분수 프로그래밍

수학적 최적화에서 분수 프로그래밍은 선형-추상 프로그래밍의 일반화다.분수 프로그램에서 객관적 함수는 일반적으로 비선형인 두 함수의 비율이다.최적화되는 비율은 종종 시스템의 어떤 종류의 효율성을 설명한다.

정의

Let ${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$ be real-valued functions defined on a set ${\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Let ${\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S}$$_{0}:h_{j}({\\symbol{x}})\leq$ 0$,j=1,\ldots,m$비선형 프로그램

${\displaystyle {\boldsymbol{x}\in \mathbf {S}{\text{maximize}}\quad {\frac {f({\boldsymbol{x}})}{g({\boldsymbol}}}}}}}}},}},},},},},},},},}$

$여기$서 S ${\\$의 ( )> ${\displaystyle g({\boldsymbol {x})>0}$을$($를) 분수 프로그램이라고 한다.

오목분수 프로그램

f가 음이 없고 오목하며, g가 양이고 볼록하며, S가 볼록한 세트로 되어 있는 분수 프로그램을 오목한 분수 프로그램이라고 한다.만약 g가 붙는다면 f는 부호로 제한될 필요가 없다.선형 분수 프로그램은 모든 기능 $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{h}_{}}$ j${\displaystyle }$, ${\displaystyle j}$=${\displaystyle 1}$ , ${\displaystyle m}${\$displaystyle$ f$,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$이(가) 붙어$$ 있는 오목 분수 프로그램의 특별한 경우다.

특성.

함수 $q{\displaystyle (x\mathit{}}$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x\mathit{}}$)${\displaystyle }$/ g${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle q({\boldsymbol{x}})=f({\boldsymbol{x})/g({\boldsymbol{x}}})$는 S에 반구형 퀘이콘카베이다.만약 f와 g가 구별이 가능하다면, q는 가성비다.선형 분수 프로그램에서 목표 함수는 유사함수다.

오목한 프로그램으로 변환

By the transformation ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$, any concave fractional program can be transformed to the equivalent parameter-free concave program^[1]

${\displaystyle {\begin{aigned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}\mathbf {S} _{0}{\textimize}}\quad &tf\왼쪽({\frac {\boldsy}}}}{{t)\\{\text{data.}}\noth &tg\left\fract\frac {\by}}\leq 1,\&t\geq 0.\end{정렬}}}$

g가 아핀인 경우 첫 번째 제약조건은 ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle g(}$ y ${\displaystyle \frac{t}{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol{y}}{t})=1}$로 변경되고$$ f가 음성이 아니라는 가정은 삭제될 수 있다.

이중성

등가 오목한 프로그램의 라그랑지안 이중은

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}}}}}}{\\text{data}}}}\quad &u_{i}}}\geq 0,\quad i=1,\dots,m.\end{정렬}}}$

메모들

참조

• Avriel, Mordecai; Diewert, Walter E.; Schaible, Siegfried; Zang, Israel (1988). Generalized Concavity. Plenum Press.
• Schaible, Siegfried (1983). "Fractional programming". Zeitschrift für Operations Research. 27: 39–54. doi:10.1007/bf01916898. S2CID 28766871.