가보르-위그너 변환

Dennis Gabor의 이름을 딴 Gabor 변환과 Eugene Wigner의 이름을 딴 Wigner 분포 함수는 모두 시간-주파수 분석을 위한 도구입니다. Gabor 변환은 선명도가 높지 않고, Wigner 분포 함수는 "교차항 문제"(즉, 비선형)를 가지므로, S. C. Pei와 J. J. Ding의 2007년 연구는 명확도가 높고 교차항 문제가 없는 두 변환의 새로운 조합을 제안했습니다.^[1] Gabor 변환에서 교차항이 나타나지 않기 때문에 Gabor 변환의 시간 주파수 분포는 Wigner 분포 함수의 출력에서 교차항을 걸러내는 필터로 사용될 수 있습니다.

수학적 정의

• 가보르 변환

${\displaystyle G_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )\,d\tau }$

• 위그너 분배함수

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

• 가보르-위그너 변환

Gabor-Wigner 변환을 정의하기 위해서는 여러 가지 조합이 있습니다. 여기에는 네 가지 다른 정의가 나와 있습니다.

1. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}(t,f)\times W_{x}(t,f)}$
2. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=\min \left\{ G_{x}(t,f) ^{2}, W_{x}(t,f) \right\}}$
3. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=W_{x}(t,f)\times \{ G_{x}(t,f) >0.25\}}$
4. ${\displaystyle D_{x}(t,f)=G_{x}^{2.6}(t,f)W_{x}^{0.7}(t,f)}$

성격

1. 교차항 문제:

   ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 분포 함수(WDF)의 정의는 ${\displaystyle W_{}}$ $x{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle f)}$ = ∫${\displaystyle }$- ∞ ∞ x$$(t + τ ${\displaystyle {}^{}}$) x ∗ (t - τ 2) e - j 2 π τ f ⋅ d τ {\displaystyle W_{x}(t, f)=\int _{-\infty}^{\infty}x(t+{\frac {\tau }{2})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }

   ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$는 입력 신호, t ${\displaystyle$ t$}$는 변환 후 시간 축, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$는 변환 후 주파수 축입니다.

   입력 신호를 $x{\displaystyle (t)}$ = ${\displaystyle \alpha }$ g$(t)$ + βs(t) {\displaystyle x(t) =\alpha g(t)+\ betas(t)}로 설계하면 WDF가 다음과 같이 나타납니다.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}}x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha g(t+{\frac {\tau }{2}}+\beta s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big}}{\big [}\alpha ^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\beta ^{*}s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}){\big}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \&=\int _{-\infty }^{\infty }{\big [} \alpha ^{2}g(t+{\frac {\tau }{2}})g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}}+ \beta ^{2}s(t+{\frac {\tau }{2}}s(t-{\frac {\tau }{2}})\&\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \&= \alpha = ^{2}W_{g}(t,f)+ \beta ^{2}W_{s}(t,f)\\&\quad +\int _{-\infty }^{\infty }{\big [}\alpha \beta ^{*}g(t+{\frac {\tau }{2}})s^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})+\alpha ^{*}\beta g^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})s(t+{\frac {\tau }{2}}){\big ]}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\\end{aligned}}}$

   ${\displaystyle {Wg}_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle W_{}}$ ${\$를 "자동 용어"라고 하며, 기타 구성 요소는 "교차 용어"로 원래 신호에서 올바른 정보가 아닙니다.

   GT(Gabor Transform)는 교차항 문제를 피할 수 있는 반면 WDF(Wigner-distribution function)는 선명도가 높습니다. 두 가지를 결합함으로써 GBT(Gabor-Wigner Transform)는 높은 선명도와 교차 기간 문제를 피할 수 있는 기능을 모두 달성합니다. 아래 사진에 예시가 나와 있습니다.

   

2. 회전 관계:

   GWT는 FRFT와 회전 관계를 가지므로 FRFT 도메인에서 필터 설계, 샘플링 및 다중화에 유용합니다.

어플

Gabor-Wigner 변환은 이미지 처리, 필터 설계, 신호 샘플링, 변조, 복조, 음성 처리 및 생체 의학 공학에서 우수한 성능을 발휘합니다.

필터 설계

필터 설계의 목표는 필요한 부분을 보존하면서 신호의 원하지 않는 부분을 제거하는 것입니다. Gabor-Wigner 변환을 사용하여 시간 영역과 주파수 영역의 필터를 동시에 고려할 수 있으며, 이는 시간-주파수 분석의 한 형태를 나타냅니다. 주요 컨셉은 다음과 같습니다.

신호 변조

변조의 목적은 특정 시간 또는 주파수 범위 내에 신호를 배치하는 것입니다. Gabor-Wigner 변환을 사용하면 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 더 많은 또는 더 많은 적합한 신호 패턴을 도입하는 방법을 동시에 고려할 수 있습니다. 교차 기간 문제가 없기 때문에 위그너 변환보다 성능이 뛰어납니다.

위의 그림(WDF)을 통해 Wigner 변환(WDF)을 사용할 때 생성된 교차항이 변조에 심각한 영향을 미친다는 것도 알 수 있습니다.

Gabor-Wigner Transform의 신속한 구현을 위한 기술

1. 위그너 변환에 비해 Gabor 변환의 복잡도가 낮기 때문에, Gabor 변환은 일반적으로 계산에 우선시됩니다. Wigner 변환을 계산할 때 다른 영역의 값이 0에 가까워짐에 따라 0이 아닌 영역에서만 Gabor 변환을 계산할 수 있습니다. 수학적으로 이것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

   ${\displaystyle G_{X}(t,f)\approx 0,D_{x}(t,f)=G_{x}^{\alpha }(t,f)W_{x}^{\beta }(t,f)\approx 0}$

2. $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ x$(t)}$가 실수 함수인 경우, Gabor 변환의 경우 $X{\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) = ${\displaystyle X}$ ∗$$( - f ) {\displaystyle X(f) = X^{*}(-f)}입니다. 이를 통해 메모리 설계 시 필요한 메모리 면적을 크게 줄일 수 있습니다.

비교

시간-주파수 분석	이점	단점들	복잡성
가보르 변환	학기를 불문하고	명도를 낮추다	로우
위그너 분포 함수	더 높은 선명도	교차 임기로	중간의
가보르-위그너 변환	높은 선명도와 교차항이 없는	높은 계산 부하	높은

참고 항목

• 시간-주파수 표현
• 단시간 푸리에 변환
• 가보르 변환
• 위그너 분배함수

참고문헌