표준적 기준

수학에서 표준적 기초는 정확한 문맥에 따라 달라지는 의미에서 표준적인 대수적 구조의 기초가 된다.

• 좌표 공간에서, 그리고 보다 일반적으로 자유 모듈에서, 크론커 델타에 의해 정의된 표준 기준을 가리킨다.
• 다항식 링에서 단항식 (${\displaystyle }$X ${\displaystyle i^{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 의해 주어진 표준 기준을 가리킨다$.$
• 유한 확장 필드의 경우 다항식 기준을 의미한다.
• 선형대수학에서 집합이 완전히 요르단 체인으로 구성된 경우$,$ n×$n$ 행렬 $A$의 n 선형 독립 $일반화된$ 고유 벡터 집합을 가리킨다$.$^[1]
• 대표이론에서 루슈티그가 도입한 양자집단의 기초를 가리킨다.

표현 이론

타입 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ E$${\$displaystyle ADE}$의 정량화된 외피 대수의 수정 불가능한 표현과$$ 그 대수의 플러스 부분에 대한 표준적 근거는 두 가지 방법으로 Lusztig에 의해 도입되었다: 대수적 방법(브레이드 그룹 작용 및 PBW 베이스 사용)과 위상학적 방법(교차로 코호몰로지 사용).$매개변수{\displaystyle }$ q {\$displaystyle q}$ ~ $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle q=1$}을$($를) 전문화하면 이전에는 알 수 없었던 해당 단순 Lie 대수학의 취소할 수 없는 표현에 대한 표준적 근거를 얻는다$$$.$매개 변수$q{\displaystyle }$ {\$displaystyle q}$ ~${\displaystyle \mathrm{q<img\; alt="q"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.07ex;\; height:2.009ex;"\; papago-attr-id="37">}}$ = 0 ${\displaystyle q=0}$을(를) 특화하면 기본의 그림자 같은 것이 나온다$$.되돌릴 수 없는 표현의 경우에 대한 이 그림자(근거 자체는 아님)는 가시와라(Kashiwara)에 의해 독자적으로 검토되었다.^[3] 때로는 수정근거라고 불린다.표준기반의 정의는 가시와라(대수법에 의한)와 루스츠틱(위상학적 방법에 의한)에 의해 카크무디 설정까지 확장되었다.

이러한 근거에는 다음과 같은 일반적인 개념이 깔려 있다.

Consider the ring of integral Laurent polynomials ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} \left[v,v^{-1}\right]}$ with its two subrings ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} \left[v^{\pm 1}\right]}$ and the automorphism ${\displaystyle {\$$v$에${\displaystyle \stackrel{}{}}$의해 정의된${\displaystyle }$$overline {\cdot }}:=$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$

자유 $Z{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ -모듈$$ $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 있는 초기 구조물은 다음과 같이 구성된다$$.

• $표준$ 기준$($${\displaystyle t_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle$$(t_{i})_{i\in I},$
• $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$의$$${\displaystyle \mathrm{구간}}$ 유한 부분 순서, 즉${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, i ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle :=}${ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle j}$ $≤$ i} {\$displaystyle(-\fty ,i]):$$=\\{j\in I\mid j\leq$ i$\}}$은(는$)$ 모든 $i$에${\displaystyle }$대해 ${\displaystyle \mathrm{유한}}$함$.$
• 이원화 작업, 즉 순서 2의$$ $편향{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$→ F ${\displaystyle F\to$ F$}({\$로$,{\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle \stackrel{}{}}$and${\$displaystyle ${\cdot$ }로 표시되며 ilin$$$$$displaystystyle$ {\\\cdot $}).$

만약 사전론적 구조가 $주어진다면{\displaystyle }$,$$F {\$displaystyle$$${\$mathcal{Z}^{\$mathcal{\$pm$ $}}$의 Z ±${\displaystyle {}^{}}t{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$${}^{}:=$ $\sum$ ${\mathcal{}}^{}$± $j_{}$ ${\$pmatcal$}^{}}}{\pm}t_{j}}}}}}}}}$을 정의할 수 있다$.$

사전공학적 구조의 표준적 기반은 다음 사항을 만족하는 F ${\$$displaystyle {\mathcal{Z}}$ -basis$$ $({\displaystyle c_{}{}_{}}$) ${\displaystyle I_{}}$ ${\$ I$})$의 Z {\$displaystyf}:$

• ${\displaystyle \stackrel{}{c_{}}}$ "${\displaystyle \stackrel{}{i_{}}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${i}}$ 및
• ${\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}^{+}t_{j}{\c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}}}}$

모든 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$에 대해$.$

각 사전론적 구조에 대해 최대 하나의 표준적 기초가 존재한다는 것을 보여줄 수 있다.^[6]A sufficient condition for existence is that the polynomials ${\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}$ defined by ${\textstyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ satisfy ${\displaystyle r_{ii}=1}$ and ${\displaystyle r_$${ij}\neq$ 0$\buffer i\leq$ j$\}.$

A canonical basis induces an isomorphism from ${\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}}$ to ${\displaystyle F^{+}/vF^{+}}$.

