GHK 알고리즘

GHK 알고리즘(Geweke, Hajivassiliou 및 Keane)^[1]은 다변량 프로빗 모델에서 선택 확률을 시뮬레이션하기 위한 중요도 샘플링 방법입니다.이러한 시뮬레이션 확률은 일반적으로 잘 알려진 최대화 방법 중 하나를 사용하여 최대우도 방정식에서 매개변수 추정치를 복구하는 데 사용할 수 있다(뉴턴의 방법, BFGS 등).트레인에는 다항 프로빗 모델에 대해 이 알고리즘을 구현하기 위한 단계가 잘 문서화되어 있습니다^[2].다음 내용은 이항 다변량 프로빗 모델에 적용됩니다.

$\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ ( y $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ X $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ β , $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ (\displaystyle $\Pr$ (\ $mathbf {y_{i}$ \ $mathbf {X_{$ $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ $}\beta$ } $,\Sigma$ $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ )의 $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ 선택 확률을 평가하려고 하는 경우를 생각해 봅시다. $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ 서 y $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ , $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ ., ., $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ ., $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ ., ., ., ., ., ., ., ., ., $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ ., ., ., $,$ $N))$ 및 $\mathbf {y_{i}} =(y_{1},...,y_{J}),\ (i=1,...,N)$ j(\ $displaystyle$ j $)$ 를 $j$ $i$ 로, i(\ $displaystyle$ i $)$ 를 $i$ 개인 또는 관측치로 사용할 수 있는 경우 $(\$ 는 $\mathbf {X_{i}\beta }$ 평균이고 $\Sigma$ (\ $displaystyle \Sigma$ })는 $\Sigma$ 모델의 공분산 행렬입니다 $.$ $선택지$ y를 관찰할 확률은 $다음과 같다$

(\displaystyle {begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}\beta},\Sigma)=&\int_{A_{J}\cdots\int_{A_{1}f_{i}{i},\Sigma})\mathb_F{{\mathb}\mathbf})J}^{*}\\Pr(\mathbf {y_{i}\beta},\Sigma)=&\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y}_i}_{i}\mathbeta})

$A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ 서 A $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ × $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ × $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ (\ $displaystyle$ A $=A_{1}\times$ \ $cdots \times$ A_ ${J})$ 및 $A=A_{1}\times \cdots \times A_{J}$ ,

\displaystyle A_{j}=begin{cases}(-\infty,0)&y_{j}=0\(0,\infty)&y_{j}=1\end{cases}}

J $(\displaystyle$ J $)$ 가 $J$ 작거나 2 이하인 경우를 제외하고 $J$ 에서 정의한 통합에 대한 폐쇄형 솔루션은 없습니다(일부 작업은 $J=3$ $J=3$ $(\displaystyle$ J $=3)).$ ^[3]이러한 적분 닫힌 형식 또는 직교 방법을 평가하는 대안은 시뮬레이션을 사용하는 것이다.GHK는 중요도 샘플링 방법을 사용하여 상기 확률을 시뮬레이션하는 시뮬레이션 방법입니다.

$\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ ( $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ β , $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ = 1 y $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ A $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ f $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ ( y i $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ X $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ , $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ ) $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ $\Pr(\mathbf {y_{i}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )=\int \mathbb {1} _{y^{*}\in A}f_{N}(\mathbf {y} _{i}^{*}|\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )d\mathbf {y} _{i}^{*}$ ${\$ \ $displaystyle$ \ $Pr$ ( \ $mathbf$ { $y$ _ { $i$ } \ $mathbf$ { $X$ $i$ } \ $beta$ } , \ $sigma =$ 1 \ sigma $）$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ 데이터 $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ i $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ β + ${\$ \ $displaystyle \mathbf {y_{i}^{*}$ =\ $mathbf {X_{i}\beta} +\lacilon$ }은 $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +\epsilon$ 촐레스키 인수분해를 사용하여 다시 쓸 수 있다는 것을, the $\Sigma =CC'$ $\Sigma =CC'$ = $C$ ′ \ display \ $Sigma$ = \Sigma = Cigma $\Sigma =CC'$ = $=$ y $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ y y = y y y y y y y y y y y + $C\eta$ _ ${i}.$ 여기서 $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ " $\$ _ ${i}"$ 용어는 $\eta _{i}$ $N(0,\mathbf {I} )$ $)$ { $displaystyle$ N( $0,\mathbf {I$ 로 배포됩니다 $.$

이 인수분해와 $\eta _{i}$ i $\$ _ ${i}$ 가 $\eta _{i}$ 독립적으로 분포되어 있다는 사실을 사용하면 일변량 랜덤 정규 분포의 추첨을 사용하여 잘린 다변량 정규 분포의 추첨을 시뮬레이션할 수 있다.

