기하학적 세트 커버 문제

기하학적 세트 커버 문제는 기하학적 설정에서 세트 커버 문제의 특별한 경우다.The input is a range space ${\displaystyle \Sigma =(X,{\mathcal {R}})}$ where ${\displaystyle X}$ is a universe of points in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is a family of subsets of ${\displaystyle X}$ called ranges, defined by the intersec$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 tion과 디스크 및 축 평행 직사각형 같은 기하학적 형상.목표는 우주 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $모든 포인트가 C$ {\displaystyle {\mathcal {\$mathcal {C}$의 특정 범위에 포함되도록$$ 범위의$$ 최소 크기 부분 집합 ${\displaystyle C\mathcal{}}$${\$을(를) 선택하는 것이다$.$

동일한 범위 공간 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \backslash }$$Sigma$}을$($를) 고려할 때, 기하학적 타격 세트 $문제$로, $여기$서 목표는 R ${\$의 모든 범위가 $H{\displaystyle }$ {$sty$}과$($와) 비어 있지 않은 교차점을 선택하는$$ 것이다$.$$Le H$ 즉 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) 맞았다$.$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실선에 포인트를 포함하고$$ $R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 간격으로 정의되는$$ 1차원 사례에서는 기하학적 세트 커버와 타격 세트 문제를 모두 단순 탐욕 알고리즘을 사용하여 다항 시간 내에 해결할 수 있다.그러나 더 높은 차원에서는 R ${\$이(가) 단위 디스크나 단위 사각형으로 유도될$$ 때, 단순한 형상에도 NP-완전하다고 알려져 있다.^[1]이산 유닛 디스크 커버 문제는 일반 세트 커버 문제의 기하학적 버전인 NP-hard이다.^[2]

이러한 문제들에 대해 많은 근사 알고리즘이 고안되었다.기하학적 특성 때문에 이러한 문제에 대한 근사비는 일반적인 세트 커버/히팅 세트 문제보다 훨씬 나을 수 있다.더욱이, 이러한 근사 해법은 거의 선형에 가까운 시간에 계산될 수도 있다.^[3]

근사 알고리즘

일반 세트 커버 문제에 대한 탐욕스러운 알고리즘은 $O{\displaystyle (\log }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle$ O$(\log$ n$)}$ 근사치를$$ 제공하며$,$ 여기서 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle max}${${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle n=\max\{X,${\$mathcal}\}}}}.$ 이 근사치는 상수 인자에 고정된 것으로 알려져 있다.^[4]그러나 기하학적 설정에서는 더 나은 근사치를 얻을 수 있다.Brönnimann과 Goodrich[6]algorithm,[5]승법 무게 사용하면 O자의 끊임 없는 VC-dimension과{\displaystyle \Sigma}Σ 범위 공간을{O(\log{\mathsf{오피티}})\displaystyle}-approximate 세트 cover/hitting 세트(로그 ⁡ OPT)이 OPT≤ n{\displaystyle{\ma 다항 시간에 계산할 수 있는 것으로 나타났다.thsf${OPT}\leq n}$은(는) 최적 솔루션의 크기를 나타낸다$$.The approximation ratio can be further improved to ${\displaystyle O(\log \log {\mathsf {OPT}})}$ or ${\displaystyle O(1)}$ when ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ is induced by axis-parallel rectangles or disks in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, respectively.

근선 시간 알고리즘

아가왈과 판은^[3] 클락슨과^[7] 브뢰니만과 굿리치의 반복-재가중 기법에 기초하여${\displaystyle }O{\displaystyle }$ (${\displaystyle \text{n}\mathrm{}}$ p ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$ l ${\displaystyle \mathrm{o}}$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ o o o o o o o o o o o o${\displaystyle }$o ($){\displaystystystyle O(n$~\$mathrmet})(n)})})})$ 시간에서$$ 기하학적 범위 공간의 대략적인 세트 커버/히팅 세트를 계산하는 알고리즘을 부여했다.^[6]For example, their algorithms computes an ${\displaystyle O(\log \log {\mathsf {OPT}})}$-approximate hitting set in ${\displaystyle O(n\log ^{3}n\log \log \log {\mathsf {OPT}})}$ time for range spaces induced by 2D axis-parallel rectangles; and it computes an${\displaystyle O}$( ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle$ O$(1)}$ - 2D 디스크에 의해 유도된 범위 공간에 대해 $O{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ $){\displaystyle O(n\log ^{4}n)$ 시간$$ 단위로 대략적인$$ 세트 커버.

참고 항목

• 커버 문제 설정
• 꼭지점 커버
• Lebegue 커버 치수
• 카라테오도리의 확장 정리

참조