일반화 선형 배열 모형

통계에서 일반화된 선형 배열 모델(GLAM)은 배열 구조를 가진 데이터 세트를 분석하는 데 사용된다.Kronecker 제품으로 작성된 설계 행렬로 일반화된 선형 모델을 기반으로 한다.

개요

일반화된 선형 배열 모델 또는 GLAME은 2006년에 도입되었다.^[1]이러한 모델은 일반화된 선형 모델 또는 GLM을 장착하기 위한 구조와 계산 절차를 제공하며, 모델 매트릭스는 Kronecker 제품으로 작성할 수 있고 데이터는 배열로 작성할 수 있다.대형 GLM에서 GLAM 접근방식은 일반적인 GLM 알고리즘에 비해 스토리지와 컴퓨팅 시간 모두에서 상당한 절감 효과를 제공한다.

Suppose that the data ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ is arranged in a ${\displaystyle d}$-dimensional array with size ${\displaystyle n_{1}\times n_{2}\times \dots \times n_{d}}$; thus, the corresponding data vector ${\displaystyle \mathbf {y} =\operatorname {vec} (\ma$$thbf {Y}}$은(는) ${\displaystyle {크기}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}}$ d ${\$1}$n_{$2}$n_{3}\cdots n_{d}}$을(를) 가지고$$ 있으며$,$ 설계 행렬이 형식이라고 가정하십시오.

${\displaystyle \mathbf {X} _{d}\otimes \mathbf {X} _{d-1}\oths \otimes \otimes \otimes \mathbf {X} _{1}.}$

데이터 벡터 $y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과(와) $설계{\displaystyle \mathbf{}}$ 매트릭스$$X {\$displaystyle \mathbf${X}을(를) 사용한 GLM의 표준 분석은 점수 알고리즘의 반복적인 평가를 통해 진행된다$$.

${\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }\mathbf {X} {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=\mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W} }}_{\delta }{\tilde {\boldsymbol {\theta }}},}$

where ${\displaystyle {\tilde {\boldsymbol {\theta }}}}$ represents the approximate solution of ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$, and ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ is the improved value of it; ${\displaystyle \mathbf {W} _{\delta }}$ is the diagonal weight matrix분연히

${\displaystyle w_{i}^{1}=\left \frac {\flature\frac{i}{i}}{{i}}}{\matrm {var}(y_{i}),}$

그리고

${\displaystyle \mathbf {z} ={\boldsymbol {\eta }+\mathbf {W}_{\delta }^{-1}(\mathbf {y}-{\boldsymbol {\mbol}}}}}}}}}}}}}}}}}}})}$

작동 변수.

계산적으로, GLAM은 선형 예측 변수를 계산하기 위한 배열 알고리즘을 제공한다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\eta}=\mathbf {X} {\boldsymbol {\theta}}}$

그리고 가중치 있는 내부 생산물

${\displaystyle \mathbf {X} '{\tilde {\mathbf {W}}}}{\delta }\mathbf {X}}}$

모델 행렬 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ . ${\displaystyle \mathbf {X}$의 평가 없이

예

In 2 dimensions, let ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{2}\otimes \mathbf {X} _{1}}$, then the linear predictor is written ${\displaystyle \mathbf {X} _{1}{\boldsymbol {\$$세타 }}\mathbf {X} _{2}'$ 여기서$$ $\theta {\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$Theta }}}$ is the matrix of coefficients; the weighted inner product is obtained from ${\displaystyle G(\mathbf {X} _{1})'\mathbf {W} G(\mathbf {X} _{2})}$ and ${\displaystyle \mathbf {W} }$ is the matrix of weights; here ${\displaystyle G(\mathbf {M} )}$ is the row tensor fun$r{\displaystyle }$ ×${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r\times c}$ 행렬$$ $M{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$M}$이$(가)$ 제공됨^[1]

${\displaystyle G(\mathbf {M})=(\mathbf {1} \otimes \mathbf {1})\circl(\mathbf {1}\otimes \mathbf {M} )}$

여기서 $\circ {\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$은 요소 곱셈에 의한 요소를 $의미$하며, 1 {\$displaystyle \mathbf {$1}은$($는$)$ $1$의 길이 c {\$displaystyle c}$의 벡터다$.$

반면 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r\times c$$}$ 행렬$$ $M{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$의 행 텐서 함수 $(\mathbf {M})$는 1996년 Vadym Sliusar가 제안한 행렬의 페이스 분할 제품의 예다$$.^[2][3][4][5]

${\displaystyle \mathbf{M} \bullet \mathbf {M} =\왼쪽(\mathbf {1} ^{\textsf {T}\오른쪽)\circlotimes \mathbf {1}{1}{T}\otimes \mathbf {M}\mathbf {M}\right}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\bullet {\displaystyle }$ $[\displaystyle \bullet }$은 면 분할 제품을 의미한다.

이러한 저속 스토리지 공식은 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ -dimension으로$$ 확장된다.

적용들

GLAM은 데이터가 배열로 배열되어 있고 스무딩 매트릭스가 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 1차원$$ 스무딩 매트릭스의 Kronecker 제품으로 구성된 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$}$ -차원$$ 스무딩 문제에 사용하도록 설계되었다.

참조