일반화 스펙트로그램

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시간축과 주파수축에 걸쳐 표시되는 신호(시간의 함수로 간주됨)를 보기 위해 시간-주파수 표현을 사용한다. 스펙트로그램은 대표적인 시간주파수 표현으로, '이윈도 스펙트로그램'으로도 불리는 일반화된 스펙트로그램이 일반화된 적용법이다.

정의

분광그램의 정의는 가보르 변환(짧은 STFT의 경우 단시간 푸리에 변환이라고도 함)에 의존한다. 이 변환의 아이디어는 창 기능 $w{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle w(t$의 번역을 곱하여 시간 내에 f를 국소화하는 것이다.

스펙트로그램의 정의는

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)= {G_{x,w}}(t,f) ^{2}}$,

여기서 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$, ${\displaystyle {w{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\$}:{1$}}}$은(는) x${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ $){\displaystyle$ x$(t)}$의 Gabor Transform을 나타낸다$$$.$

스펙트로그램에 기초하여 일반화된 스펙트로그램은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$,

여기서:

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}t}$ )${\displaystyle }$=${\displaystyle }$w (${\displaystyle }$t ) = ${\displaystyle w}$( ${\displaystyle t}$) {\$displaystyle w_${1$}(t)=w_{$2}(t)=w$(t)}$의 경우$,$ 고전적인 스펙트로그램으로 감소한다.

${\displaystyle S{P_{x,w}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}^{*}(t,f)={G_{x,w}(t,f) ^{2}}:$

일반화 분광그램의 특징은 w ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ w_${1}($${\displaystyle t}$$)}$과 w 2 (${\displaystyle }$t ) ${\displaystyle w_{2}(t)}$의 창 크기가$$ 다르다는 것이다. 시간주파수 분해능은 창 크기에 영향을 받기 ${\displaystyle {때문}_{}}$에 w 1${\displaystyle ({}_{}t}$ )$${\$displaystyle$$w_{$$1$}(t$)}$ 넓은 w$$ 1$t$)과 $좁은$ w $(t)$을 선택하면 스펙트로그램의 다른 부분에서 분해능이 높아진다.$$ 이 두 가지 가보르 변환의 곱셈 후에, 시간과 주파수 축의 분해능이 모두 향상될 것이다.

특성.

위그너 분포와의 관계

${\displaystyle {\mathcal{SP}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1},w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

여기서 w ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( s${\displaystyle }$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$, w ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( s${\displaystyle }$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$- s${\displaystyle }$) ${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s), w_{2}'s:=w_{2}(-s)}$

시간 한계 조건

일반화된 분광그램 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{P}}_{}}$ ${\displaystyle w_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$( ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f}$) (${\displaystyle x}$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle {SP}_{w$}_${1},w_{2}}(t,f)(x,w})$$이{\displaystyle {}_{}}$ 시간 한계 조건을 만족하는$$ 경우에만 w ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{\Delta \mathrm{}}}$= ${\displaystyle \Delta }$ = ${\displaystyle w_{1}w_{2}'=delta$

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 Dirac 델타 함수를 나타낸다.

주파수 한계 조건

${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ 분광그램 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {{P\mathrm{}}_{}}_{}}$ ${\displaystyle w_{{}_{}}}$ 1,${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}^{}}$( t${\displaystyle }$,${\displaystyle f}$ ) (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$,${\displaystyle w}$ ) ${\displaystyle {SP}_{w}_{1},w_{2}}(t,f)(x,w})$이(${\displaystyle {가\mathrm{}}_{}^{}}$) Δ = ${\displaystyle \Delta }$= ${\displaysty w_{1}w_{2}'=delta$인 경우에만 주파수 한계 조건을 만족한다$$.

여기서 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$은 Dirac 델타 함수를 나타낸다.

에너지의 보존

일반화된 분광그램 $S{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{P}}_{}}$ ${\displaystyle w_{{}_{}}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$, ${\displaystyle {{w\mathrm{}}_{}}_{}}$2 (${\displaystyle t}$ ,${\displaystyle f}$) (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$ )$${\$displaystyle {SP}_{w}_{1$},$w_{2}}($${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}{}_{}}$$f)($$x,w$$)}$이$($$가)$ 1${\displaystyle }$=$$인 경우에만 에너지$$ 보존을 $만족한다.$

리얼리티 분석

The generalized spectrogram ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$ is real if and only if ${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$ for some ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$.

참조