일반화 최소 거리 디코딩

코딩 이론에서, 일반화된 최소 거리(GMD) 디코딩은 외부 코드에 오류와 삭제 디코더를 사용하는 것에 기초하여 연결된 코드의 디코딩을 위한 효율적인 알고리즘을 제공한다.

연결 코드에 대한 순진한 디코딩 알고리즘은 MLD(최대우도 디코딩)가 제공하는 정보를 고려하지 않기 때문에 최적의 디코딩 방법이 될 수 없다.즉, 순진한 알고리즘에서 내부 수신 암호어는 해밍 거리의 차이와 상관없이 동일하게 취급된다.직관적으로 외부 디코더는 내부 인코딩이 수신된 단어에 가까운 기호를 더 높은 신뢰도로 배치해야 한다.데이비드 포니는 1966년에 일반화된 최소 거리(GMD) 디코딩이라고 불리는 더 나은 알고리즘을 고안했는데, 이 알고리즘은 그러한 정보를 더 잘 활용할 수 있게 해준다.이 방법은 수신된 각 코드 워드의 신뢰도를 측정하고 신뢰도가 원하는 값 이하인 기호를 지우는 방법으로 달성된다.그리고 GMD 디코딩 알고리즘은 소프트 결정 디코더의 첫 번째 예 중 하나이다.우리는 GMD 디코딩 알고리즘의 세 가지 버전을 제시할 것이다.처음 두 가지는 무작위화된 알고리즘이고 마지막 하나는 결정론적 알고리즘이 될 것이다.

세우다

Hamming distance : Given two vectors $u,v\in \Sigma ^{n}$ the Hamming distance between $u$ and $v$ , denoted by $\Delta (u,v)$ , is defined to be the number of positions in which $u$ and ${\displaystyl$ $e v}$ 은(는) 다르다 $v$ .
최소 거리: $C\subseteq \Sigma ^{n}$ $C\subseteq \Sigma ^{n}$ ⊆ $C\subseteq \Sigma ^{n}$ ${\$ 를 코드로 한다 $C\subseteq \Sigma ^{n}$ . $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ $C$ $C$ 의 최소 거리는 d $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ = $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ , $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ ) ${\displaystyle d=\min \Delta(c_{1},c_{2}},$ $여기$ 서 $d=\min \Delta (c_{1},c_{2})$ c $c_{1}\neq c_{2}\in C$ ≠ $c_{1}\neq c_{2}\in C$ 2 $c_{1}\neq c_{2}\in C$ $C {\displaystyc_{1}\neq c_{2}$ 로 정의된다 $C$ $.$
코드 연결: $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ m $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ = $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ ( $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ , $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ , $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ K $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ ) $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ [ $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$ ${\$ 우리가 외호 코드와 내부 코드라고 부르는 두 개의 코드를 고려하십시오 $m=(m_{1},\cdots ,m_{K})\in [Q]^{K}$

C_{\text{out}}=[Q]^{K}\to [Q]^{N},\qquad C_{\text{in}}:[q]^{k}\to [q]^{n}}}}}

and their distances are

D

and

d

. A concatenated code can be achieved by

C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}(m)=(C_{\text{in}}(C_{\text{out}}(m)_{1}),\ldots ,C_{\text{in}

(C_{\text{out})(m)_{N}}

여기서

C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}(m)=(C_{\text{in}}(C_{\text{out}}(m)_{1}),\ldots ,C_{\text{in}}(C_{\text{out}}(m)_{N}))

C

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

)

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

(

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

C

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

)(m )

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

= ( C 아웃

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

)

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

…

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

,

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

( M

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

)

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

)

C_{\text{out}}(m)=((C_{\text{out}}(m)_{1},\ldots ,(m)_{N})).

.

{\displaysty C_{\text{out}}(m)=(C_{\text}}}},

(

m)_{N}).

}

Finally we will take

C_{\text{out}}

to be RS code, which has an errors and erasure decoder, and

K=O(\log N)

, which in turn implies that MLD on the inner code will be polynomial in

N

time.