예를 들어, $\mathbf {A}$ A 영역(\ $displaystyle \mathbf$ {A $})$ 의 하한 및 상한이 [ $a,$ , b $[a,b]$ $\pm \infty$ ± $\pm \infty$ { $displaystyle \pm \infty$ $\pm \infty$ 포함 $[a,b]$ 과 같으면 작업이 다음과 같이 됩니다.

{array}{lcl}a <&y_{1}^{*}&<b\y_{2}^{*}&<b\\vdots &\vdots &\a\y_{}J}^{*}&<b\\end{array}

참고: y $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ $=$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ β + $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ i \ $displaystyle \mathbf {y_{i}^{*}$ =\ $mathbf {X_{i}\beta }$ + $C\eta _{$ i $\mathbf {y_{i}^{*}} =\mathbf {X_{i}\beta } +C\eta _{i}$ 로 대체:

{\displaystyle {array} {lcl}a <&x_{1}\c_{11}\eta _{1}&<b\a <&x_{2}\c_{21}\eta _{1}+c_{22}\eta _{2}\eta _{2}&vots & vots & vots

상기의 재배열,

{\displaystyle{\begin{배열}{ccc}{\frac{a-x_{1}\beta _{1}}{c_{11}}}&<>\eta _{1}<,&{\frac{b-x_{1}\beta _{1}}{c_{11}}}\\{\frac{a-(x_{2}\beta_{2}+c_{21}\eta_{1})}{c_{22}}}&<>\eta _{2}<,&{\frac{b-(x_{2}\beta_{2}+c_{21}\eta_{1})}{c_{22}}}\\\vdots, \vdots &, \vdots _{J}+\sum _{k=1}^{합동 참모 본부 인사 참모 부장}c_{J, \\{\frac{a-(x_{J}\beta &.k})}{c_{J,J}}}&<>\eta _{k}<, &,{\frac{b-(x_{J}\beta_{J}+\sum_{k=1}^{J-1}c_{J,k}}{c_{J}}\\end{array}}

이제 위의 주어진 한계를 사용하여 잘린 일변량 정규 분포에서 반복적으로 끌어내기만 하면 됩니다.이는 역 누적분포함수법에 의해 수행될 수 있으며 잘린 정규분포는 다음과 같이 주어진다.

({displaystyle u=phi({\frac {x-\mu}{\flac})})\Phi({\frac {a-\mu}{\frac {b-\mu}}}}){\Phi({\frac {b-\mu}}})}}}}-\Phi({\frac {\frac {\frac {\mu})}}}}}}}}}}}}})

$u$ 서u\ $displaystyle$ u는 $u$ 0과 1 사이의 숫자입니다. 위는 CDF이기 때문입니다.이는 x{\ $displaystyle$ x $}$ giving에 $대해$ 풀어야 하는 잘린 분포에서 랜덤 추첨을 생성하도록 제안합니다.

\displaystyle x=\display F^{-1}(u*(F(\beta)-F(\alpha))+\mu }

$\alpha ={\frac {a-\mu }{\sigma }}$ 서 $\alpha ={\frac {a-\mu }{\sigma }}$ $\alpha ={\frac {a-\mu }{\sigma }}$ a - $μ$ - μ $frac$ $\beta ={\frac {b-\mu }{\sigma }}$ { a - \ $mu }{$ \ $display }}$ $\beta ={\frac {b-\mu }{\sigma }}$ $\beta ={\frac {b-\mu }{\sigma }}$ $=$ b - $μ$ {\ { $display$ style \ $mu$ }{\ $display$ $}}$ 、 $F$ { \ $display$ F}는 $\beta ={\frac {b-\mu }{\sigma }}$ $F$ 표준 CDF입니다.이러한 추첨을 통해 콜레스키 인수분해를 사용하여 단순화된 방정식으로 $\mathbf {y_{i}^{*}}$ ${\$ {\ $displaystyle \mathbf {y_{i}^{*}}$ 을 $\mathbf {y_{i}^{*}}$ 재구성할 수 있습니다.이러한 추첨은 추첨 전에 이루어지는 것에 따라 결정되며, 정규의 속성을 사용하여 조건부 $\mathbf {y_{i}^{*}}$ 의 곱은 $\mathbf {y_{i}^{*}}$ 의 $\mathbf {y_{i}^{*}}$ 합동 분포가 됩니다(\ $displaystyle \mathbf {y_{i$

