짝수 및 홀수 함수

사인 함수 및 모든 테일러 다항식은 홀수 함수다. 이 이미지는

\sin(x)

\sin(x)

( x

\sin(x)

)

\sin(x)

과

\sin(x)

그 Taylor 근사치, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13의 다항식들을 보여준다.

코사인 기능과 테일러의 모든 다항식은 짝수 기능이다.

\cos(x)

이미지는

\cos(x)

\cos(x)

( x

\cos(x)

)

\cos(x)

와

\cos(x)

그 Taylor 근사치 4를 보여준다.

수학에서, 고른 함수와 홀수 함수는 첨가물을 뒤집어 쓰는 것과 관련하여, 특정한 대칭 관계를 만족시키는 함수들이다. 그것들은 특히 파워 시리즈와 푸리에 시리즈 이론의 수학적 분석의 많은 분야에서 중요하다. 그것들은 각 조건을 만족시키는 전력함수의 힘의 패리티에 대해 명명된다: $f(x)=x^{n}$ f $f(x)=x^{n}$ ( $f(x)=x^{n}$ ) $f(x)=x^{n}$ = $f(x)=x^{n}$ n ${\$ 는 짝수 정수일 경우 짝수 함수이고 $f(x)=x^{n}$ , n이 홀수 정수일 경우 홀수 함수일 경우 홀수 함수다.

정의 및 예제

실제 함수, 즉 실제 변수의 실제 값 함수에는 일반적으로 균등성과 홀수성이 고려된다. 그러나, 그 개념은 영역과 코도메인이 모두 첨가물 역의 개념을 가지고 있는 함수에 대해 더 일반적으로 정의될 수 있다. 여기에는 아벨 그룹, 모든 고리, 모든 필드 및 모든 벡터 공간이 포함된다. 따라서 예를 들어 실제 함수는 벡터 변수의 복잡한 값 함수 등과 같이 홀수 또는 짝수(또는 둘 다)일 수 있다.

주어진 예는 그래프의 대칭을 설명하기 위한 실제 함수들이다.

짝수 함수

f(x)=x^{2}

(

f(x)=x^{2}

)

f(x)=x^{2}

=

f(x)=x^{2}

f(x)=x^{2}

{\

은

f(x)=x^{2}

짝수 함수의 예다.

f는 실제 변수의 실제 값 함수가 되도록 하자. 그 다음 f는 f의 영역에 있는 x와 -x와 같은 모든 x에 대해 다음과 같은 방정식을 갖는 경우에도 마찬가지다.^[1]^{: p. 11}

f(x)=f(-x

(Eq.1)

또는 다음 방정식이 그러한 모든 x에 대해 유지되는 경우 동등하게:

0을 표시방식 f(x)-f(-x=0).}

기하학적으로 짝수함수의 그래프는 y축에 대해 대칭이며, 이는 y축에 대해 반성한 후에도 그래프가 변하지 않음을 의미한다.

짝수 함수의 예는 다음과 같다.

절대값 $x\mapsto |x|,$ $x\mapsto |x|,$ $x\mapsto |x|,$ , ${\displaystyle$ x $\mapsto$ x $,}$
$x\mapsto x^{2},$
$x^{4},}$
코사인 $\cos ,$
쌍곡선 코사인 $\displaystyle \cosh .}$

홀수 함수

f(x)=x^{3}

(

f(x)=x^{3}

)

f(x)=x^{3}

= x

f(x)=x^{3}

{\

는

f(x)=x^{3}

홀수 함수의 예다.

다시 말하지만 f는 실제 변수의 실제 값 함수가 되게 한다. 다음 방정식이 x와 -x가 f의 영역에 있는 모든 x에 대해 유지된다면 f는 이상하다.^[1]^{: p. 72}

-f(x)=fx

(Eq.2)

또는 다음 방정식이 그러한 모든 x에 대해 유지되는 경우 동등하게:

(\디스플레이 스타일 f(x)+fx=0.}

기하학적으로 홀수함수의 그래프는 원점에 대해 회전 대칭성을 가지며, 원점에 대해 180도 회전한 후에도 그래프가 변하지 않는다는 것을 의미한다.

홀수 함수의 예는 다음과 같다.

