게임 그래프

그래프 이론에서 게임 그래프는 국소적으로 알려진 가장 큰 선형 강규칙 그래프입니다.이 파라미터는 (729,112,1,20)의 강력한 규칙 그래프로 표시됩니다.즉, 729개의 정점과 40824개의 모서리(정점당 112개)가 있습니다.각 모서리는 고유한 삼각형(로컬 선형 그래프)에 있으며, 인접하지 않은 각 정점 쌍에는 정확히 20개의 공유 네이버가 있습니다.그것은 리차드 A의 이름을 따서 지어졌다.게시되지 않은 커뮤니케이션에서^[1] 그것의 구축을 제안하고 관련 ^[2]구조에 대해 쓴 게임.

건설

이 그래프의 구성에는 P ${\displaystyle G}$(${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle }$\$displaystyle$PG($5,3)}$의 고유$($대칭까지) 56포인트 캡 세트(직렬에 세 개가 없는 점의 부분 집합)가 포함됩니다. 이 점은 3개의 요소 ^[3]필드 위에 있는 5차원 투영 기하학입니다.6차원 투영 지오메트리 ${\displaystyle \mathrm{PG}(6,}$ $)({$$displaystyle$$PG$(6$,3$$$는 6차원 아핀 $공간{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ G${\displaystyle (}$$,$)와 ${\displaystyle \mathrm{PG}}$$(5$$,3)$의 복사본(각 공간의 무한대 위치$)$으로 분할할 수 있습니다.게임 그래프는 아핀 $공간{\displaystyle }$ A ${\displaystyle G}$( ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 3}$) ( \ $style$AG ($6$ ,$3$ )$\}$의 729개의 점을 꼭짓점으로 합니다. 아핀 공간 내의 각 선은 이들 3개의 포인트를 통과하고 4번째 포인트는 무한대로 통과합니다.그래프에는 상한 ^[1]집합의 점을 통과하는 세 개의 아핀 점의 모든 선에 대한 삼각형이 포함됩니다.

특성.

그래프 속성 중 일부는 이 구성 직후에 나타납니다.아핀 공간의 점 수는 기준 필드의 크기에 치수의 거듭제곱이 맞기 때문에 ${\displaystyle 729}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ 6$${$style 729= 3^{6}$개의$$ 정점이 있습니다.각 아핀 포인트에 대해 캡 세트 포인트를 통과하는 56개의 라인, 대응하는 정점을 포함하는 56개의 삼각형 ${\displaystyle \mathrm{및}}$ 정점의 112 ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 56}$ ${\displaystyle \times }$ $({displaystyle$ 112$=56\times$2)개의$$ 인접 라인이 있습니다.시공에서 오는 삼각형 외에 다른 삼각형이 있을 수 없습니다. 왜냐하면 다른 삼각형이 P ${\displaystyle G(6},$$3$의 $공통{\displaystyle }$ 평면에서 만나는 세 개의 다른 선에서 와야 하며, 세 개의 선의 세 개의 캡 세트 포인트는 모두 P${\displaystyle G}$(5${\displaystyle ,3}$)와 이 평면의 교차점에 놓이기 때문입니다.${\displaystyle$PG(5$,3$ 회선입니다.그러나 이는 캡 집합의 정의 속성을 위반하는 것으로, 캡 집합에는 선상에 3개의 점이 없으므로 이러한 추가 삼각형이 존재할 수 없습니다.인접하지 않은 모든 점 쌍이 동일한 수의 공유 인접 관계를 갖는 강력한 정규 그래프의 나머지 속성은 5차원 캡 세트의 특정 속성에 따라 달라집니다.

관련 그래프

$3{\displaystyle \mathrm{}}$×$$ (\$displaystyle$ 3$\times$ 3$)$ Rook$$ 그래프와 Brower-Haemers 그래프에서 게임 그래프는 파라미터가${\displaystyle }$(${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$2 + ${\displaystyle 3n}$ -${\displaystyle {}^{1\mathrm{}}}$)${\displaystyle {}^{}}$2, ${\displaystyle {n\mathrm{}}^{}}$2 (${\displaystyle n}$ +${\displaystyle 3}$) , ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$n (${\displaystyle n}$ +$),$\ style $big$( n + n + 1 ){ $n2$} { style ( n + 1 - 2 $}그래프$ 중 하나입니다.를 클릭합니다.^[4]

캡 세트에서 강한 규칙 그래프를 생성하는 것과 동일한 속성을 P ${\displaystyle G(4,}$ $)(\displaystyle$PG($4,3$로 $설정$된 11점 캡에도 사용할 수 있으므로 파라미터(243,22,1,^[5]2)를 사용하여 보다 작은 강한 규칙 그래프를 생성할 수 있습니다.이 그래프는 Berlekamp-Van Lint-Seidel ^[6]그래프입니다.

레퍼런스