유한점수법

Finite pointset method

응용수학에서 유한점수법이라는 명칭은 유체 흐름의 시뮬레이션과 같은 연속역학에서 문제들의 수치해결을 위한 일반적인 접근법이다.이 접근법(흔히 FPM으로 약칭)에서 매체는 각각 밀도, 속도, 압력 및 온도 등 매체의 관련 국부적 특성을 부여한 유한한 점 집합으로 표현된다.[1]

샘플링 지점은 유체 역학에 대한 라그랑지안 접근법에서와 같이 매체와 함께 이동하거나, 오일러 접근법에서와 같이 매체가 이를 통과하는 동안 공간에 고정될 수 있다.라그랑지안-울에리안 혼합 접근법도 사용할 수 있다.라그랑비아식 접근법은 입자법으로도 알려져 있다(특히 컴퓨터 그래픽 분야에서는).

유한 포인트 세트 방법은 메쉬가 없는 방법이기 때문에 위상학적 데이터 구조로 이러한 기능을 처리하는 데 필요한 소프트웨어 복잡성 없이 복잡한 또는 시간 진화하는 기하학적 기하학적 구조와 이동 위상 경계(용기에 액체가 튀거나 유리병이 터지는 것 등)를 가진 도메인에 쉽게 적응할 수 있다.유체, 열 및 질량 전달, 선형 및 비선형 탄성 또는 플라스틱 변형 등과 관련된 비선형 문제에 유용할 수 있다.

설명

가장 간단한 구현에서 유한한 점 집합은 매체에 있는 점의 비정형 목록으로 저장된다.라그랑지안 접근방식에서 점들은 매체와 함께 이동하며, 규정된 샘플링 밀도를 유지하기 위해 점을 추가하거나 삭제할 수 있다.점 밀도는 일반적으로 국소적으로 정의된 평활 길이로 규정된다.오일러식 접근방식에서 포인트는 공간에 고정되어 있지만, 정확도를 높일 필요가 있는 곳에 새로운 포인트가 추가될 수 있다.따라서 두 가지 접근 방식 모두 점의 가장 가까운 이웃이 고정되어 있지 않으며, 각 시간 단계에서 다시 결정된다.

이점

이 방법은 그리드 기반 기술에 비해 다양한 장점이 있다. 예를 들어, 그것은 자연스럽게 변화하는 유동 영역을 다룰 수 있는 반면 그리드 기반 기술은 추가적인 계산 노력이 필요하다.유한 지점은 전체 흐름 영역을 완전히 덮어야 한다. 즉, 점 구름은 특정 품질 기준을 충족해야 한다(완성 지점은 유한 지점이 충분히 많은 인접점을 찾아야 한다는 것을 의미하는 "구멍"을 형성할 수 없다. 또한, 유한 지점은 군집화되지 않는다 등).

유한점 구름은 기하학적 기초로서 FPM을 연속체 역학에 적용되는 일반적인 유한차이상으로 만드는 수학적 제형이 가능하다.이는 특히 포인트가 정규 입방점 격자로 감소하면 FPM은 고전적인 유한 차이 방법으로 감소한다는 것을 의미한다.일반적인 유한차이의 개념은 또한 FPM이 Galerkin의 접근법처럼 약한 제형에 기초하지 않는다는 것을 의미한다.오히려 FPM은 발생하는 미분 연산자의 직접 근사치에 의해 미분 방정식을 모형화하는 강력한 공식이다.사용되는 방법은 FPM을 위해 특별히 개발된 움직이는 최소 사각형 아이디어다.

역사

고전적 방법의 단점을 극복하기 위해 그러한 흐름을 시뮬레이션하기 위한 많은 접근법이 개발되었다(Hansbo 92, Harlow et al. 1965, Hirt et al. 1981, Kelecy et al. 1997, el 1992의 Kothe, Maronnier et al. 1999, Tiwari et al).2000. 고전적인 그리드 자유 라그랑지안 방법은 원래 천체물리학(Lucy 1977, Gingold et al. 1977)의 문제를 해결하기 위해 도입된 Smoothed Particle Hydrodynamics(SPH)이다.

이후 유체 역학에서 압축성 오일러 방정식을 시뮬레이션하기 위해 확장되었고 광범위한 문제에 적용되었다(모나한 92, 모나한 외 1983, 모리스 외 1997).이 방법은 또한 비결정성 비압축성 자유 표면 흐름을 시뮬레이션하기 위해 확장되었다(모나한 94).경계 조건의 이행은 SPH 방법의 주요 문제점이다.

그리드 프리 프레임워크에서 유체 동적 방정식을 해결하기 위한 또 다른 접근방식은 이동 최소 제곱법 또는 최소 제곱법이다(Belytschko et al. 1996, Dilts 1996, Kuhnert 99, Kuhnert 2000, Tiwari et al. 2001 및 2000).이 접근 경계 조건으로는 경계에 유한한 점을 배치하고 경계에 경계 조건을 규정하는 것만으로 자연적인 방법으로 구현될 수 있다(Kuhnert 99).이 방법의 강건성은 자동차 산업에서 에어백 전개 분야의 시뮬레이션 결과에 의해 나타난다.여기서 에어백의 막(또는 경계)은 시간에 따라 매우 빠르게 변화하며 상당히 복잡한 형태를 취한다(쿠네르트 외).2000).

티와리 외(2000) 압축 가능한 Navier의 한계로서 압축 불가능한 흐름의 시뮬레이션을 수행하였다.–상태 방정식이 뻣뻣한 스톡스 방정식이 접근방식은 SPH에 의한 압축 불가능한 자유 표면 흐름을 시뮬레이션하기 위해 (Monaghan 92)에서 처음 사용되었다.압축 불가능한 한계는 마하수가 작아질 정도로 상태 방정식에서 매우 큰 음속을 선택하여 얻는다.그러나 음속의 큰 가치는 CFL 조건 때문에 시간 스텝이 매우 작다고 제한한다.

초린(초린 68)의 투영법은 압축할 수 없는 나비에가 지배하는 문제를 해결하기 위해 널리 사용되는 접근법이다.–그리드 기반 구조에서 방정식을 강조한다.(Tiwari et al. 2001)에서 이 방법은 가중 최소 제곱법의 도움을 받아 그리드 프리 프레임워크에 적용되었다.그 계획은 압축할 수 없는 Navier에게 정확한 결과를 제공한다.-스토크 방정식.압력장에 발생하는 포아송 방정식은 격자 없는 방법으로 해결된다.(Tiwari et al. 2001)에서는 어떤 경계 조건에서도 포아송 방정식을 이 접근방법에 의해 정확하게 해결할 수 있다는 것을 보여주었다.포아송 용해제는 포아송 방정식과 경계 조건이 각 유한점에서 충족되어야 한다는 조건으로 가중 최소 제곱 근사 절차에 적응할 수 있다.이것은 국부적 반복 절차다.

소프트웨어

참조

  1. ^ Belytschko T, Krongauz Y, Flemming M, Organ D, 류 W.K.S, 평활 및 가속 연산 자유 갤러킨 방법 J. Comp.답안. 수학, 제74권, 1996년, 페이지 111-126.
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