최대우도 디코딩(MLD): MLD는 코드 수정을 위한 디코딩 방법으로, 수신 워드에 가장 가까운 코드 워드를 해밍 거리에서 출력한다. $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ : $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ → $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ ${\displaystyle D_{MLD}:\Sigma$ ^{ $n}\to C}$ 로 표시된 MLD 함수는 다음과 같이 정의된다 $D_{MLD}:\Sigma ^{n}\to C$ .모든 $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ n $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ , D $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ ( $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ ) $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ = $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ C $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ , $y\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y)$ ) ${\displaystyle$ y $\in \Sigma ^{n},D_{MLD}(y)=\arg \min _{c\in C}\Delta (c,y$
Probability density function : A probability distribution $\Pr$ on a sample space $S$ is a mapping from events of $S$ to real numbers such that $\Pr[A]\geq 0$ for any event $A,\Pr[S]=1$ , and $\Pr[A\cup B]=\Pr[A]+\Pr[B]$ ${\displaystyle \Pr[A\cup B]=$ $\Pr[A]+\Pr[B]}$ 이(가) 상호 배타적인 $이벤트$ A $A$ $B$ B $B$ 에 $\Pr[A\cup B]=\Pr[A]+\Pr[B]$ 대해 확인
기대값:이산형 랜덤 변수 $X$ $X$ 의 $X$ 예상 값은

\mathb {E}[X]=\sum _{x}\Pr[X=x].

랜덤화 알고리즘

수신 단어 $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ = ( y $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ … $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ , $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ) $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ∈ [ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ${\$ [ $q^{n}]^$ 시끄러운 채널에 의해 훼손된 ${\mathbf {y}}=(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ${N}.$ 다음은 일반 사례에 대한 알고리즘 설명이다.이 알고리즘에서는 모든 불량 위치에서 삭제를 선언하고 결과 벡터에서 $C_{\text{out}}$ $C_{\text{out}}$ $C_{\text{out}}$ ${\$ 에 대한 오류 및 삭제 디코딩 알고리즘을 실행하면 y를 디코딩할 수 있다.

랜덤화_Decoder
$\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ : y $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ = ( $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ 1, $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ … , $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ) $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ [ $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\dots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ${\$ $N}$ .

$1\leq i\leq N$ $1\leq i\leq N$ $1\leq i\leq N$ ≤ $1\leq i\leq N$ {\ $displaystyle 1\\leq$ i $\leq$ N $}$ 마다 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ ( $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ ) $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ {\ $displaystyle y_{i}=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i$ 에서 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ i $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ = $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ D $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ 를 계산하십시오.
$\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ = $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ ) , $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ i ) , $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ d $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ ) ${\displaystyle \omega _{i}=\min(\Delta(C_{{next{in}}},y_{i}),$ }{\ $tfrac$ {d $}{$ d $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}})$ 을 설정하십시오.
For every $1\leq i\leq N$ , repeat : With probability $2\omega _{i} \over d$ , set $y_{i}''\leftarrow ?,$ otherwise set $y_{i}''=y_{i}'$ .
$\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ = $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ ( $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ , $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ … , $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $){\$ $displaystyle C_{\text{out}}$ 에 대한 $C_{\text{out}}$ $C_{\text{out}}$ 및 삭제 알고리즘 실행 $.$ $displaystyle \mathbf {y}"""="(y_{1}",\ldots,y_{N}')}.$

정리 1.Let y be a received word such that there exists a codeword ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},\cdots ,c_{N})\in C_{\text{out}}\circ {C_{\text{in}}}\subseteq [q^{n}]^$ ${N}$ $\Delta (\mathbf {c} ,\mathbf {y} )<{\tfrac {Dd}{2}}$ , y $\Delta (\mathbf {c} ,\mathbf {y} )<{\tfrac {Dd}{2}}$ ) > $\Delta (\mathbf {c} ,\mathbf {y} )<{\tfrac {Dd}{2}}$ d $\Delta (\mathbf {c} ,\mathbf {y} )<{\tfrac {Dd}{2}}$ ${\$ (\ $mathbf {c},\mathbf {y})<{\tfrac {Dd}{2$ 그러면 $\mathbf {c} =(c_{1},\cdots ,c_{N})\in C_{\text{out}}\circ {C_{\text{in}}}\subseteq [q^{n}]^{N}$ 결정론적 GMD $\mathbf {c}$ 이 c ${\$ 을 출력한다 $\mathbf {c}$

연결 코드에 대한 순진한 디코딩 알고리즘은 최대 ${\tfrac {Dd}{4}}$ ${\tfrac {Dd}{4}}$ ${\tfrac {Dd}{4}}$ ${\$ 개의 오류를 ${\tfrac {Dd}{4}}$ 수정할 수 있다는 점에 유의하십시오.

보조정리 1.정리 1의 가정은 그대로 유지하도록 하라.And if

\mathbf {y} ''

has

e'

errors and

s'

erasures (when compared with

\mathbf {c}

) after Step 1, then

{\displaystyle \mathbb {E} [2e'+s']<D.

