그라데이션 유사 벡터장

수학 분야인 미분 위상, 그리고 보다 구체적으로 모스 이론에서 구배와 같은 벡터 장은 구배 벡터 장의 일반화다.

주요 동기는 Morse 함수의 구성에서 기술적 도구로서 중요한 지점이 구별되는 수준에 있는 함수를 구성할 수 있다는 것을 보여준다.먼저 Morse 함수를 구성한 다음, 구배와 같은 벡터 필드를 사용하여 임계점 주위를 이동하여 다른 Morse 함수를 산출한다.

정의

다지관 M에 Morse 함수 f가 주어진 경우, 함수 f에 대한 구배와 같은 벡터 필드 X는 비공식적으로 다음과 같다.

• 임계점에서 벗어나, X는 f의 그라데이션과 "같은 방향"을 가리킨다.
• 임계점 부근(임계점 부근)은 F의 구배와 같으며, F가 Morse lemmas에 주어진 표준 형태로 작성된다.

공식:^[1]

• 에서 , f> 0 ${\displaystyle$ X$\cdot f>0,}$
• 모든 중요한 지점 주위에는 모스 레마에서와 같이 f가 주어지는 이웃이 있다.

${\displaystyle f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\cdots{}^{2}+x_{\cdots +1}^{n}^{2}}$

그리고 X는 f의 구배와 같다.

동력학계

구배와 같은 벡터장, 즉 구배와 같은 역학계통의 연관 역학계통은 모스-스마일계통의 특수한 경우다.

참조