구루스와미-수단 리스트 디코딩 알고리즘

이 글에는 여러 가지 문제가 있다.이 문제를 개선하거나 대화 페이지에서 토의하십시오.(이러한 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기) 이 글은 검증을 위해 인용구가 추가로 필요하다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다. 출처 찾기: "구루스와미-수단 리스트 디코딩 알고리즘" – 뉴스 · 신문 · 책 · 학자 · JSTOR (2012년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습) 이 글은 특정 청중에게만 관심을 가질 수 있는 과도한 양의 복잡한 세부사항을 포함할 수 있다. 관련 정보를 줄이거나 재배치하고, 위키백과의 포함 정책에 위배될 수 있는 과도한 세부 정보를 제거하여 도움을 주십시요. (2013년 8월) (이 템플리트 메시지를 제거하는 방법과 시기 학습) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 알아보기)

코딩 이론에서 목록 디코딩은 많은 오류가 존재하는 상황에서 오류 수정 코드의 고유한 디코딩에 대한 대안이다.코드의 상대 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$이$($가) 있는 경우, 코드워드 기호의 최대 $\Delta {\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \delta /2}$부분이$$ 손상되었을 때 인코딩된 메시지를 복구하는 것이 원칙적으로 가능하다.그러나 오류율이 $\Delta {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \delta /2}$보다 크면 일반적으로$$이 작업은 가능하지 않다.리스트 디코딩은 디코더가 인코딩되었을 수 있는 메시지의 짧은 목록을 출력할 수 있게 함으로써 그 문제를 해결한다.목록 디코딩은 $\Delta {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \delta /2}$개$$ 이상의 오류를 수정할 수 있다.

목록 디코딩에는 많은 다항식 시간 알고리즘이 있다.이 기사에서는 먼저 최대 $1{\displaystyle \mathrm{}}$- ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{R}}$ ${\$개의 오류를$$ 수정하고 Madhu 수단에서 발생한 Red-Solomon(RS) 코드에 대한 알고리즘을 제시한다.이어서 최대 ${\displaystyle 1\sqrt{}}$- R ${\$개의 오류를$$ 수정할 수 있는 향상된 구루스와미-수단 리스트 디코딩 알고리즘을 설명한다.

다음은 다른 알고리즘에 대한$$ 속도 R 및 거리 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$의 플롯이다.

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/81/Graph.jpg

알고리즘 1 (Sudan의 리스트 디코딩 알고리즘)

문제명세서

${\displaystyle \mathrm{입력<img\; alt="\{(x\_\{i\},y\_\{i\})\_\{i=1\}^n\}\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4b25456491e8861ca254ae5d50580587e25d8788"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:9.812ex;\; height:3.009ex;"\; papago-attr-id="65">}}$ : $F{\displaystyle }$ ×$$F {\$displaystyle$$$F$}$ 필드 $F{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $F$$};$ ${\displaystyle {}_{}}$의 고유한 ${\displaystyle {요소}_{}^{}}$ 쌍$({\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle y_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle }$i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle {(x_$${i},$$y_$${i})_{i=1}^{n$$\}\}\}\}\},$ 정수$$ $d{\displaystyle }$$.$

출력: $모든{\displaystyle }$ 함수 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle F}$→ F ${\displaystyle f:$$F\to F}$만족$$

${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f(x)}$은(는) 최대 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$도 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 다항식이다.

${\displaystyle \#\{i f(x_{i})=y_{i}\}\geq t}$

(1)

수단의 알고리즘을 더 잘 이해하기 위해, 먼저 RS 코드를 해독하기 위한 알고리즘의 초기 버전 또는 기본 버전으로 간주될 수 있는 다른 알고리즘을 알고 싶을 수 있다.웰치 알고리즘.Welch와 Berlekamp는 $처음$에 t ${\dapplaystyle t}$에 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$(${\displaystyle \mathrm{n}}$+ ${\displaystyle d}$+ 1 ${\displaystyle )}$/ 2 $[\dapplaystytle$ t$\geq (n+d+1)/2}$의 최적 임계값으로 다항 시간 내에 문제를 해결할 수 있는 알고리즘을 가지고 왔다$.$ 수단 알고리즘의 메커니즘은 Berlekamp–의 알고리즘과 거의 같다.Welch 알고리즘, 1단계를 제외하고 경계$({\displaystyle 1}$, ${\displaystyle k}$ $){\displaystyle(1,k)}$도의$$ 이바리테이트 다항식을 계산하고자 한다.Berlekamp와 Welch 알고리즘을 개선한 수단의 Reed-Solomon 코드 리스트 디코딩 알고리즘은 $t{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2n}}}$ $){\displaystyle t=({\sqrt{2nd})}$로 문제를 해결할 수 있다$.$이$$ 바운드는 < ${\$$displaystyle 1-\left({\frac {R}{2}}\right)}$에 대한 고유한 디코딩 바운드${\displaystyle }$1${\displaystyle }$-${\displaystyle }$($)$ {\$displaystyle R<0.07}$보다 낫다