}

비고. $2e'+s'<D$ $2e'+s'<D$ e $2e'+s'<D$ + $2e'+s'<D$ < D ${\displaystyle 2e'+s><D$ 그러면 2단계의 알고리즘은 $\mathbf {c}$ ${\$ { $c}}$ 을 출력하게 된다 $\mathbf {c}$ 위의 보조정리에서는 예상대로라면, 정말 그렇다.이것은 Organization 1을 입증하기에 충분하지 않지만, 알고리즘의 미래 변형을 개발하는 데 결정적일 수 있다는 점에 유의한다.

보조정리증 1.매 $1\leq i\leq N,$ $1\leq i\leq N,$ $1\leq i\leq N,$ $1\leq i\leq N,$ ${\displaystyle 1\leq$ i $\leq N,}$ 에 대해 $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ = $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ i $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ )를 정의한다 $1\leq i\leq N,$ . ${\displaystyle e_{i}=\Delta(y_{i},c_{i}).$ $}$ 이는 다음을 $e_{i}=\Delta (y_{i},c_{i}).$ 함축한다.

\sum _{i=1}^{N}e_{i}<{\frac {Dd}{2}}\qquad \qquad(1)

1 $1\leq i\leq N$ i $1\leq i\leq N$ $1\leq i\leq N$ {\ $displaystyle 1\leq i\leq N}$ 마다 다음 두 개의 지시 변수를 정의한다 $1\leq i\leq N$

{\begin}X{_{i}^{?}}}}}=1&\왼쪽 화살표 y_{i}'=?\\X{_{i}^{e}=1&\왼쪽 오른쪽 화살표 C_{\text{in}}(y_{i}")\neq c_{i}\\\text{and}\{i}\i}\neq ?\ended}}}}}}}

우리는 우리가 매 $1\leq i\leq N$ ≤ $1\leq i\leq N$ $1\leq i\leq N$ N $(\displaystyle 1\leq$ i $\leq N}$ 에 대해 그것을 보여줄 수 있다면 우리는 끝이라고 주장한다 $1\leq i\leq N$

\mathb {E} \left[2X{_{i}^{e}+X{_{i}^{?}}}\오른쪽]\leqslant {2e_{i} \over d}\qquad \qquad (2)

분명히, 정의상으로는

e'=\sum _{i}X_{i}^{e}\quad {\text{and}}\qad s'=\sum _{i}^{i}}}.

더 나아가서, 기대의 선형성에 의해, 우리는 얻는다.

\mathb {E}[2e'+s']\leqslant {\frac {2}}\sum _{i}e_{i}<D}

(2)를 입증하기 위해 $i$ $i$ -th $i$ 블록이 올바르게 디코딩됨(사례 1) i $i$ -th 블록이 잘못 디코딩됨(사례 2):

사례 1: ${\displaystyle(c_{i}=C_{\text{in}})(y_{i}')}$

$y_{i}''=?$ $y_{i}''=?$ $y_{i}''=?$ = $y_{i}''=?$ ? ${\displaystyle y_{i}'=$ 인 경우? $}$ 다음 $y_{i}''=?$ $X_{i}^{e}=0$ $X_{i}^{e}=0$ = 0 ${\displaystyle X_{i}^{e}=0$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ [ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ = $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ ? $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ = $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ ${\$ $={\tfrac {2\omega _$ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ $i}}{d}}$ 은 $\Pr[y_{i}''=?]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ (는 $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ E $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ i $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ ? $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ ] $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ ? = 1 $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]=\Pr[X_{i}^{?}=1]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}},$ $,$ i}^}}}? $}}]=\Pr[X_{i}^{?$ $}}=1]={\tfrac {2\omega _{d},}$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ E $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ i $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=0$ ${\display$ style $\mathb {E}[X_{i}^{e}]==]=$ $\Pr[X_{i}^{e}=1]=0}$ .

게다가, 정의상 우리는

\omega _{i}=\min \left(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{\tfrac {d}{2}}\right)\leqslant \Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})=\Delta (c_{i},y_{i})=e_{i}

사례 2: ${\displaystyle(c_{i}\neq C_{\text{in}})(y_{i}')}$

이 경우 $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ ? $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ ${\$ $}}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}$ 및 $\mathbb {E} [X_{i}^{?}]={\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ [ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ = $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ - $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ $\mathbb {E} [X_{i}^{e}]=\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}.$ ${\displaystyle \mathb {E}[X_{i}^{e}]=]=$ $\Pr[X_{i}^{e}=1]=1-{\tfrac {2\omega_{i}}{d}}.$ $}$

