팔크스-말라우스 지수

Fowlkes-Mallows 지수는 두 군집(군집화 알고리즘을 거쳐 얻은 클러스터) 사이의 유사성을 판단하는 데 사용되는 외부 평가 방법이며, 혼동 매트릭스를 측정하는 메트릭이기도 하다.^[1] 이러한 유사성 측정은 두 계층적 군집화 또는 군집화 및 벤치마크 분류 사이에 있을 수 있다. Fowlkes-Mallows 지수의 값이 높을수록 군집과 벤치마크 분류 간의 유사성이 더 크다는 것을 나타낸다.

예선

결과를 평가하기 위해 두 개의 클러스터링 알고리즘의 결과를 사용할 때 Fowlkes-Mallows 지수는 다음과^[2] 같이 정의된다.

${\displaystyle FM={\sqrt {PPV\cdot TPR}={\sqrt {{\frac {TP}{TP+FP}\cdot {\frac {TP}{TP+FN}}}$

여기서 T ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle TP}$은(는) 참 긍정 수, F ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle FP}$은 거짓 긍정 수, F ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle FN}$은 거짓 부정의 수입니다. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle TPR}$은(는) 감도 또는 회수라고도 하는 진정한 양성률이며, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PPV}$은 정밀도라고도 하는 양성 예측률이다.

파울크스-말라우스 지수의 최소 가능 값은 0으로, 모든 요소가 잘못 분류된 가능한 최악의 이항 분류에 해당한다. 그리고 파울크스-말라우스 지수의 최대 가능한 값은 1로, 모든 요소가 완벽하게 분류된 가능한 최고의 이항 분류에 해당한다.

정의

${\displaystyle {레이블}_{}}$이 A$$1 {\$displaystyle A_{$1$$}이고 A$$2 {\$displaystyle A_{$2}}인 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 객체의$$ 두 계층적 클러스터를 고려하십시오$.$ 나무 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle A_{}}$ 2 ${\$}}개를 잘라 각 트리에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ k${\displaystyle }$= 2${\displaystyle }$,${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 ${\displaystyle k=2,\ldots ,n-1}$개의$$ 클러스터를 생성할 수 있다$$(트리의 특정 높이에서 클러스터를 선택하거나 계층적 클러스터링의 다른 강도를 설정). $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의$$각 값에 대해 다음 표를 생성할 수 있음

${\displaystyle M=[m_{i,j}]\qquad(i=1,\ldots,k{\text{ 및 }j=1,\ldots,k)}$

여기서 m ${\displaystyle {i,}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$1 {\$displaystyle A_{1$}의$$i {\$displaystyle i}$과(와$)$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의$$ 클러스터 간에 공통적인 물체다$.$ $그런{\displaystyle }$ 다음 k ${\displaystyle k}$의 특정 값에 대한 Fowlkes-Mallows 지수를 다음과 같이 정의한다$$.

${\displaystyle B_{k}={\frac {T_{k}}{\sqrt{P_{k}Q_{k}}}}}}$

어디에

${\displaystyle T_{k}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}{j=1}^{k}m_{i,j}^{2}-n}$

${\displaystyle P_{k}=\sum _{i=1}^{k}(\sum _{j=1}^{k}m_{i,j}^{2}-n})$

${\displaystyle Q_{k}=\sum _{j=1}^{k}(\sum _{i=1}^{k_{i,j}^{2}-n})$

${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle B_$${k$$}$의 모든 $값$에 대해 계산할 수 있으며$$$$, $두{\displaystyle }$ ${\displaystyle {군집}_{}}$사이의 $유사성$은 B k {\displaystyle $B_{k}$ 대$$ k {\$displaystystyle$ k$}$을(를$)$ 플로팅하여 나타낼$$수 $있다{\displaystyle }$. 각$$k {\$displaystystyle$ k$$$}$에 $대해{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{B}}$\ ${\displaystyle 1_{}}$ {\$displaystyte{\leq$\$leq$ b_{leq b_B_{$k_${k_{k_{k}이 있다.$q$ 1$$.

Powlkes-Mallows 지수는 또한 두 계층적 군집화에서 공통적이거나 흔하지 않은 점의 수에 기초하여 정의할 수 있다. 우리가 정의한다면

${\displaystyle }$$T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle TP}$은(는) $A{\displaystyle {}_{}}$ 1 ${\$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$}$$및 A 2 {\$displaystyle A_{2$}} 모두에서 동일한 클러스터에 있는 점 쌍의 수입니다$.$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle FP}$은(는) $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}의 $동일$한 클러스터에 ${\displaystyle {존재}_{}}$하지만$$A 2 {\$displaystyle A_{2$}}에는 존재하지 않는 점 쌍의 수입니다$.$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle FN}$은(는) $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 동일한 클러스터에 존재하지만$$ $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에는 존재하지 않는 점 쌍의 수입니다$.$

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle TN}$은(는) ${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1} 및 $A$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의 서로 다른 클러스터에 있는 점 쌍 수입니다$.$

4계수는 다음과 같은 속성을 가지고 있음을 알 수 있다.

${\displaystyle TP+FP+FN+TN=n(n-1)/2}$

그리고 두 개의 군집에 대한 Powlkes-Mallows 지수는 다음과^[3] 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle FM={\sqrt {PPV\cdot TPR}={\sqrt {{\frac {TP}{TP+FP}\cdot {\frac {TP}{TP+FN}}}$

여기서 T ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle TP}$은(는) 참 긍정 수, F ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle FP}$은 거짓 긍정 수, F ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle FN}$은 거짓 부정의 수입니다.

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle TPR}$은(는) 감도 또는 회수라고도 하는 진정한 양성률이며, $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PPV}$은 정밀도라고도 하는 양성 예측률이다.

파울크스-말라우스 지수는 정밀도와 회수율의 기하학적 평균이다.^[4]

토론

지수는 참긍정 수에 정비례하므로 지수가 높을수록 지수를 결정하는 데 사용되는 두 군집 사이의 유사성이 더 크다는 것을 의미한다. 이 지수의 유효성을 시험하는 한 가지 기본적인 방법은 서로 관련이 없는 두 개의 군집을 비교하는 것이다. Fowlkes과 Mallows 두 관계 없는 clusterings을 이용해서, 이 인덱스 접근법의 가치 전체 데이터 포인트 클러스터링 인상을 선택할 숫자만큼 zero는 반면에, 랜드 인덱스에 대한 같은 데이터 값을 빠르게 1{1\displaystyle}[1]Fowlkes–Mallows 지수를 만들고 될 훨씬 더 정확한 표현으로 다가간 것으로 나타났다nr의기양양한 자료 또한 이 지수는 기존 데이터 집합에 노이즈가 추가되고 그 유사성이 비교되는 경우에도 우수한 성능을 발휘한다. 파울키스와 말로스는 소음의 성분이 증가함에 따라 지수의 가치가 감소한다는 것을 보여주었다. 이 지수는 또한 소음이 많은 데이터 집합이 원래 데이터 집합의 클러스터와 다른 수의 클러스터를 가지고 있을 때에도 유사성을 보였다. 따라서 두 군집 사이의 유사성을 측정하는 신뢰할 수 있는 도구가 된다.

추가 읽기

• Fowlkes, Edward B; Mallows, Colin L (1983). "A method for comparing two hierarchical clusterings". Journal of the American Statistical Association. 78 (383): 553–569. doi:10.1080/01621459.1983.10478008.

참고 항목

• F1 점수
• 매튜 상관 계수
• 혼동 행렬

참조

외부 링크

• R의 Powlkes-Mallows 지수 시행.