ID 함수 $x\mapsto x,$ $x\mapsto x,$ $x\mapsto x,$ , ${\displaystyle$ x $\mapsto$ x $,}$
$x\mapsto x^{3}$
사인이 있는 $\displaystyle \sin ,}$
쌍곡선 사인 $\displaystyle \sinh ,}$
오류 함수 $\operatorname {erf} .$ . $\operatorname {erf} .$

f(x)=x^{3}+1

(

f(x)=x^{3}+1

)

f(x)=x^{3}+1

=

f(x)=x^{3}+1

f(x)=x^{3}+1

+ 1

{\displaystyle f(x)=x^{3}+1

}은

f(x)=x^{3}+1

(

는) 짝수도 아니고 홀수도 아니다.

기본 속성

유니크함

함수가 짝수 및 홀수인 경우 정의되는 모든 곳에서 0과 같다.
함수가 홀수인 경우, 그 함수의 절대값은 짝수함수다.

덧셈과 뺄셈

짝수 함수 두 개의 합은 짝수다.
두 가지 홀수 함수의 합은 홀수다.
두 홀수 함수 사이의 차이는 홀수다.
두 가지 짝수함수의 차이는 짝수다.
함수 중 하나가 주어진 도메인에서 0이 아닌 한, 짝수 및 홀수 함수의 합은 짝수 또는 홀수가 아니다.

곱셈과 나누기

두 개의 짝수 함수의 산물은 짝수함수다.
- 그것은 짝수 함수의 생산품 또한 짝수 함수를 의미한다.
두 가지 홀수함수의 산물은 짝수함수다.
짝수함수와 홀수함수의 산물은 홀수함수다.
두 개의 짝수함수의 몫은 짝수함수다.
두 가지 홀수함수의 몫은 짝수함수다.
짝수함수와 홀수함수의 몫은 홀수함수다.

구성

짝수함수 두 개의 구성이 균등하다.
두 가지 홀수 함수의 구성이 이상하다.
짝수함수와 홀수함수의 구성은 짝수함수다.
기능이 짝수인 함수의 구성은 짝수(그러나 그 반대는 아님)이다.

짝수 분해

모든 함수는 짝수 및 홀수 함수의 합으로 고유하게 분해될 수 있으며, 이는 함수의 짝수 부분과 홀수 부분이라고 한다.

f_{\text{e}(x)={\frac {f(x)+ffx)}{2}}:

(Eq.3)

그리고

f_{\text{o}(x)={\frac {f(x)-ffx)}{2}}:

(Eq.4)

$f_{\text{e}}$ ${\$ 은 $f_{\text{e}}$ (는) 짝수, $f_{\text{o}}$ $f_{\text{o}}$ ${\$ 은 $f_{\text{o}}$ (는) 홀수,

f(x)=f_{\text{e}+f_{\text{o}}(x).

반대로 만약

[\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)],}

여기서 $g$ 는 짝수이고 $h$ 는 홀수인 다음, $g=f_{\text{e}}$ = $g=f_{\text{e}}$ ${\$ $h=f_{\text{o}},$ h = f $h=f_{\text{o}},$ {\ $displaysty h$ =f_{\ $text{o}},$ $h=f_{\text{o}},$ 부터는 $g=f_{\text{e}}$ $h=f_{\text{o}},$ g $g=f_{\text{e}}$ = f = f {\displaystythyle h= $f_{\$ text},}}}

{\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{정렬}}

예를 들어, 첫 번째 것은 짝수함수, 두 번째 것은 홀수함수, 그리고 두 번째 것은 홀수함수, 그리고 두 번째 것은 지수함수의 짝수 및 홀수부분으로 간주될 수 있다.

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

=

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

(

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

)

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

(

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

)

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

+

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

(

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

)

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

o f

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

( x

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

)

e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}

{\

displaystyle e

^{x

}=\cosh(x

)} _

{f_

{\cosh(x

)} _{\cosh(x)}+\{f_{{f_

추가 대수적 특성

짝수함수의 선형 결합은 짝수함수며 짝수함수는 실체 위에 벡터공간을 형성한다. 마찬가지로 홀수함수의 어떤 선형 결합도 홀수이며, 홀수함수 또한 실제 위에 벡터 공간을 형성한다. 사실 모든 실제 함수의 벡터 공간은 짝수 및 홀수 함수의 서브스페이스를 직접 합한 것이다. 이것은 앞의 절에서 그 재산을 보다 추상적으로 표현하는 방법이다.
- 함수의 공간은 위의 몇 가지 특성뿐만 아니라 이 특성에 의해 실수에 걸쳐 등급이 매겨진 대수학으로 간주할 수 있다.