$c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ C $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ ( $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ i $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ ) 이후 $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ + $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ $c_{i}\neq C_{\text{in}}(y_{i}'),e_{i}+\omega _{i}\geqslant d$ d ${\displaystyle c_{i}\neq C_{neq C_{$ in $}(y_{$ i}'), e_{ $i}+\omega$ _{i}\i $}\gqslant d$ 이는 $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ ( $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ = $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ ( $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ ) , y $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ ) $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ < $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ > $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ ) ${\displaystyle (\omega _{i}=\delta (C_{\text{in}}}'), y_{i}<\tfrac {d}{2$ }}}}}}}}}}이 $($ 으)일 $(\omega _{i}=\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i})<{\tfrac {d}{2}})$ 때 다른 사례 분석을 따른다.

마지막으로, 이것은 시사하는 바가 있다.

\mathb {E} [2X_{i}^{e}+X_{i}^{?}}]=2-{2\omega _{i} \over d}\leq {2e_{i} \overd}.

다음 절에서는 위 알고리즘의 결정론적 버전이 설계 거리의 절반까지 $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ ${\$ 에서 $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ 의 고유한 디코딩을 수행할 수 있음을 최종적으로 보여 줄 것이다.

수정된 랜덤화 알고리즘

3단계의 이전 버전의 GMD 알고리즘에서는 $각$ i ${\displaystyle$ i $}$ 에 대해 "신선한" 랜덤성을 사용할 필요가 없다는 점에 유의하십시오 $i$ 이제 $모든$ i $i$ 에 대해 동일한 랜덤성을 사용하는 다른 임의 버전의 GMD 알고리즘을 생각해 보십시오 $i$ 이 생각은 아래의 알고리즘을 따른다.

수정_랜덤화_데코더
$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ : y $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ = ( $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ 1, $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ … , $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ) $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ [ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ${\$ ${N$ 임의로 $\theta \in [0,1]$ $\theta \in [0,1]$ $\theta \in [0,1]$ $\theta \in [0,1]$ $\theta \in [0,1]$ 을(를) 선택하십시오.그런 다음 매 $1\leq i\leq N$ i $1\leq i\leq N$ N ${\displaystyle 1\leq$ i\ $leq$ N $}$ 에 대해 다음을 수행하십시오 $1\leq i\leq N$

$y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ = $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ M $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ 를 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ ( $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ ) ${\displaystyle y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ 에서 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ 하십시오 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$
$\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ i $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ = $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ ( $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ ) , $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ ) , $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ 2 ) $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ {\ $displaystyle \omega$ _ ${i}=\min(\Delta (C_{\text{in}})(Y_{i}')$ , $y_{i},{d \over$ 2 $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$
$\theta <{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ < $\theta <{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\theta <{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ $\theta <{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ ${\$ d $\theta <{\tfrac {2\omega _{i}}{d}}$ 을(를) $y_{i}''=y_{i}'$ 한 경우 y i $y_{i}''\leftarrow ?,$ ?, {\ $displaystyle$ $y_$ ${i}"\ftarrow$ ? $y_{i}''=y_{i}'$ $y_{i}''=y_{i}'$ $y_{i}''=y_{i}'$ = ${$ {\ $displaysty}=y_{$ i $y_{i}''=y_{i}'$
$\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ = $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ ( $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ , $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ … , $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ $){\$ $displaystyle C_{\text{out}}$ 에 대한 $C_{\text{out}}$ $C_{\text{out}}$ 및 삭제 알고리즘 실행 $.$ $displaystyle \mathbf {y}"""="(y_{1}",\ldots,y_{N}')}.$

Leemma 1의 증거를 위해 우리는 단지 무작위성을 사용하여

\Pr[y_{i}]=?"={2\omega _{i} \over d}.

이 버전의 GMD 알고리즘에서는

\Pr[y_{i}]=?"=\Pr \왼쪽[\theta \in \left[0,{\tfrac {2\omega _{d}}\right]={\tfrac {2\omega _{i}}}}.

위의 두 번째 평등은 $\theta$ $\theta$ 의 선택에서 따온 것이다 $\theta$ Lemema 1의 $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ 은 E $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ [ $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ + $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ ] $\mathbb {E} [2e'+s']<D$ < D ${\displaystyle \mathb {E}[2e'+s]$ 를 보여주는 데도 사용될 수 있다.GMD 버전2에 $대한$ D}. 다음 섹션에서는 현재의 무한 세트 $[0,1]$ [ $[0,1]$ , $[0,1]$ $[0,1]$ ${\$ displaystyle $[0,$ 1] {\ $displaystyle$ [0,1 $]}$ 과 $[0,1]$ 와) 반대로 다항식 세트에서 $\theta$ {\ $displaystystyle \teta$ }을(으)를 선택하여 GMD 알고리즘의 결정론적 버전을 얻는 방법을 살펴본다.

