g자형

통계에서 g-prior는 다중 회귀 분석의 회귀 계수에 대한 목표 이전이다.아놀드 젤너가 소개했다.^[1]베이즈(Bayes)와 경험적 베이즈(Bayes) 변수 선택의 핵심 툴이다.^[2][3]

정의

데이터 세트$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$, … (${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n$ $여기$서 x ${\displaystyle i_{}}$ ${\${$i$$}}}$는 유클리드 벡터이고 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$을 스칼라.다중 회귀 모형은 다음과 같이 공식화된다.

${\displaystyle y_{i}=x_{i}^{\top }\pairpsilon _{i}.}$

여기서 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 임의의 오류다$$.젤너의 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$에 대한 g-프리버는 이전의 제프리스와 유사한$$$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$에 대한 역 피셔 정보 매트릭스에 비례하는 공분산 행렬을 갖는 다변량 정규 분포다.

Assume the ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ are i.i.d. normal with zero mean and variance ${\displaystyle \psi ^{-1}}$. Let ${\displaystyle X}$ be the matrix with ${\displaystyle i}$th row equal to ${\displaystyle x_{i}^{\top }}$. Then the g-prior for ${\displaystyle \beta }$이전 평균인 하이퍼 ${\displaystyle {파라미터\mathrm{}}_{}}$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$0 {\$displaystyle \beta_{0}$과(${\displaystyle {}^{}}$) $\psi {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathrm{X}}^{}}$ ) - 1 ${\$}X)^{-$1},$즉, 다변량 정규 분포다.

${\displaystyle \properties \sim {\text{N}[\beta _{0}g\psi ^{-1}(X^{\top }X)^{-1}]}$

여기서 g는 양의 스칼라 파라미터다.

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 후방 분포

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 후분포는 다음과 같이 주어진다$$.

$\displaystyle \property,x,y\sim {\text{N}{{}{\big [}q{\hat{\beta }}+(1-q)\beta _{0},{\frac {q}{\psi }}}}}(X^{\top }X)^{-1}{\Big ]}.}$

여기서$$ $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{g}}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$+ g${\displaystyle }$) ${\displaystyle q=g/(1+g)}$ 및

${\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\top }X)^{-1}X^{\top }y.}$

$\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 최대우도(최소 제곱) 추정기다. 회귀 계수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$의 벡터는 g-prior, 즉 최대우도 추정기와 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 가중 $평균$으로 추정할 수 있다$$$.$

${\displaystyle {\tilde{\}}=q{\hat{\\cHat{\\}+(1-q)\cHB_{0}.}$

분명히 g →migration으로서, 후방 평균은 최대우도 추정기로 수렴된다.

g 선택

g의 추정은 ${\displaystyle \beta }$의 추정보다 약간 덜 간단하다$.$ 베이즈(Bayes)와 경험적 베이즈(Bayes) 추정기 등 다양한 방법이 제안되었다.^[3]

참조