({displaystyle q(\mathbf {y_{i}^{*})\mathbf {X_{1}\beta},\Sigma},q(y_{1}^{*},\Sigma)q(y_{2}^{*})^{1},{1}\mathbeta},{*},\mathbatbf},{{{{},{},{}}, {mathbf},J}^{*}y_{1}^{*},\dots,y_{J-1}^{*},\mathbf {X_{1}\beta},\Sigma}}}

$q(\cdot )$ 서 $q(\cdot )$ q ( $q(\cdot )$ ) \ $displaystyle$ q ( \ $cdot$ )는 $q(\cdot )$ 다변량 정규분포입니다.

$y_{k},\ k<j$ 를 $y_{k},\ k<j$ 으로 $y_{j}^{*}$ $y_{j}^{*}$ y j ${\$ {\ $displaystyle$ $y_{$ j}^*} $y_{j}^{*}$ 、 $y_{k},\ k<j$ k < $j$ } restrict $y_{k},\ k<j$ ( 、 factor factor factor factorA （ \ $displaystyle$ $y$ _ { $k$ } the a a a a $aA$ the로 $A$ 제한되므로 $q(\cdot )$ q ( $)$ ) \ $displaystyleq$ ( \ $cdot$ )는 $q(\cdot )$ 잘린 정규 분포임을 알 수 있습니다.잘린 정규 분포 함수는 다음과 같습니다.

({displaystyle {\frac {x-\mu}{\sigma}}) {\sigma}}} {\Phi({\frac {b-\mu}{\sigma}}}})}}}

$y_{j}^{*}$ y j $y_{j}^{*}$ {\(\ $displaystyle$ y_ ${j$ }^{*})는 $y_{j}^{*}$ 배포가 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{y_{나는}^{*}}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)&, ={\frac{{\frac{1}{c_{11}}}\phi}_{1}{\Big(}{\frac{y_{j}^{*}-x_{1}\beta}{{11}}c_}{\Big)}{{\Big(}\Phi_{1}{\Big(}{\frac{b-x_{1}\beta}{{11}}}{\Bigc_)}-\Phi _{1}{\Big(}{\frac{a-x_{1}\beta}{{11}}}{\Bigc_)}{\Big)}}}\times \dots \times{\frac{{\frac. {1}{c_{JJ}}\phi _{J}{\Big ( ){\frac {y_{J}^{*}-(x_{J}\beta +c_{J1}\eta _{1}+c_{J2}\eta _{2}+\dots +c_{J-1}\eta _{J-1}}{c_{J}J}}{\Big}}{{\Phi_{J}{\Big (}{\frac {b-(x_{J}\beta +c_{J1}\eta _{1}+c_{J2}\eta _{2}\eta _{2}+dots +c_{JJJ-1}_1}_Jeta _{\Big}}}}}}_Big}J}}{\Big}-\Phi _{J}{\Big (}{\frac {a-(x_{J}\beta +{J1}\eta _{1}+c_{J2}\eta _{2}+\dots +c_{J-1}\eta_{J1}}{J1}-{\frac {a}}J}}}{\Big)}{\Big)}}}\\&, ={\frac{\prod_{j=1}^{J}{\frac{1}{c_{jj}}}\phi}_{j}{\Big(}{\frac{y_{j}^{*}-\sum_{k=1}^{k<. j}c_{jk}\eta_{k}}{c_{제}}}{\Big)}{\prod_{j=1}^{J}{\Big(}\Phi_{j}{\Big(}{\frac{b-\sum_{k=1}^{k<. j}c_{jk}\eta_{k}}{{제}}}{\Bigc_)}-\Phi{\Big(}{\frac{a-\sum_{k=1}^{k<. j}c_{jk}\eta_{k}}{c_{제}}}{\Big)}{\Big. )}}}\end{aligned}}}

$\phi _{j}$ 서 § $\phi _{j}$ j ${\displaystyle$ \ $phi _{$ j $\phi _{j}$ }는 선택지 $j$ {\ $displaystyle$ j $j$ 의 표준 표준 pdf입니다.