헤케 알헤브라스

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle W}$, S${\displaystyle }$) ${\displaystyle (W,S)}$을(를) Coxeter 그룹으로 한다$$.The corresponding Iwahori-Hecke algebra ${\displaystyle H}$ has the standard basis ${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$, the group is partially ordered by the Bruhat order which is interval finite and has a dualization operation defined by ${\displaystyle {\overline {T_{$$w}}}:T_{w^{-1}^{-1$이것은 위의 충분한 조건을 만족하는$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$에 대한 사전 공학적 구조로, 해당 $표준{\displaystyle }$ 기반인 H ${\displaystyle H}$이(가) Kazhdan-Lusztig 기반이다.

${\displaystyle C_{w}=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$, ${\displaystyle w_{}}$ ${\$가 Kazhdan-Lusztig 다항식인 경우$$.

선형대수학

만약 우리에게 n × n $매트릭스{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$이(가) 주어지고$$$$A {\$displaystyle$ A$}$과($와{\displaystyle }$) 유사한$$J {\$displaystyle$ J$}$ $행렬$을 조던 보통 형태의 일반화된$$ 고유 벡터 집합에만 관심이 있다$.$요르단 정규 형태의 행렬은 "대각 행렬" 즉, 가능한 대각선에 가까운 행렬이다.대각 행렬 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle D}$은 요르단 정규 형태의 행렬의 특별한 경우다$$.일반 고유 벡터는 일반화된 고유 벡터의 특별한 경우다.

매 n × n 매트릭스 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에는 n개의 선형 독립 일반화된 고유 벡터가 있다$$.구별되는 고유값에 해당하는 일반화된 고유 벡터는 선형적으로 독립적이다.$\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 대수 다중성 $[\displaystyle \mu }$의 $A {\displaystyle$ $\lambda }$의 고유값인 경우$$, $A{\displaystyle }$${\displaystystyle$ \$mu$$\}$에 해당하는 $\mu {\displaystyle }$ ${\\\\\\\\\\$norm }의 선형적으로$$ 독립적인 일반화된 고유$$ 벡터가 있다$.$

주어진 n × n 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$에 대해$,$ n 선형적으로 독립적인 일반화된 고유 벡터를 선택하는 방법은 무한히 많다.만약 그것들이 특히 신중하게 선택된다면, 우리는 이 벡터를 사용하여 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}$이(가) 조던 보통 형태의 매트릭스와 유사하다는$$ 것을 보여줄 수 있다.특히.

정의:전체적으로 요르단 체인으로 구성된 경우 n개의 선형 독립형 일반화된 고유 벡터 세트가 표준적인 기반이다.

Thus, once we have determined that a generalized eigenvector of rank m is in a canonical basis, it follows that the m − 1 vectors ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ that are in the Jordan chain generated by ${\displaystyle \mathbf {x} _{$$m}}$ 또한 표준적인 기초에 있다$$.^[7]

연산

Let ${\displaystyle \lambda _{i}}$ be an eigenvalue of ${\displaystyle A}$ of algebraic multiplicity ${\displaystyle \mu _{i}}$. First, find the ranks (matrix ranks) of the matrices ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _$${i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i$The integer ${\displaystyle m_{i}}$ is determined to be the first integer for which ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ has rank ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (n being the number of rows or columns of ${\displaystyle A}$, that is, ${\displaystyle A}$ is n ×n).

이제 정의

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank}(A-\lambda _{I}I)^{k-1-\operatorname {rank}(A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

변수 ${\displaystyle {\rho k}_{}}$ ${\$는 고유값 ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ i ${\$에 해당하는 순위 k(일반화된 고유 벡터, 일반화된 고유 벡터 참조)의 선형 독립 고유 벡터의 수를 지정하며$$, 이 $값$은 ${\displaystystyle A}$의 표준 기준으로 표시된다$.$ 참고저것

${\displaystyle \operatorname {rank}(A-\lambda _{I}I)^{0}=\operatorname {rank}(I)=n).}$

표준적인 기초가 가지고 있는 각 등급의 일반화된 고유 벡터의 수를 결정하면 벡터를 명시적으로 얻을 수 있다(일반화된 고유 벡터 참조).^[8]

예

이 예는 두 개의 요르단 사슬을 가진 표준적인 기초를 보여준다.불행하게도, 낮은 질서의 흥미로운 예를 만드는 것은 조금 어렵다.^[9]행렬

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

has eigenvalues ${\displaystyle \lambda _{1}=4}$ and ${\displaystyle \lambda _{2}=5}$ with algebraic multiplicities ${\displaystyle \mu _{1}=4}$ and ${\displaystyle \mu _{2}=2}$, but geometric multiplicities ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ and ${\displaystyle {\gamma }_2=1}$${\displaystyle \property _${2$}=1$

${\displaystyle \mathrm{\lambda }}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 4,${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$의 경우 $n{\displaystyle }$ -${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 6}$- ${\displaystyle 4}$= ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle n-\mu _{1}=6-4=2,}$가 있다.

