모달 행렬

선형대수학에서 모달 행렬은 고유값과 고유벡터를 포함하는 대각화 과정에 사용된다.^[1]

$특히{\displaystyle }$ 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모달 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) A ${\displaystyle A}$의 고유 벡터를 M ${\displaystystyle$ M$}$의 열로서 형성된 n ×n 행렬로 유사성 변환에 활용된다$.$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

여기서 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은(는) $다른{\displaystyle }$ D ${\displaystyle D}$과(와) 0의 주 대각선에$$ A ${\displaystyle A}$의 고유값을 갖는 n × n 대각 행렬이다.$행렬{\displaystyle }$ $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ D$}$을(를) A ${\displaystyle A}$의 스펙트럼 행렬이라고 한다$$$.$고유값은 $해당{\displaystyle }$ 고유 벡터가 M ${\displaystyle M}$에서 왼쪽에서 오른쪽으로 배열된 것과 동일한 순서로 왼쪽에서 오른쪽, 위에서 아래로 나타나야 한다$.$^[2]

예

행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&#2&0\\2&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

고유값 및 해당 고유 벡터를 가지고 있음

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\mathbf {b} _{1}=\left3,6,1\오른쪽),}$

${\displaystyle \putda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\오른쪽),}$

${\displaystyle \putda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\오른쪽)}$

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과$($와) 유사한 대각 행렬 D ${\displaystyle D}$은(는)

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\\0&0&0\\0&4\end{pmatrix}.}$

$D{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D=M^{-1}$와 같은$$반전성$$ 매트릭스 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 대해 가능한 한 가지 선택은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1\end{pmatrix}.}$^[3]

고유 벡터 자체는 고유하지 않으며, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$의 열은 서로 교환될 수 있으므로$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 $D{\displaystyle }$ ${\displaysty$ D$}$이(가) 모두 고유하지 않다는$$ 점에 유의하십시오.^[4]

일반화 모달 행렬

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) n × n 행렬로 한다$$.${\displaystyle$ A$}$에 $대한$ 일반화된 $모달{\displaystyle }$ 행렬 M ${\displaystyle M}$은 n × n 행렬로, 벡터로 간주되는 열이 다음 규칙에 따라$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준적 기초를 형성하고$$ M ${\displaystystyle$ M$}$에 나타난다.

• 하나의 벡터(즉, 길이가 하나의 벡터)로 구성된 모든 조던 체인은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 첫 번째 열에 나타난다$.$
• $하나$의 체인의 모든 벡터는 M ${\displaystyle M}$의 인접 열에 함께 나타난다$.$
• 각 체인은 순위 상승 순서로$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 나타난다(즉, 1등급의 일반화된 고유 벡터는 같은 체인의 2등급 일반화된 고유벡터 앞에 나타나며, 3등급의 일반화된 고유벡터 앞에 나타난다).^[5]

는 것을 보여줄 수 있다.

$[\displaystyle AM=MJ,}$

(1)

여기서 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 요르단 정규 형태의 행렬이다.$M{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$에 의해 미리 설정함으로써, 우리는$$얻는다.

$(\displaystyle J=M^{-1}AM.}$

(2)

이러한 행렬을 계산할 때 행렬을 반전시킬 필요가 없기 때문에 방정식 (1)이 두 방정식 중 가장 쉽게 검증된다는 점에 유의하십시오.^[6]

예

이 예는 네 개의 요르단 체인을 가진 일반화된 모달 행렬을 보여준다.불행하게도, 낮은 질서의 흥미로운 예를 만드는 것은 조금 어렵다.^[7]행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

대수 다중성 ${\displaystyle {\mu 1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle {}_{}1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=$1}=$1}$을(를) 갖는 단일 고유값을 가지며, $대수{\displaystyle {}_{}}$ 다중성 ${\displaystyle \mathrm{\mu 1}}$= 7 {\$displaystyle \mu _{$1$}=$$7$}. A {\$displaystystyle A}$의 표준적인 기반은 3등급(일반화된 고유 벡터 순위; 일반화된 고유 벡터 참조)의 1개)으로 구성된다$$.2 and four of rank 1; or equivalently, one chain of three vectors ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$, one chain of two vectors ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$, and two chains of one벡터${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$

$요르단{\displaystyle }$ 정규 형태의 "대각선" 매트릭스 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는)$$A {\$displaystyle$ A$}$과(와) 유사하게 다음과 같이 얻는다$$.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf{z}_{1}&,\mathbf{w}_{1}&,\mathbf{)}_{1}&,\mathbf{)}_{2}&,\mathbf{)}_{3}&,\mathbf{y}_{1}&, \mathbf{y}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&, 1&, -1&, 0&, 0&, -2&, 1\\0&, 3&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0\\-1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 2&, 0\\-2&, 0&, -1&, 0&am.p/&0&, -2&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, -1&, 0&, -1&, 0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

A{A\displaystyle}의{A\displaystyle}은 어디서 M{M\displaystyle}은 일반화된 조동사 매트릭스, M{M\displaystyle}의 기둥 있는 정준기이고, A가 M)MJ.[8] 있다는 점이 일반화되어 값부터 자신들, 독특한 것은 아니다{AM=MJ\displaystyle} 몇몇은 둘 다의 지면 났어요.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$과(와) $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 상호 교환할 수 있으며$$, $따라서{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$M}과(와) J$${\$displaysty J$}이$$(가) 모두 고유하지 않다.^[9]

메모들

참조

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646