결정론 알고리즘

Let $Q=\{0,1\}\cup \{{2\omega _{1} \over d},\ldots ,{2\omega _{N} \over d}\}$ . Since for each $i,\omega _{i}=\min(\Delta (\mathbf {y_{i}'} ,\mathbf {y_{i}} ),{d \over 2})$ , we have

Q=\{0,1\}\cup \{q_{1},\ldots,q_{m}\}}

어디 q1<>⋯<>q m{\displaystyle q_{1}<, \cdots &lt하고 있다;일부 m거리에 q_{m}}≤ ⌊ d2⌋{\displaystylem\leq \left\lfloor{\frac{d}{2}}\right\rfloor}니다 그들이 모든 θ ∈[q나는, 나는 1+ q]{\displaystyle \theta \in[q_{나는},q_{i+1}]}, 1단계의 2번째 버전의 임의적인 알고리즘 출력.같은 $\mathbf {y} ''.$ $\mathbf {y} ''.$ . $\mathbf {y$ $\mathbf {y} ''.$ 따라서 $\theta \in Q$ Q $\theta \in Q$ 의 가능한 모든 값을 고려해야 한다 $\theta \in Q$ 이것은 아래에 결정론적 알고리즘을 제공한다.

결정론적_데코더
$\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ : y $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ = ( $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ 1, $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ … , $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ) $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ [ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ ${\$ $\theta \in Q$ $N}$ $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{N})\in [q^{n}]^{N}$ $\theta \in Q$ ${\displaystyle \theta \in$ Q $}$ 마다 다음을 반복하십시오 $\theta \in Q$

계산 y $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ = ( $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ y $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ ) $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ {\ $displaystyle y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ 에서 1 $1\leq i\leq N$ i $1\leq i\leq N$ display N {\\ $displaystystyle$ 1\leq i\ $leq i\$ leq $n}$ 에 대한 $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $y_{i}'=MLD_{C_{\text{in}}}(y_{i})$ $1\leq i\leq N$
Set $\omega _{i}=\min(\Delta (C_{\text{in}}(y_{i}'),y_{i}),{d \over 2})$ for every $1\leq i\leq N$ .
$\theta <{2\omega _{i} \over d}$ < $\theta <{2\omega _{i} \over d}$ $\theta <{2\omega _{i} \over d}$ $\theta <{2\omega _{i} \over d}$ ${\$ d $\theta <{2\omega _{i} \over d}$ $y_{i}''\leftarrow ?,$ i $y_{i}''\leftarrow ?,$ $y_{i}''\leftarrow ?,$ $?,$ {\ $displaystyle y_$ { $i$ $}"\ftarrow ?,$ $y_{i}''=y_{i}'$ $y_{i}''=y_{i}'$ = $y_{i}''=y_{i}'$ $y_{i}''=y_{i}'$ = $y_{i}''=y_{i}'$ {\ $displaysty_{i$
Run errors-and-erasures algorithm for $C_{\text{out}}$ on $\mathbf {y} ''=(y_{1}'',\ldots ,y_{N}'')$ . Let $c_{\theta }$ be the codeword in $C_{\text{out}}\circ C_{\text{in}}$ correspo알고리즘 출력에 추가(있는 경우).
4의 모든 c ${\$ 출력 $c_{\theta }$ $\mathbf {y}$ 에서 y ${\$ 에 가장 가까운 출력.

1~4의 모든 루프는 다항식으로 실행할 수 있으며, 위의 알고리즘도 다항식으로 계산할 수 있다.구체적으로, $<dD/2$ 의 통화는 $<dD/2$ < D $<dD/2$ / $<dD/2$ $<D/2$ 오류의 $<dD/2$ 오류와 삭제 디코더에 $O(d)$ $O(d)$ ) $O(d)$ 시간이 $O(d)$ 걸린다.마지막으로 위의 알고리즘의 $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ 은 O $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ Q $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ ( $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ ) + $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ $O(NQn^{O(1)}+NT_{\text{out}})$ out $){\displaystyle O(NQN^{O$ (1 $)+NT_{\text{out}}}}}}}$ 이며, $T_{\text{out}}$ 서 $O(NQn^{{O(1)}}+NT_{{\text{out}}})$ T ${\$ 은 외부 오류의 실행 시간이며 $T_{\text{out}}$ 디코더를 지운다.