일반적인 할당 문제

응용 수학에서, 최대 일반화 할당 문제는 조합 최적화의 문제이다.이 문제는 태스크와 에이전트 모두에 크기가 있는 할당 문제를 일반화한 것입니다.또한 각 태스크의 크기는 에이전트마다 다를 수 있습니다.

이 문제의 가장 일반적인 형태는 다음과 같습니다.에이전트와 태스크가 여러 개 있습니다.모든 에이전트를 임의의 태스크 수행에 할당할 수 있으므로 에이전트 태스크 할당에 따라 비용과 수익이 달라질 수 있습니다.또한 각 에이전트에는 예산이 있으며 할당된 태스크 비용의 합계는 이 예산을 초과할 수 없습니다.모든 에이전트가 예산을 초과하지 않고 할당의 총 수익이 최대화된 할당을 찾아야 합니다.

특별한 경우

모든 에이전트의 예산과 모든 작업의 비용이 1인 특수한 경우 이 문제는 할당 문제로 줄어듭니다.에이전트 간에 모든 작업의 비용과 이익이 달라지지 않으면 이 문제는 여러 배낭 문제로 감소합니다.에이전트가 1개일 경우 이 문제는 배낭 문제로 줄어듭니다.

정의 설명

$a_{1}$ 에는 1개 $({$ $displaystyle$ $a_$ ${n$ })에서 $a_{1}$ $a_{n}$ $b_{1}$ $a_{n}$ n개({displaystyle $a_$ {n $})$ 까지의 아이템과 $b_{m}$ $({$ $displaystyle b_{m$ 의 $b_{m}$ 이 있습니다.각 $b_{i}$ $b_{i}$ ({displaystyle $b_{i$ 는 $b_{i}$ $t_{i}$ 과 $b_{i}$ $관련$ 되어 있습니다 $.$ a $b_{i}$ $b_{i}$ i $(\$ 각 $a_{j}$ a $(\$ 에는 $a_{j}$ $p_{ij}$ $p_{ij}$ j(\ $displaystyle p_{ij})$ 와 $p_{ij}$ 무게 $w_{ij}$ (\ $displaystyle w_{ij$ 가 있습니다.솔루션은 항목에서 bin으로 할당되는 것입니다.실행 가능한 해결책은 각 $b_{i}$ $(\$ })에 $b_{i}$ 대해 할당된 항목의 총 중량이 $t_{i}$ $(\$ 인 솔루션입니다.솔루션의 이익은 각 항목별 할당에 대한 이익의 합계입니다.최대 수익 실현 가능한 해결책을 찾는 것이 목표입니다.

수학적으로 일반화 할당 문제는 정수 프로그램으로 공식화할 수 있습니다.

{\displaystyle {\text{aligned}}&\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}p_{ij}x_{ij}.\\{\text{}}&\sum _{j=1}^{n}w_{ij}x_{ij}\leq t_{i}&i=1,\ldots,m_{i=1}{m}x_{ij}=1,\ldots,n;\in}x_i}.

복잡성

일반적인 할당 문제는 NP-hard이지만 (^[1]1 - $(1-1/e)$ / $(1-1/e)$ displaystyle $(1$ - 1 / $e))$ - 근사치를 $(1-1/e)$ $(1-1/e)$ ^[2]주는 선형 프로그래밍 완화가 있습니다.

탐욕 근사 알고리즘

모든 항목을 빈에 할당할 필요는 없는 문제 변종에는 배낭 문제에 대한 알고리즘의 조합 변환을 ^[3]GAP에 대한 근사 알고리즘으로 사용함으로써 GAP을 해결하기 위한 알고리즘 패밀리가 있습니다.

배낭 문제에 $\alpha$ α $(\displaystyle \alpha)$ - 근사 $\alpha$ 알고리즘 ALG를 사용하면 잔존 수익 개념을 이용하여 일반 할당 문제에 대한 $\alpha +1$ $\alpha +1$ (\ $displaystyle \alpha + 1$ )- 근사치를 탐욕스럽게 구성할 수 있다.이 알고리즘은 반복으로 스케줄을 구성합니다 $.$ 서 j\ $displaystyle$ j를 $j$ $b_{j}$ 하는 동안 $b_{j}$ b j\ $displaystyle$ b_ ${j}$ 에 $b_{j}$ 대한 잠정적인 항목 선택이 선택됩니다. $b_{j}$ b $(\$ 의 $b_{j}$ 선택은 나중에 다른 bin에 대해 다시 선택될 수 있으므로 변경될 수 있습니다.The residual profit of an item $x_{i}$ for bin $b_{j}$ is $p_{ij}$ if $x_{i}$ is not selected for any other bin or $p_{ij}$ – $p_{ik}$ if ${\displayst$ $yle x_{i}}$ 는 $x_{i}$ $b_{k}$ b $b_{k}$ k(\ $displaystyle$ b_ ${k$ 로 선택됩니다.

