균형다감마함수

수학에서 일반화된 다감마 함수 또는 균형잡힌 부정감마 함수는 올리비에 에스피노사 올드니와 빅토르 위고 몰이 도입한 함수다.^[1]

다감마 함수를 음수 및 분수 순서로 일반화하지만 정수 양의 순서에 대해서는 동일하게 유지된다.

정의

일반화된 다감마 함수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \psi (z,q)={\frac {\\zeta '(z+1,q)+{\bigl (}\psi(-z)+\bigr )}\zeta(z+1,q)}{\감마(-z)}}}}}}}}$

또는 대안으로,

${\displaystyle \psi(z,q)=e^{-\gamma z}{\frac {\partial z}}\좌측(e^{\partial z}){\fracta(z+1,q)}{\gamma(-z)}}오른쪽)}}$

여기서 ψ(z)는 폴리감마 함수, ζ(z,q)는 허위츠 제타 함수다.

함수는 조건을 만족한다는 점에서 균형이 잡혀 있다.

${\displaystyle \mathrm{f}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{f}}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle \text{및}}$ ${\displaystyle \int {}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle dx}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle f(0)=f$(1$)\cHB${\$text{and}\not \int_{0}^{$1}$f(x)\,dx=0$

관계

몇 가지 특수 함수는 일반화된 다감마 함수의 관점에서 표현될 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\psi())&,=\psi(0,x)\\\psi ^ᆵ())&, =\psi(n,x)\qquad{N}\\\Gamma())& \mathbb n\in, =\exp \left(\psi(-1,x)+{\tfrac{1}{2}}\ln 2\pi \right)\\\zeta(z,q)&, ={\frac{\Gamma)}{\ln 2}}\left(2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac{q+1}{2}}\right)+2^{-z}\psi \left(z-1,{\frac{q}{2}}\right)-\psi(z-1,q)\right)\\\zet.한 '(-1,x)&, =\psi(-2,x)+{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{12}}\\B_{n}(q)&=-{\frac {\Gamma (n+1)}{\ln 2}}\left(2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q+1}{2}}\right)+2^{n-1}\psi \left(-n,{\frac {q}{2}}\right)-\psi (-n,q)\right)\end{aligned}}}$

여기서 B_n(q)는 베르누이 다항식이다.

$[\displaystyle K(z)=]A\exp \left(\psi(-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}\오른쪽)}$

여기서 K(z)는 K-기능이고 A는 글래셔 상수다.

특수값

균형 잡힌 다감마 함수는 특정 지점(여기서 A는 글라이셔 상수, G는 카탈로니아 상수)에서 닫힌 형태로 표현할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\psi \left(-2,{\tfrac{1}{4}}\right)&, ={\tfrac{1}{8}}\ln 2\pi +{\tfrac{9}{8}}\ln A+{\frac{G}{4\pi}}&&\\\psi \left(-2,{\tfrac{1}{2}}\right)&, ={\tfrac{1}{4}}\pi +{\tfrac{3}{2}\ln}\ln A+{\tfrac{5}{24}}2& \ln,\\\psi \left(-3,{\tfrac{1}{2}}\right)&, ={\tfrac{1}{16}}\ln 2\pi +{\tfrac{1}{2}}\ln.A+{\frac{7\zeta)}{32\pi ^{2}}}\\\psi (-2,1)&={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi &\\\psi (-3,1)&={\tfrac {1}{4}}\ln 2\pi +\ln A\\\psi (-2,2)&=\ln 2\pi -1&\\\psi (-3,2)&=\ln 2\pi +2\ln A-{\tfrac {3}{4}}\\\end{aligned}}}$

참조