시스템의 역학을 결정하는 미분 방정식을 생성하는 부분파생물의 함수
이 기사는 물리학의 기능 생성에 관한 것이다. 수학에서 함수를 생성하려면 함수 생성 을 참조하십시오. 물리학에서, 그리고 좀 더 구체적으로 해밀턴 역학 에서, 발생 함수는 느슨하게 시스템 의 역학을 결정하는 미분 방정식을 생성하는 함수다. 일반적인 예로는 통계 역학인 해밀턴의 파티션 함수, 그리고 표준 변환 을 수행할 때 두 가지 표준 변수 집합 사이의 가교 역할을 하는 함수 등이 있다.
표준 변환에서 다음 표에 요약된 4가지 기본 생성 기능이 있다.[1]
생성함수 그것의 파생상품 F = F 1 ( q , Q , t ) {\displaystyle F=F_{1}(Q,Q,t)\,\!} p ∂ F 1 ∂ q {\ displaystyle p =~{\frac {\partial f_{1}{\ partial }\,\}, f 1 q {\ displaystystyle =-{\partial F_{1 ,\},\} F = F 2 ( q , P , t ) = F 1 + Q P {\displaystyle F=F_{2}(q,P,t)=F_{1}+QP\,\!} p ∂ 2 ∂ q {\ displaystyle =~{\frac {\partial f_{2}}:{\partial q}\,\}, f F P {\ displaystyle Q=~{\partial F_{2}}:{\p },\!} F = F 3 ( p , Q , t ) = F 1 − q p {\displaystyle F=F_{3}(p,Q,t)=F_{1}-qp\,\!} q ∂ 3 ∂ p {\ displaystyle q frac {\partial f_{3}}{\partial }\\!} 및 f F q {\ displaystystyle P=-{\frac {\partial F_}},\!} F = F 4 ( p , P , t ) = F 1 − q p + Q P {\displaystyle F=F_{4}(p,P,t)=F_{1}-qp+QP\,\!} q ∂ F 4 ∂ p {\ displaystyle q=-{\frac {\partial f_{4}{\4 }\!} Q ∂ F 4 ∂ P {\ displaystystyle =~{\partial F_{ },\!}
예 때로는 주어진 해밀턴인이 조화 발진기 해밀턴과 닮은 것으로 변질될 수 있는데, 그 발진기 해밀턴은 그 발진기 해밀턴이다.
H = a P 2 + b Q 2 . {\displaystyle H=aP^{2}+bQ^{2}. } 예를 들어, 해밀턴과 함께
H = 1 2 q 2 + p 2 q 4 2 , {\displaystyle H={\frac {1}{2q^{2}}+{\frac {p^{2}q^{4}}}}}} 여기서 p 는 일반화된 모멘텀이고 q 는 일반화된 좌표로서, 선택할 수 있는 좋은 표준적 변환은 다음과 같다.
P = p q 2 그리고 Q = − 1 q . {\displaystyle P=pq^{2}{\text{} 및 }Q={\frac {-1}{q}}.\,} (1 )
이것은 해밀턴인을 로 바꾼다.
H = Q 2 2 + P 2 2 , {\displaystyle H={\frac {Q^{2}}+{\p^{2}},} 조화 발진기 해밀턴의 형태야
이 변환을 위한 생성함수 F는 세 번째 종류의 것이다.
F = F 3 ( p , Q ) . {\displaystyle F=F_{3}(p,Q). } F 를 명시적으로 찾으려면 위 표의 파생 모델에 대한 방정식을 사용하십시오.
P = − ∂ F 3 ∂ Q , {\displaystyle P=-{\frac {\partial F_{3}{\partial Q},} 그리고 등식 Q 로 표현한다.
p Q 2 = − ∂ F 3 ∂ Q {\displaystyle {\frac {p}{Q^{2}}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}}} 이 를 Q에 대해 통합하면 (1)에 의해 주어진 변환의 생성함수에 대한 방정식이 된다.
F 3 ( p , Q ) = p Q {\displaystyle F_{3}(p,Q)={\frac {p}{Q}}}
이 기능이 올바른 생성 기능인지 확인하려면 (1)과 일치하는지 확인하십시오.
q = − ∂ F 3 ∂ p = − 1 Q {\displaystyle q=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}={\frac {-1}{Q}}}} 참고 항목 참조 ^ Goldstein, Herbert; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. p. 373. ISBN 978-0-201-65702-9
추가 읽기 Goldstein, Herbert; Poole, C. P.; Safko, J. L. (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9 