알고리즘.

정의 1(가중도)

For weights ${\displaystyle w_{x},w_{y}\in \mathbb {Z} ^{+}}$, the ${\displaystyle (w_{x},w_{y})}$ – weighted degree of monomial ${\displaystyle q_{ij}x^{i}y^{j}}$ is ${\displaystyle iw_{x}+jw_{y}}$.The ${\displaystyle (w_{x},w_{y})}$ – weighted degree of a polynomial ${\displaystyle Q(x,y)=\sum _{ij}q_{ij}x^{i}y^{j}}$ is the maximum, over the monomials with non-zero coefficients, of the ${\displaystyle (w_{x},w_{y})}$ – weighted de단색의 그리

예를 들어 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$${\displaystyle }$(${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 3}$)${\displaystyle ($1$,3)}$ -도$$ 7이 있음$$

알고리즘:

입력: $n{\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$, t ${\displaystyle$n,$d,t}$; {${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$1 ) ${\displaystyle \cdots }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle y_{}}$)$${\$displaystyle (x_{1},y_{1})\cdots (x_{n},y_{n}}}}}$ $/*$ 매개변수 l,m은 나중에 설정할 것.*/

1단계: 0이 아닌 이바리테이트 다항식 $Q{\displaystyle }$ 찾기${\displaystyle :}$ F 2${\displaystyle {}^{}2}$ F ${\displaystyle Q:$$F^{2}\mapsto F}$ 만족$$

• ${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q$${\displaystyle (}$$x,y)}$은$($는${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{최대}}$D = ${\displaystyle m}$ + l ${\d$ $디스플레이 스타일$$D=m+$ld$}$의 가중치를 가진다$.$
• 모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle i\in [n]}$에 대해$,$

${\displaystyle Q(x_{i},y_{i}=0}$

(2)

2단계. 요인 Q를 수정할 수 없는 요인에 넣으십시오.

단계 3. $모든{\displaystyle }$다항식 $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle f$$}$을$($ - f (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)$displaystyle(y-f(x)})$이(${\displaystyle {}_{}}$$)$ Q와 f${\displaystyle (}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= y ${\$ $f(x_{i}=$$y_{i}}}}}}}}}}}})$의 t 값 이상이 되도록$$ 출력한다.

분석

위의 알고리즘이 다항식 시간에 실행되어 정확한 결과를 출력한다는 것을 증명해야 한다.그것은 일련의 주장들을 증명함으로써 이루어질 수 있다.

클레임 1:

$함수{\displaystyle }$Q : ${\displaystyle {F\mathrm{}}^{}}$2 → ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle$ Q$:$$F^{2}\to F}$ 만족$$ (2)가 존재하면 다항식 시간에 찾을 수 있다.

증명:

Note that a bivariate polynomial ${\displaystyle Q(x,y)}$ of ${\displaystyle (1,d)}$-weighted degree at most ${\displaystyle D}$ can be uniquely written as ${\displaystyle Q(x,y)=\sum _{j=0}^{l}\sum _{k=0}^{m+(l-j)d}q$$_{kj}x^{k}y^{j$Then one has to find the coefficients ${\displaystyle q_{kj}}$ satisfying the constraints ${\displaystyle \sum _{j=0}^{l}\sum _{k=0}^{m+(l-j)d}q_{kj}x_{i}^{k}y_{i}^{j}=0}$, for every ${\displaystyle i\in [n]}$. This is a linear알 수 없는 {${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 방정식 집합.$$다항식 시간에 가우스 제거를 사용하여 해결책을 찾을 수 있다.

