오점 스텐실

수치 해석에서, 1 또는 2차원의 사각 격자로 주어진, 격자 안의 한 점의 5점 스텐실은 네 개의 "이웃"과 함께 점 자체로 구성된 스텐실이다.격자점에서 파생상품에 유한차 근사치를 작성하는 데 사용된다.수치적 분화의 예다.

한 차원

한 차원에서는 격자 내 점 사이의 간격이 h인 경우 격자 내 점 x의 5개 점 스텐실이

${\displaystyle \{x-2h,x-h,x,x+h,x+2h\}.}$

1D 첫 번째 파생 모델

점 x에서 실제 변수의 함수 ƒ의 첫 번째 파생상품은 다음과 같이 5점 스텐실을 사용하여 근사하게 추정할 수 있다.^[1]

${\displaystyle f'(x)\대략 {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}}$

중심점 ƒ(x) 자체는 관여하지 않고, 주변 지점 4개만 관여한다는 점에 유의한다.

파생

이 공식은 h ³(x ± h)과 ƒ(x ± 2h)의 4개의 테일러 시리즈를 h(또는 오차 추정을 얻으려면 h의 ⁵ 최대 조건)까지 작성하고, ((x)를 ^′ 얻기 위해 이 4개의 방정식을 풀면 얻을 수 있다.사실 x + h, x - h:

${\displaystyle f(x\pm hh)=f(x)+{\frac {h^{2}}:f"(x)\pm {h^{3}{6}f^{6}}}}}}{1\pm{4}\qquad(E_{1\pm }).}$

평가$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(E_{1+}-(E_{1-})$이 제공하는 기능

${\displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}{3}}}{3}f^{3}}}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad(E_{1}).}$

(E ₁₊)와 (E ₁₋)에 h의 ⁴ 조건을 기재했다면 ƒ(x + h) - ƒ(x - h)에 의해 서로 취소했을 것이므로 잔존 용어₁ O(h ⁴)는 ⁴ h가 h가 아니라 h의 ⁵ 순서여야 한다는 점에 유의한다.그러나 이 계산의 경우 오차 추정 순서는 여기서 처리되지 않기 때문에(아래 cf).

마찬가지로, 우리는

${\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'+{\frac {4h^{2}}!}}}f(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3}{3!}}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad(E_{2\pm }}})$

및${\displaystyle }$( E ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle(E_{2+}-(E_{2-})$이 제공하는$$ 기능

${\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}{3}f^{(3)(x)++O_{2}(h^{4}).\qquad(E_{2}).}$

ƒ ⁽³⁾(x)의 항을 없애려면 8 × (E₁) - (E₂)를 계산한다.

${\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)++O(h^{4}\,}$

따라서 위와 같은 공식을 제공한다.참고: 이 공식에서 f의 계수(8, -8,-1,1)는 보다 일반적인 사비츠키-골레이 필터의 특정 예를 나타낸다.

오차추정

이 근사치의 오차는 순서 h이다 ⁴.그것은 확장에서 볼 수 있다.

${\displaystyle {\f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{1}{30}{30}{30}f^{}}}}}+O(h^{5}){5}$ ^[2]

테일러 시리즈에서 왼쪽 측면을 확장하면 얻을 수 있다.또는 간격이 2h 및 h인 그리드의 $f$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f'(x)}$에 대한 중심 차이 근사치에 리처드슨 외삽법을 적용한다.

1D 고차 파생상품

두 번째, 세 번째 및 네 번째 파생상품에 근접한 5개 점 스텐실에 대한 중심 차이 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle f"(x)\대략 {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}$

${\displaystyle f^{(3)}(x)\대략 {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}}}}}}}}{3}}}}}}}}}}}:$

${\displaystyle f^{(4)}(x)\대략 {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}}}}}}}:{4}}}}}$

이 근사치의 오차는 각각 O(h ⁴), O(h ²), O(h ²)이다.^[2]

라그랑주 보간 다항식과의 관계

테일러 시리즈에서 유한 차이 가중치를 도출하는 대안으로 라그랑주 다항식을 구별하여 얻을 수 있다.

${\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi_{i}}{x_{j}-x_{i}}}}}}},},}$

보간점이 있는 곳

${\displaystyle x_{0}=x-2h,\message x_{1}=x-h,\message x_{2}=x,\message x_{3}=x+h,\message x_{4}=x+2h.}$

그러면 이 다섯 지점에서 interpol(x)를 보간하는$$ 사분위수 다항식 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}x}$) ${\displaystyle p_{4}(x)}$의 보간법은 다음과 같다.

${\displaystyle p_{4}(x)=\sum \do_{j=0}^{4(x_{j})\ell _{j}(x)}$

그리고 그 파생상품은

${\displaystyle p_{4}'(x)=\sum \cHB_{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x)'.}$

따라서 중간점 x = x에서₂ ƒ ^′(x)의 유한차 근사치는 다음과 같다.

${\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})}$

5개의 라그랑주 다항식의 파생상품을 x=x로₂ 평가하면 위와 같은 가중치를 부여한다.이 방법은 균일하지 않은 격자로의 확장이 매우 간단하기 때문에 더 유연할 수 있다.

2차원으로

2차원에서, 예를 들어 격자 내 사각형의 크기가 h x h인 경우 격자 내 점(x, y)의 5점 스텐실은

${\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},}$

Quincunx라고도 불리는 패턴을 형성한다.이 스텐실은 종종 다음 두 변수의 함수의 라플라시안 근사치를 위해 사용된다.

${\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\약 {\frac {f(x-h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}.}$

이 근사치의 오차는 O(h ²)이며,^[3] 다음과 같이 설명할 수 있다.

x 및 y에 대한 함수의 두 번째 파생 모델에 대한 3점 스텐실:

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}}\델타 x^{2}+\cdots \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}}\델타 y^{2}+\cdots \end{array}}}$

$\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ =${\displaystyle \Delta }$ y${\displaystyle }$= h ${\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}$을(를) 가정할 경우$:$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{array}}}$

참고 항목

• 스텐실 점프
• 유한차계수
• 반복 스텐실 루프

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover. 9쇄.표 25.2.