$y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ j { $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ < j $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ } $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ ~ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ ( $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ + $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ k $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ < j $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ , $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ j $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ 2 $y_{j|\{y_{k<j}^{*}\}}^{*}\sim N(\mathbf {X_{i}\beta } +\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k},c_{jj}^{2})$ ) { $displaystyle y$ _ { $y$ _ { y _ $k$ < j }^{ * } \ $sim$ N ( \ $mathbf$ { $X$ _ $i$ } \ $beta$ } \ beta ) + 1 $=$ 1 .

(b− ∑ k=1k<>j cjkη km그리고 4.9초 만 cjj)− Φ(한− ∑ k=1k<>j cjkη km그리고 4.9초 만 cjj))∏ j-1J의 나는 jj{\displaystyle \prod_{j=1}^{J}\Phi _{j}{\Big(}{{b-\sum_{k=1}^{k<. j}c_{jk}\eta_{k}}{{제}}c_}{\Big\frac)}-\Phi{\Big는 분모 ∏ j-1JΦ j자.(}{\frac{a-\sum_{k=1}^{k<, j}c_{jk}\eta _{k}}{c_{jj}}}{\Big)}=\prod _{j=1}^{J}l_{jj}}과 분자 ∏ j-1J1cjjϕ j(yj∗− ∑ k=1k<>j cjkη km그리고 4.9초 만 cjj)=fN(나는 ∗는 yX나는 β, Σ){\displaystyle \prod_{j=1}^{J}{\frac{1}{c_{jj}}}\phi _{j}{\Big(}{\fr.교류{y_ ${j}^{*}-\sum$ _ ${k=1}^{k<j}c_{jk}\eta$ _ ${k}}{\Big$ }}= $f_{N}({mathbf {y_{i}^*}}}:\mathbf {X_{i$ }\ $beta},\Sigma$ $)$ 는 $\prod _{j=1}^{J}{\frac {1}{c_{jj}}}\phi _{j}{\Big (}{\frac {y_{j}^{*}-\sum _{k=1}^{k<j}c_{jk}\eta _{k}}{c_{jj}}}{\Big )}=f_{N}(\mathbf {y_{i}^{*}} |\mathbf {X_{i}\beta } ,\Sigma )$ 여기서 $f_{N}(\cdot )$ {n}를 표시합니다 $f_{N}(\cdot )$

원래 목표로 돌아가서

(\displaystyle {begin{aligned}\Pr(\mathbf {y_{i}\beta},\Sigma)=&\int _{A_{j}f_{N}({i}^*}\mathbf {X_i}\beta},\Sigma}),

중요도 샘플링을 사용하여 이 적분을 평가할 수 있습니다.

{\displaystyle{\begin{정렬}(\mathbf{y_{나는}}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)=&, \int _{A_{j}}f_ᆮ(\mathbf{y}_{나는}^{*}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)dy_{j}^{*}\\=&, \int _{A_{j}}{\frac{f_{N}(\mathbf{y}_{나는}^{*}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)}{q(\mathbf{y_{나는}^{*}}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)}}q(\mathbf{y_{나는}^{*}}\mathbf{X_{.나는}\beta},\Sigma)dy_{j}^{*}\\=&, \int _{A_{j}}{\frac{f_{N}(\mathbf{y}_{나는}^{*}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)}{\frac{f_{N}(\mathbf{y}_{나는}^{*}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)}{\prod_{j=1}^{J}l_{jj}}}}q(\mathbf{y_{나는}^{*}}\mathbf{X_{나는}\beta},\Sigma)dy_{j}^{*}\\=&, \mathbb{E}_{\mathbf{q}}{\Big(}\prod_{j=1}^{J}l_{제}{\Big)}\\\end{alig.ned}}}

이것은 1 ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ S ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ ${\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}\prod _{j=1}^{J}l_{jj}$ { $frac {1}$ { $S}\sum$ _{ $s=1}^{S}\prod$ _ ${j}^{J}l_{jjj$ 로 충분히 근사됩니다.

레퍼런스

^ Hajivassiliou, Vassilis (1994). "CLASSICAL ESTIMATION METHODS FOR LDV MODELS USING SIMULATION" (PDF). Handbook of econometrics.
^ Train, Kenneth (2003). Discrete Choice Methods With Simulation. Cambridge University Press.
^ Greene, William (2003). Econometric Analysis. Prentice Hall.

[1] Hajivassiliou, Vassilis (1994). "CLASSICAL ESTIMATION METHODS FOR LDV MODELS USING SIMULATION" (PDF). Handbook of econometrics.

[2] Train, Kenneth (2003). Discrete Choice Methods With Simulation. Cambridge University Press.

[3] Greene, William (2003). Econometric Analysis. Prentice Hall.

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