클레임 2:

+ 1)( l+ )+ (+ )> n ${\displaystyle (m+1)(l+1$)+$d{\begin{pmatrix}l+1\\\2\end{pmatrix}}>n}$이(가) 충족되는$$ $기능{\displaystyle }$Q$x, y)$가 있을 경우 (2)가 있다.

증명:

0이 아닌 솔루션이 존재하도록 하려면 $Q{\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x,y)}$의 계수 수가 제약 조건 수보다 커야$$ 한다.Assume that the maximum degree ${\displaystyle deg_{x}(Q)}$ of ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle Q(x,y)}$ is m and the maximum degree ${\displaystyle deg_{y}(Q)}$ of ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Q(x,y)}$ is ${\displaystyle l}$. 그러면 $Q{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Q(x,y)}$의 정도가 $최대{\displaystyle }$ m${\displaystyle }$+ l ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m+ld}$이$($가) 될 것이다$$.사람들은 선형 시스템이 동질적이라는 것을 알아야 한다.${\displaystyle {qj}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q_{jk}=0}$ 설정은 모든$$ 선형 제약 조건을 만족한다.그러나 용액은 똑같이 0일 수 있으므로 (2)를 만족시키지 못한다.는 0이 아니면 해결할 수 있도록 하기 위해 이 값은 싫, 사람들은 알려지지 않은 사람들의 선형 시스템에서 숫자(는 a=l+1)+d(는 a=l+12)을(m+1)도록 하기;n{\displaystyle(m+1)(l+1)+d{\begin{pmatrix}l+1\\2\end{pmatrix}}>n},아도가 비 0Q(), y){Q(x, y)\displaystyle}을 가질 수 있고 있다.atern보다 제약 조건보다 변수가 더 많으므로 0이 아닌 해결책이 존재한다.

클레임 3:

If ${\displaystyle Q(x,y)}$ is a function satisfying (2) and ${\displaystyle f(x)}$ is function satisfying (1) and ${\displaystyle t>m+ld}$, then ${\displaystyle (y-f(x))}$ divides ${\displaystyle Q(x,y)}$

증명:

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x)=Q(x,f(x)}$을(를) 고려하십시오$.$$이것$은 x ${\displaystyle x}$의 다항식이며$,$ 최대 $m{\displaystyle }$+ l ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle m+ld}$의 학위를 가지고 있다고 주장한다$.$Consider any monomial ${\displaystyle q_{jk}x^{k}y^{j}}$ of ${\displaystyle Q(x)}$. Since ${\displaystyle Q}$ has ${\displaystyle (1,d)}$-weighted degree at most ${\displaystyle m+ld}$, one can say that ${\displaystyle k+jd\leq m+ld}$.따라서 $q{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{}}$( x${\displaystyle {}^{}}$) j ${\$는 대부분의$$$$${\displaystyle }$ k +${\displaystyle }$j ${\displaystyle d}$$display$ m + l d {\$displaystyle k+jd\leq m+ld}$ ${\displaystyle 도}$에서 x ${\$displaystystysty x$}$의 다항식이다$.$따라서 $p{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle p(x)}$은(는) 최대 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle l}$ d ${\displaystyle m+ld}$의 학위를 가진다$$.

${\displaystyle \mathrm{다음}}$은 $p{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x)}$이(가) 똑같이 0이라고$$ 주장한다.Since ${\displaystyle Q(x_{i},f(x_{i}))}$ is zero whenever ${\displaystyle y_{i}=f(x_{i})}$, one can say that ${\displaystyle p(x_{i})}$ is zero for strictly greater than ${\displaystyle m+ld}$ points.$따라서{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 도보다 0이 많으므로 동일한 0으로 Q(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle Q(x,f(x)\equiv$ 0$}$을(를) 의미한다.