짝수함수는 실제보다 역수대수를 형성한다. 그러나 홀수함수는 곱셈에 의해 닫히지 않기 때문에 실수에 걸쳐 대수학을 형성하지 않는다.

분석적 특성

함수가 홀수 또는 짝수인 것은 서로 다른 가능성 또는 심지어 연속성을 의미하지 않는다. 예를 들어 디리클레 함수는 짝수지만 어디에서도 연속되지 않는다.

다음에서, 파생상품, 푸리에 시리즈, 테일러 시리즈 등을 포함하는 속성들은 이러한 개념들이 고려되는 기능들에 대해 정의된다고 가정한다.

기본 분석 특성

짝수함수의 파생상품은 홀수다.
홀수함수의 파생상품은 짝수다.
-A에서 +A까지의 홀수 함수의 적분은 0이다(여기서 A는 유한하고 함수는 -A와 A 사이에 수직 점증점이 없다). 대칭 간격 $[-A,A]$ 예: [ - A $[-A,A]$ , $[-A,A]$ ${\displaystyle [-A,A])$ 에 걸쳐 통합할 수 있는 홀수 함수의 경우 $[-A,A]$ 해당 간격에 대한 적분 결과는 0이다. 즉^[2],
$\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ - $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ f $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ ( $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ ) $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ = $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ ${\displaystyle \int_{-A}^{A}f(x)\,dx=0$ .
-A에서 +A까지의 짝수함수의 적분은 0에서 +A까지의 적분의 2배다(여기서 A는 유한하고 함수는 -A와 A 사이에 수직 점증점이 없다). 이는 또한 A가 무한할 때, 그러나 통합이 수렴되는 경우에만 해당된다; 즉
$\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ - $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ ( x $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ ) $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ = $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ 0 $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ ( $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ ) $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ $\int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$ ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx$

시리즈

짝수 함수의 Maclaurin 시리즈는 짝수 파워만 포함한다.
기묘한 기능의 맥클라우린 시리즈는 기묘한 힘만을 포함한다.
주기적인 짝수 함수의 푸리에 시리즈는 코사인 항만 포함한다.
주기적인 홀수 함수의 푸리에 시리즈는 사인 항만 포함한다.
순수하게 실제 가치로 평가된 짝수 함수의 푸리에 변환은 실제적이고 고른 것이다. (퓨리어 분석 § 대칭 특성 참조)
순수하게 실제 가치가 있는 홀수함수의 푸리에 변환은 상상적이고 이상하다. (퓨리어 분석 § 대칭 특성 참조)

고조파

신호 처리에서 고조파 왜곡은 사인파 신호가 메모리 없는 비선형 시스템, 즉 시간 t의 출력이 시간 t의 입력에만 의존하고 이전 시간에는 입력에 의존하지 않는 시스템을 통해 전송될 때 발생한다. 이러한 시스템은 응답 함수 $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ ( $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ ) $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ = f $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ ( ( $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ ) ) $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text}})(t)$ 에 의해 설명된다 $V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))$ 생성되는 고조파 유형은 반응 함수 f:^[3]

반응 함수가 짝수일 때 결과 신호는 입력 사인파의 짝수 고조파만 구성된다; $0f,2f,4f,6f,\dots$ $0f,2f,4f,6f,\dots$ $0f,2f,4f,6f,\dots$ $0f,2f,4f,6f,\dots$ , $0f,2f,4f,6f,\dots$ … $0f,2f,4f,6f,\dots$
- 근본도 기묘한 조화여서 존재하지 않을 것이다.
- 간단한 예가 전파 정류기다.
- $0f$ $0f$ $0f$ 성분은 $0f$ 짝대칭 전송 함수의 단측 특성 때문에 DC 오프셋을 나타낸다.
홀수일 경우, 결과 신호는 입력 사인파의 홀수 고조파만 구성된다; $1f,3f,5f,\dots$ $1f,3f,5f,\dots$ $1f,3f,5f,\dots$ … $1f,3f,5f,\dots$
- 출력 신호는 반파 대칭이 될 것이다.
- 간단한 예로 대칭 푸시 풀 앰프에서 클리핑을 들 수 있다.
비대칭일 때 결과 신호는 짝수 또는 홀수 고조파를 포함할 수 있다; $1f,2f,3f,\dots$ f $1f,2f,3f,\dots$ $1f,2f,3f,\dots$ $1f,2f,3f,\dots$ $1f,2f,3f,\dots$ $1f,2f,3f,\dots$ … $1f, 2f, 3f,\dots$
- 간단한 예로는 반파 정류기와 비대칭 클래스 A 증폭기의 클리핑이 있다.