형식:알고리즘의 잠정적인 스케줄을 $나타내기$ 위해 벡터T(\ $displaystyle$ T $)$ 를 $T$ 사용합니다.구체적으로는 $T[i]=j$ $T[i]=j$ [ i $T[i]=j$ ] $T[i]=j$ $T[i]=j$ { $displaystyle$ $T$ [ i ] $= j$ 는 $T[i]=j$ $x_{i}$ $b_{j}$ j { $displaystyle b$ _ ${$ $j$ }에 $b_{j}$ , $T[i]=-1$ [ $T[i]=-1$ ] $=$ - $T[i]=-1$ { $displaystyle$ T[ $T[i]=-1$ i ]= - $1$ 은 $T[i]=-1$ $x_{i}$ i { $displaystyle x$ _ { $i$ }의 $x_{i}$ $x_{i}$ 스케줄이 되어 있지 않음을 의미합니다.반복 $j$ {\ $displaystyle$ j $}$ 의 $j$ 잔여 이익은 $P_{j}$ $P_{j}[i]=p_{ij}$ { $displaystyle$ $P_{j}$ 로 $P_{j}[i]=p_{ij}$ 표시됩니다. $x_{i}$ 서 $P_{j}[i]=p_{ij}$ $x_{i}$ i { $displaystyle x_{i}$ 가 $x_{i}$ 예약되지 않은 경우 $P_{j}[i]=p_{ij}$ 예: $T[i]=-1$ [ $T[i]=-1$ ] $T[i]=-1$ $T[i]=-1$ - $display-tyle$ T $=$ 1 [ $1$ ] ） $P_{j}[i]=p_{ij}-p_{ik}$ $x_{i}$ $x_{i}$ 가 $x_{i}$ $b_{k}$ { $display style$ $b$ $b_{k}$ _ { $k$ } （ $T$ [ $i$ $T[i]=k$ ] $T[i]=k$ $T[i]=k$ { $display$ style T [ $T[i]=k$ ] = k $T[i]=k$ ）에 스케줄 되어 있는 경우, { $P_{j}[i]=p_{ij}-p_{ik}$ $displaystyle$ $P$ _ { $i$ } - $p$ _ { i $x_{i}$ } - { $ik$ $T[i]=k$ } 。

형식:

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

[

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

]

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

-

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

로 설정

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

n {

displaystyle

T [ i ]

=

- 1 { \

text

{

}i = 1

\

ldots

n

T[i]=-1{\text{ for }}i=1\ldots n

}

j

j=1,\ldots ,m

j=1,\ldots ,m

,

j=1,\ldots ,m

{

displaystyle

j

=1,\ldots,m}

의

j=1,\ldots ,m

j=1,\ldots ,m

다음을 수행합니다.

ALG에 문의하여

P_{j}

{

를 사용하여

b_{j}

b_{j}

j {

displaystyle b_{j}

의

b_{j}

솔루션을 찾습니다.선택한 아이템은

S_{j}

j

S_{j}

{

displaystyle S_{j

로 나타냅니다.

i\in S_{j}

i

i\in S_{j}

i\in S_{j}

j \

displaystyle

i \

in

S _

{

j

}

S_{j}

、 T

T[i]=j

[

i

]

=

를

사용

하여

S_{j}

T[i]=j

{

displaystyle

T

}

T[i]=j

를 갱신합니다

T

.

「」를 참조해 주세요.

할당 문제

레퍼런스

^ 를 클릭합니다Özbakir, Lale; Baykasoğlu, Adil; Tapkan, Pınar (2010), Bees algorithm for generalized assignment problem, Applied Mathematics and Computation, vol. 215, Elsevier, pp. 3782–3795, doi:10.1016/j.amc.2009.11.018.
^ Fleischer, Lisa; Goemans, Michel X.; Mirrokni, Vahab S.; Sviridenko, Maxim (2006). "Tight approximation algorithms for maximum general assignment problems". {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)
^ Cohen, Reuven; Katzir, Liran; Raz, Danny (2006). "An efficient approximation for the Generalized Assignment Problem". Information Processing Letters. 100 (4): 162–166. doi:10.1016/j.ipl.2006.06.003.

추가 정보

Kellerer, Hans; Pferschy, Ulrich; Pisinger, David (2013-03-19). Knapsack Problems. ISBN 978-3-540-24777-7.

[1] 를 클릭합니다Özbakir, Lale; Baykasoğlu, Adil; Tapkan, Pınar (2010), Bees algorithm for generalized assignment problem, Applied Mathematics and Computation, vol. 215, Elsevier, pp. 3782–3795, doi:10.1016/j.amc.2009.11.018.

[2] Fleischer, Lisa; Goemans, Michel X.; Mirrokni, Vahab S.; Sviridenko, Maxim (2006). "Tight approximation algorithms for maximum general assignment problems". {{cite journal}}:Cite 저널 요구 사항 journal=(도움말)

[3] Cohen, Reuven; Katzir, Liran; Raz, Danny (2006). "An efficient approximation for the Generalized Assignment Problem". Information Processing Letters. 100 (4): 162–166. doi:10.1016/j.ipl.2006.06.003.

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