m{m\displaystyle}과 나는{나는\displaystyle}를 위해 최적의 값을 찾는 것이 m+나는 d<>t{\displaystyle m+ld&lt는}과(m+1)(는 a=l+1)+d(는 a=l+12)>n{\displaystyle(m+1)(l+1)+d{\begin{pmatrix}l+1\\2\end{pmatrix}}>n} 주어진 값 나는{나는\displaystyle}, 한 계산할 수 있습니다. 가장 작은${\displaystyle m}$ for which the second condition holds By interchanging the second condition one can get ${\displaystyle m}$ to be at most ${\displaystyle (n+1-d{\begin{pmatrix}l+1\\2\end{pmatrix}})/2-1}$ Substituting this value into first condition one can get ${\dis$$playstyle t}$ to be at least ${\displaystyle {\frac {n+1}{l+1}}+{\frac {dl}{2}}}$ Next minimize the above equation of unknown parameter ${\displaystyle l}$. One can do that by taking derivative of the equation and equating that to zero By doing that one will get, ${$$\displaystyle l={\sqrt {\frac {2(n+1)}{d}}}-1}$ Substituting back the ${\displaystyle l}$ value into ${\displaystyle m}$ and ${\displaystyle t}$ one will get ${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {(n+1)d}{2}}}-{\sqrt {\frac {(n+1)d}{2}}}+{\frac$${d}{2}}-1={\frac {d}{2}}-1}$ ${\displaystyle t>{\sqrt {\frac {2(n+1)d^{2}}{d}}}-{\frac {d}{2}}-1}$ ${\displaystyle t>{\sqrt {2(n+1)d}}-{\frac {d}{2}}-1}$

알고리즘 2(구루스와미-수단 리스트 디코딩 알고리즘)

정의

Consider a ${\displaystyle (n,k)}$ Reed–Solomon code over the finite field ${\displaystyle \mathbb {F} =GF(q)}$ with evaluation set ${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$ and a positive integer ${\displaystyle r}$, the Guruswami-Sudan List Decoder accepts a vector ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ as input, and outputs a list of polynomials of degree ${\displaystyle \leq k}$ which are in 1 to 1 correspondence wi암호문들

그 아이디어는 뿌리의 수와 함께 제약조건의 증가를 초래하는$$ 2변수 다항식 $Q{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Q(x,y)}$에 더 많은 제한을 추가하는 것이다.

다중성

A bi-variate polynomial ${\displaystyle Q(x,y)}$ has a zero of multiplicity ${\displaystyle r}$ at ${\displaystyle (0,0)}$ means that ${\displaystyle Q(x,y)}$ has no term of degree ${\displaystyle \leq r}$, where the x-degree of ${\displaystyle f(x)}$ is defined as${\displaystyle f}$(x ) $displaystyle f(x)}$ $$$$$displaystyle \qquad }$ d ${\displaystyle \mathrm{e<img\; alt="\backslash qquad\; "\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22"\; style="vertical-align:\; -0.171ex;\; width:4.645ex;\; height:0.343ex;"\; papago-attr-id="308">}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle deg_{x(x)}$${\displaystyle }$= ${\$$staystyle$ $=}$$max$ I}{i\in I$}}}}}}}}}}$의 x 용어 최대 정도

예: $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$- ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ Q$(x,y)=y-4x^{2$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig1.jpg

따라서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x,y)}$은 (0,0)에서 다중성 1을 가진다$$.

${\displaystyle \mathrm{Let}}$ $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$+ 6 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig2.jpg

따라서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x,y)}$은 (0,0)에서 다중성 1을 가진다$$.

Let $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$- 4 ${\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 4${\displaystyle }$- ${\displaystyle 24}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$ Q$(x,y)=(y-4x^{2$})(y+6x$^{2}=y^{2}+6x^{2}y-24x^{2}}}y-24x^1}}}}}}}}}}:{$2-y-26

https://wiki.cse.buffalo.edu/cse545/sites/wiki.cse.buffalo.edu.cse545/files/76/Fig3.jpg

따라서 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Q(x,y)}$에는 (0,0)에서 다중성 2의 영이 있다$$.

Similarly, if ${\displaystyle Q(x,y)=[(y-\beta )-4(x-\alpha )^{2})][(y-\beta )+6(x-\alpha )^{2})]}$ Then, ${\displaystyle Q(x,y)}$ has a zero of multiplicity 2 at ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

다중성의 일반적 정의

${\displaystyle Q(x,y)}$ has ${\displaystyle r}$ roots at ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ if ${\displaystyle Q(x,y)}$ has a zero of multiplicity ${\displaystyle r}$ at ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ when ${\displaystyle (\alpha ,\b$$eta )\neq$ ($0,0$

알고리즘.