${\displaystyle (A}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle$ ($A-4I)}$은(는) 5위,

${\displaystyle (A}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}^{}}$) 2 ${\$}}위$$$,$

${\displaystyle (A}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle I{}^{}}$) ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) 3위,

${\displaystyle (A}$- 4 ${\displaystyle I{}^{}}$) ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$은(는) 2위를 가지고 있다$$.

따라서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 4${\displaystyle m_{1}=4.$$}$

${\displaystyle \rho_{4}=\operatorname {rank}(A-4I)^{3}-\operatorname {rank}(A-4I)^{4}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank}(A-4I)^{2}-\operatorname {rank}(A-4I)^{3}=4-3=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank}(A-4I)^{1}-\operatorname {rank}(A-4I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank}(A-4I)^{0}-\operatorname {rank}(A-4I)^{1}=6-5=1.}$

따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준 기반은 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$ 등급 각각 1개의$$ 일반화된 고유 벡터를 갖는다$$.

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$의 경우 $n{\displaystyle }$ -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 6}$- ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle n-\mu _{2}=6-2=4,}$가 있다.

${\displaystyle (A}$- ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle I}$) ${\displaystyle$ ($A-5I)}$은(는) 5위,

${\displaystyle (A}$- ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle I{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ($A-5I)^{2}}$위 4위$$.

따라서 $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= 2${\displaystyle m_{2}=2.$$}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank}(A-5I)^{1}-\operatorname {rank}(A-5I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank}(A-5I)^{0}-\operatorname {rank}(A-5I)^{1}=6-5=1.}$

따라서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준 기반은 ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$5 ,$${\$displaystyle \lambda _{2}=5,}$ 등급 각각 1개의$$ 일반화된 고유 벡터를 갖는다$$.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 표준 기반은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\\2\\1\\\0\end{pmatrix},{\\\pmatrix}-8\-\-4\-\-\1\\0\end{pmatrix}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ is the ordinary eigenvector associated with ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$ and ${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$ are generalized eigenvectors associated with ${\displaystyl$$e \lambda _{1$ y ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}는$$ $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ y ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$${y}$ $_{2$$}}.}$과 연관된 일반화된 고유 벡터다$.$

$A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$과(와$)$ 유사한 J ${\displaystyle J}$ $행렬$은 다음과$$ 같이 얻는다.

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf{)}_{1}&,\mathbf{)}_{2}&,\mathbf{)}_{3}&,\mathbf{)}_{4}&,\mathbf{y}_{1}&, \mathbf{y}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&, -27&, 25&, 0&, 3&, -8\\0&, -4&, -25&, 36&, 2&, -4\\0&, 0&, -2&, -12&, 1&, -1\\0&, 0&, 0&, -2&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&amp을 말한다.2&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, -1&, 0&, 0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

여기서 행렬 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{A<img\; alt="A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.743ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="311">}}$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle AM=$MJ$}$의 일반화된 모달 행렬이다$.$^[10]

참고 항목

• 표준형식
• 기준변경
• 정상기준
• 일반 형태(해체)
• 다항식 기준

메모들

참조

• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Deng, Bangming; Ju, Jie; Parshall, Brian; Wang, Jianpan (2008), Finite Dimensional Algebras and Quantum Groups, Mathematical surveys and monographs, vol. 150, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 9780821875315

• Kashiwara, Masaki (1990), "Crystalizing the q-analogue of universal enveloping algebras", Communications in Mathematical Physics, 133 (2): 249–260, Bibcode:1990CMaPh.133..249K, doi:10.1007/bf02097367, ISSN 0010-3616, MR 1090425, S2CID 121695684

• Kashiwara, Masaki (1991), "On crystal bases of the q-analogue of universal enveloping algebras", Duke Mathematical Journal, 63 (2): 465–516, doi:10.1215/S0012-7094-91-06321-0, ISSN 0012-7094, MR 1115118

• Lusztig, George (1990), "Canonical bases arising from quantized enveloping algebras", Journal of the American Mathematical Society, 3 (2): 447–498, doi:10.2307/1990961, ISSN 0894-0347, JSTOR 1990961, MR 1035415

• Lusztig, George (1991), "Quivers,perverse sheaves and quantized enveloping algebras", Journal of the American Mathematical Society, 4 (2): 365–421, doi:10.2307/2939279, ISSN 0894-0347, JSTOR 2939279, MR 1088333

• Lusztig, George (1993), Introduction to quantum groups, Boston, MA: Birkhauser Boston, ISBN 0-8176-3712-5, MR 1227098

• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646