대수종류의 함수장

대수 기하학에서 대수적 다양성 V의 함수 장은 V의 이성적 함수로 해석되는 물체로 구성된다. 고전적인 대수 기하학에서 그것들은 다항식의 비율이다; 복잡한 대수 기하학에서 이것들은 용적함수와 그들의 고차원적인 유사점이다; 현대 대수 기하학에서 그것들은 일부 지분의 반지의 분수 영역의 요소들이다.

복합 다지관의 정의

복잡한 대수 기하학에서 연구대상은 복잡한 분석의 다양성이며, 복잡한 분석의 국소적 개념을 가지고 있으며, 이를 통해 우리는 용적함수를 정의할 수 있다. 변종의 함수 장은 그 변종의 모든 용적함수의 집합이다. (모든 용적함수와 마찬가지로, 이들은 $C{\displaystyle \mathbb{}}$c ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \mathb {C}$\c} \cupt \$cupty$ } \컵$$\cupt $}$ .)$$ 함수의 추가 및 곱셈 연산과 함께, 이것은 대수적 의미의 분야다.

복잡한 숫자에 대한$$ 품종 $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$1}인 리만 구에 대해 글로벌 용적함수는 정확히 합리적인 함수(즉, 복합 다항함수의 비율)이다.

대수기하학적 구조

고전 대수 기하학에서 우리는 두 번째 관점을 일반화한다. 리만 구에 대해서는, 위에서 다항식의 개념은 세계적으로 정의되는 것이 아니라, 단순히 부속 좌표도, 즉 복잡한 평면(구체의 북극을 제외한 모든 부분)으로 구성되는 것에 관해서 정의된다. 일반적인 품종 V에서, 우리는 오픈 아핀 서브셋 U의 합리적 함수는 U의 아핀 좌표 링에서 두 다항식의 비율로 정의되며, 모든 V에 대한 합리적 함수는 오픈 아핀의 교차점에 합의하는 것과 같은 로컬 데이터로 구성된다고 말한다. 모든 하위 집합이 밀도가 높기 때문에, V의 함수 필드를 개방 부속품 부분 집합의 부착 좌표 링의 분수 영역으로 정의할 수 있다.

임의의 계획에 대한 일반화

가장 일반적인 설정인 현대적 계략 이론에서 우리는 위의 후자의 관점을 출발점으로 삼는다. Namely, if ${\displaystyle X}$ is an integral scheme, then for every open affine subset ${\displaystyle U}$ of ${\displaystyle X}$ the ring of sections ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ on ${\displaystyle U}$ is an integral domain and, hence, has a field of fractions. 더욱이 이것들이 모두 동일하며, 모두 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 일반 포인트의 로컬 링과 동일하다는 것을 확인할 수 있다$.$ 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 함수 필드는 그 일반 포인트의 로컬 링일 뿐이다$$. 이러한 관점은 기능 분야(구성 이론)에서 더욱 발전되어 있다. 로빈 하트숀(1977년)을 참조하라.

함수 필드의 지오메트리

V가 필드 K에 걸쳐 정의된 품종이라면 함수 필드 K(V)는 지면 필드 K의 정밀하게 생성된 필드 확장형이며, 그 초월도는 버라이어티의 치수와 동일하다. K에 대한 필드로 미세하게 생성되는 K의 모든 연장은 어떤 대수적 다양성으로부터 이러한 방식으로 발생한다. 이러한 장 확장은 K에 대한 대수 함수 분야로도 알려져 있다.

기능장에만 의존하는 품종 V의 특성은 혼성 기하학에서 연구된다.

예

K 위에 있는 점의 함수 필드는 K이다.

K 위에 있는 아핀 라인의 함수 필드는 한 변수에서 합리적인 함수의 필드 K(t)와 이형성이 있다. 이것은 투영 라인의 함수 분야이기도 하다.

${\displaystyle {방정식\mathrm{}}^{}}$y ${\displaystyle {}^{}}$ = ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 5{}^{}}$+ 1$${\$displaystyle y^{2}=x^{5}+1}$에 의해 정의된 아핀 평면 곡선을 고려하십시오$.$ 그것의 함수 필드는 K보다 초월적이며 $대수적$ $관계{\displaystyle {}^{}}$ y${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$5 + ${\displaystyle 1}$을 만족시키는 x와 y 요소에 의해 생성되는 필드 K($x,y)$이다$.$

참고 항목

• 함수 필드(구성표 이론): 일반화
• 대수함수장
• 카르티에 디비소르

참조

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• David M. Goldschmidt (2002). Algebraic Functions and Projective Curves. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 215. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95432-5.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052, 섹션 II.3 체계 첫 번째 속성 연습 3.6