $C{\displaystyle }$ {\$displaystyle C}$에서 pro-objects$$ 중$$^{op}}}}은(는) ${\displaystyle {\mathrm{반대}}^{}}$범주 C o p {\$displaystyle$ C$^{op}$에 있는 ind-objects 범주의 반대다$.$

κ-filtered 범주

다음과 같이 정의되는 "필터링 카테고리"로 알려진 "필터링 카테고리"의 변종이 있다.이는 다음 관찰로 시작된다: 위의 필터링된 범주의 $정의$에 있는 세 가지$$ 조건은 각각 ${\displaystyle \{\}}$→ ${\displaystyle J}$ ${\$$displaystyle$ \{\\\\$displaystyle \{\\\\\\wrightarrow J},$$${${$ }${\displaystyle }$→ ${\displaystyle J}$ {\\$displaystyle \{j\\\\j'\} 또는$ ,$$.${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rightrightarrows }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \}}$→ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \{i\rightarrow j\}\rightarrow J$ 이 세 가지 형태의 다이어그램에 대한 코코의 존재는 모든 유한 다이어그램에 대해 코코가 존재함을 암시하는 것으로 밝혀진다. 즉, $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$ 범주는 피니트 위에 코코가 있는 경우에만 필터링된다$$.e 다이어그램 $d{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ J ${\displaystyle d:$$D\to$ J$\}.$

이것을 확장하여 일반 추기경 κ을 주어, 범주 J ${\displaystyle$ J$}$의 $모든$ 도표 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $d$$}$에 coc보다 작은 카디널리티에 cocone이 있으면 범주 $J{\displaystyle }$ {\displaystyle J$}$을(작은 도표는 카디널리티 κ) 필터로 정의한다$$.

a κ-필터(co)limit는 functor ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle J}$→ C ${\displaystyle F:$$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이(가) κ 필터 범주인 J$\to C}.$

참조

• 아르틴, M, 그로텐디크, A.와 베르디에, J. L. 세미니어 데 게오메트리 알제브리크 뒤 보이스 마리 (SGA 4)1972년 Springer Verlag, 수학 269의 강의 노트엑스포제 1세, 2.7세
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2, 섹션 IX.1.