변형 푸리에 변환
수학 에서 푸리에 사인 변환과 코사인 변환 은 복잡한 숫자 를 사용하지 않는 푸리에 적분 변환 의 형태다. 그것들은 Joseph Fourier 에 의해 원래 사용되었던 양식이며, 신호 처리 나 통계와 같은 일부 애플리케이션에서 여전히 선호되고 있다.[1]
정의 f (t )의 푸리에 사인 변환 은 f ^ {\ displaystyle {\f}^{s} 또는 ( f displaystyle {\mathcal { s}(f) .
f ^ s ( ν ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) d t . {\displaystyle {\f}^{s}(\nu )=\int_{-\int_{-\inf(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}
t 가 시간을 의미한다면, ν 은 단위 시간당 주기 단위로 빈도가 되지만, 추상적으로 그들은 서로 이중인 어떤 변수 쌍이 될 수 있다.
이 변환은 반드시 주파수의 홀수 함수 , 즉 모든 ν 에 대해 다음과 같은 것이다.
f ^ s ( − ν ) = − f ^ s ( ν ) . {\displaystyle {\f}^{s}(-\nu )=-{\hat {f}^{s}(\nu). }
푸리에 변환 의 수치 요인은 그들의 생산물에 의해서만 고유하게 정의된다. 여기서 푸리에 반전 공식에 숫자 인자가 포함되지 않도록 사인 함수의 L 표준 2 1 2 {\displaystyle tfrac{1}{\sqrt{2}}. }
f( t 푸리에 코사인 변환 은 f^ c {\ displaystyle {\f}^{c} Ff ){\displaystyle {\f}_{c}(f 표시되기 .
f ^ c ( ν ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) cas ( 2 π ν t ) d t . {\displaystyle {\f}^{c}(\nu )=\int _{-\nu}^{-\f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}
그것은 반드시 주파수의 고른 함수 , 즉 모든 ν 에 대해 다음과 같다.
f ^ c ( ν ) = f ^ c ( − ν ) . {\displaystyle {\f}^{c}(\nu )={\hat {f}^{c}(-\nu). }
일부 저자는[2] t 의 짝수 함수 에 대해서만 코사인 변환을 정의하는데, 이 경우 사인 변환은 0이다. 코사인 또한 균등하기 때문에, 더 간단한 공식을 사용할 수 있다.
f ^ c ( ν ) = 2 ∫ 0 ∞ f ( t ) cas ( 2 π ν t ) d t . {\displaystyle {\f}^{c}(\nu )=2\int _{0}^{0}{\f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.}
마찬가지로 f 홀수 함수 인 경우 코사인 변환은 0이고 사인 변환은 다음과 같이 단순화할 수 있다.
f ^ s ( ν ) = 2 ∫ 0 ∞ f ( t ) 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) d t . {\displaystyle {\f}^{s}(\nu )=2\int _{0}^{0}{\f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt.}
다른 저자들은 또한 코사인 변환을 다음과[3]
f ^ c ( ν ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( t ) cas ( 2 π ν t ) d t . {\displaystyle {\f}^{c}(\nu )={\sqrt {2}{\pi }}\int _{0}^{\f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt.} 로서 기댈 수 있는. f ^ s ( ν ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( t ) 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) d t , {\displaystyle {\f}^{s}(\nu )={\sqrt {\2}{\pi }}\int_{0}^{0}{\f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt,} 또는[4] F c ( α ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( x ) cas ( α x ) d x {\displaystyle F_{c}(\alpha )={\frac {2}{\pi }\int _{0}^{\f(x)\cos(\alpha x)\,dx} 및 사인 변환: F s ( α ) = 2 π ∫ 0 ∞ f ( x ) 죄를 짓다 ( α x ) d x {\displaystyle F_{s}(\alpha )={\frac {2}{\pi }\int _{0}^{\f(x)\sin(\alpha x)\,dx} 변환 변수 displaystyle \alpha }
푸리에 역전 f와 f의 두 변환 f 다양한 가설에 대한 자세한 내용은 Fourier 반전 정리를 참조하십시오.