더 복잡한 파형에서는 이 값이 적용되지 않는다는 점에 유의하십시오. 예를 들어 톱니 파동에는 짝수 및 홀수 고조파가 모두 포함된다. 짝대칭 전파 정류 후 삼각파가 되며, DC 오프셋이 아닌 이상 고조파만 포함하고 있다.

일반화

다변량 함수

짝수 대칭:

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ f : $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ n → $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ f $:\mathb {R}$ ^{ $n}\to \mathb {R} }$ 은(는) 다음과 같은 경우 대칭으로도 불린다 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ .

{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}}=f(-x_{1},-x_{n})\dots,-x_{n}\text{{}{{}}\text{{}}}{}}}}}}}}}.

홀수 대칭:

$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ f : $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ n → $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle f:\mathb {R}$ ^{ $n}\to \mathb {R}}$ 은(는) 다음과 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 같은 경우 홀수 대칭이라고 한다.

f(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},-x_{1},\dots,-x_{n}},\text{{\text{{{}}{{}}}}모든 }x_{1},\dots,x_{n}\mathb {R}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

복합값함수

실제 논거의 복잡한 가치 함수에 대한 짝수 대칭과 홀수 대칭에 대한 정의는 실제 사례와 유사하지만 복잡한 결합을 포함한다.

짝수 대칭:

실제 인수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ → C ${\$ 의 복잡한 값 함수를 다음과 같은 경우 대칭이라고 한다 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ .

f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{{}모든 }x\in \mathb {R}}

홀수 대칭:

실제 인수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ : $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ → C ${\$ f $:\mathb {R} \to \mathb {C}$ 의 복합 값 함수를 다음과 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ 같은 경우 홀수 대칭이라고 한다.

f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{{}모든 }x\in \mathb {R}}

유한 길이 시퀀스

홀수 및 짝수 대칭의 정의는 다음과 같이 N-포인트 시퀀스( $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ , $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ f $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ : { $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ 1, $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ - $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ } $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ → R $f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle f:\\0,1,\ldots, N-1\right\}\}\mathb {R$ 로 확장된다.^[4]^{: p. 411}

짝수 대칭:

N-포인트 시퀀스는 다음과 같은 경우 짝수 대칭이라고 한다.

f(n)=f(N-n)\quad{{}}{{n\in \1,\ldots ,N-1\right\}.

이러한 순서를 흔히 팔린드로믹 시퀀스라고 한다. 팔린드로믹 다항식도 참조하십시오.

홀수 대칭:

N-점 시퀀스를 다음과 같은 경우 홀수 대칭이라고 한다.

f(n)=-f(N-n)\quad{{}}{{n\in \1,\ldots ,N-1\right\}.

그러한 시퀀스를 반팔선형 시퀀스라고도 한다. 반팔선형 다항식도 참조하십시오.

참고 항목

메모들

^ ^a ^b Gel'Fand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (1990). Functions and Graphs. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.
^ W., Weisstein, Eric. "Odd Function". mathworld.wolfram.com.
^ Berners, Dave (October 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics". UA WebZine. Universal Audio. Retrieved 2016-09-22. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.
^ Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

참조

Gelfand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (2002) [1969], Functions and Graphs, Mineola, N.Y: Dover Publications

[FunctionsAndGraphs-1] Gel'Fand, I. M.; Glagoleva, E. G.; Shnol, E. E. (1990). Functions and Graphs. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.

[2] W., Weisstein, Eric. "Odd Function". mathworld.wolfram.com.

[3] Berners, Dave (October 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics". UA WebZine. Universal Audio. Retrieved 2016-09-22. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.

[ProakisManolakis-4] Proakis, John G.; Manolakis, Dimitri G. (1996), Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications (3 ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

[1]

[2]

[3]

[4]

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목차

정의 및 예제

짝수 함수

홀수 함수

기본 속성

유니크함

덧셈과 뺄셈

곱셈과 나누기

구성

짝수 분해

추가 대수적 특성

분석적 특성

기본 분석 특성

시리즈

고조파

일반화

다변량 함수

복합값함수

유한 길이 시퀀스

참고 항목

메모들

참조