반전[5]
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ f ^ c ( ν ) cas ( 2 π ν t ) d ν + ∫ − ∞ ∞ f ^ s ( ν ) 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) d ν , {\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{c}(\nu )\cos(2\pi \nu t)\,d\nu +\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}^{s}(\nu )\sin(2\pi \nu t)\,d\nu ,}
모든 수량이 진짜라는 장점이 있다. 코사인 (cosine)의 첨가 공식을 사용하여, 이것은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) cas ( 2 π ν ( x − t ) ) d x d ν . {\displaystyle f(t)=\int _{-\infit }^{\infit }}^{-\inf(x)\cos(2\pi \nu)\,dx\,d\nu .}
원래 함수 f 짝수 함수 라면 사인 변환은 0이고, f 홀수 함수 라면 코사인 변환은 0이다. 어느 경우든 반전 공식은 단순화된다.
복합 지수와의 관계 오늘날 더 자주 사용되는 푸리에 변환 의 형태는
f ^ ( ν ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − 2 π i ν t d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ( cas ( 2 π ν t ) − i 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) ) d t 오일러의 공식 = ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) cas ( 2 π ν t ) d t ) − i ( ∫ − ∞ ∞ f ( t ) 죄를 짓다 ( 2 π ν t ) d t ) = f ^ c ( ν ) − i f ^ s ( ν ) {\displaystyle{\begin{정렬}{\hat{f}}(\nu)&,=\int _ᆲ^ᆳf(t)e^{-2\pii\nu지}\,dt\\&,=\int _ᆵ^ᆶf(t)\left(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t)\right)dt&,&{\text{오일러의 공식}}\\&, =\left(f(t\int_{}-\infty ^{}\infty)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(f(t\int_{}-\infty ^{}\infty)\sin(2\pi \nu 정확)\,dt\right)\\[2pt]&. ={\hat{f}^{c}(\nu )-i-{f}^{f}(\nu )\ended}}}}
수치평가 가우스나 탄신 사분법과 같은 푸리에 통합에 대한 표준적인 수치 평가 방법을 사용하면 4차 합계가 (대부분 관심 통합의 경우) 매우 불량한 조건이기 때문에 완전히 잘못된 결과를 초래할 가능성이 있다. 푸리에의 진동의 구조 등을 이용하고 특별한 숫자상의 방법이 필요하면, 각각의 예는 Ooura의 방법 integrals[6]이 방법은 점근적으로 진동(는 사인이나 코사인)의 0에 근접하는 위치에 있는 빠르고 negat 긍정적인 크기를 감소시켜 피적분 함수를 평가하기 위한 것.iv 요약된 e 용어
참고 항목 참조 휘태커, 에드먼드, 제임스 왓슨, A Course in Modern Analysis , Four Edition, Cambridge Univ. 프레스, 1927, 페이지 189, 211 ^ "Highlights in the History of the Fourier Transform" . pulse.embs.org . Retrieved 2018-10-08 .^ Mary L. Boas , Mathematical Methods in the Physical Science ISBN 0-471-04409-1 ^ "Fourier Transform, Cosine and Sine Transforms" . cnyack.homestead.com . Retrieved 2018-10-08 .^ Coleman, Matthew P. (2013). An Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB ISBN 978-1-4398-9846-8 OCLC 822959644 . ^ Poincaré, Henri (1895). Theorie analytique de la propagation de chaleur ^ 오우라 타쿠야, 모리 마사타케, 푸리에형 집적 , 연산 및 응용 수학 저널 112 .1-2(1999): 229-241. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\nu )&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\left(\cos(2\pi \nu t)-i\,\sin(2\pi \nu t)\right)dt&&{\text{Euler's Formula}}\\&=\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \nu t)\,dt\right)-i\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \nu t)\,dt\right)\\[2pt]&={\hat {f}}^{c}(\nu )-i{\hat {f}}^{s}(\nu )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d47c6a5921678ae40ee40602c9cb67bae63436)