전송되지만, f(α 2),…, f(nα)){\displaystyle(f(\alpha_{1}),f(\alpha_{2}),\ldots ,f(\alpha_{n}))}(f(α 1) 전도된 부호 워드 및의(α 1, α 2,…,α n){\displaystyle(\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots ,\alpha_{n})}을 집합에서 전달 받은 단어다(자.β$displaystyle(\$

알고리즘은 다음과 같다.

• 보간 단계

For a received vector ${\displaystyle (\beta _{1},\beta _{2},\ldots ,\beta _{n})}$, construct a non-zero bi-variate polynomial ${\displaystyle Q(x,y)}$ with ${\displaystyle (1,k)-}$weighted degree of at most ${\displaystyle d}$ such that ${\displaystyle Q}$$$ 각 지점$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)에$$ 0의 $다중성{\displaystyle }$ r ${\displaystyle r}$이$($가) 있음(\$displaystyle _{i},\displaysty_{i})$ 여기서$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystystyleq i\leq$i$\n}$

${\displaystyle Q(\alpha _{i},\beta _{i}=0\,}$

• 인자화 단계

$최소{\displaystyle }$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$ 값에$$ 대한$$ $y{\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle y-p(x)}$ 및$$ $p{\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) =${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ p$(\alpha _{i}=\beta _{i}}}$ 형식의$$ Q$x,$ $) {\displaystystystystyty$} 요소를 $모두$ 찾으십시오.

여기서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle 0\leq$ i$\leq n}$ $$& ${\displaystyle p}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle p(x)}$은 $\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq k}$의 다항식이다.

$\le {\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \leq k}$의 다항식이 코드 단어와 1:1로 일치한다는$$ 점을 상기하십시오.따라서, 이 단계는 암호의 목록을 출력한다.

분석

보간 단계

보조정리: 보간 ${\displaystyle \begin{array}{}단계\end{array}}$는${\displaystyle }$${\displaystyle i_{}}$ ${\$ ${\begin{pmatrix}r+1\\\2\$$end{$$pmatrix}}$ 제약조건을$$ 의미한다$.$

Let ${\displaystyle Q(x,y)=\sum _{i=0,j=0}^{i=m,j=p}a_{i,j}x^{i}y^{j}}$ where ${\displaystyle \deg _{x}Q(x,y)=m}$ and ${\displaystyle \deg _{y}Q(x,y)=p}$

Then, ${\displaystyle Q(x+\alpha ,y+\beta )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{u=0,v=0}^{r}}$ ${\displaystyle Q_{u,v}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle x^{u}}$ ${\displaystyle y^{v}}$ ........................(등분 1)

where ${\displaystyle Q_{u,v}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{i=0,j=0}^{i=m,j=p}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}i\\u\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\v\$$end{pmatrix}}$ $a$${\displaystyle {}_{,}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ x ${\displaystyle i^{}}$ -${\displaystyle {\mathrm{u<img\; alt="a\_\{i,j\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/4bb5a346f58c6568306a02596dd318d1b7e6b2c2"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:3.164ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="422">}}^{}}$ ${\$ $x$$^{i-u}}$ $y$${\displaystyle {}^{}}$ j${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle v^{}}$ ${\$ y$^{j-v}}$

방정식 증명 1:

${\displaystyle Q(x+\alpha,y+\beta )=\sum _{i,j}a_{i,j}(x+\alpha )^{i}(y+\beta )^{j}}}$

${\displaystyle Q(x+\alpha ,y+\beta )=\sum _{i,j}a_{i,j}{\Bigg (}\sum _{u}{\begin{pmatrix}i\\u\end{pmatrix}}x^{u}\alpha ^{i-u}{\Bigg )}{\Bigg (}\sum _{v}{\begin{pmatrix}i\\v\e$$nd{pmatrix}}y$^{$v}\beta ^{j-v$}{\Bigg $)}}}}}..........$이항 확장 사용

${\displaystyle Q(x+\alpha ,y+\beta )=\sum _{u,v}x^{u}y^{v}{\Bigg (}\sum _{i,j}{\begin{pmatrix}i\\u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i\\v\end{pmatrix}}a_{i,j}\alpha ^{i-u}\beta ^{j-v}{\Bigg )}}$

${\displaystyle Q(x+\alpha,y+\beta )=\sum _{u,v}$ ${\displaystyle Q_{u,v}(\alpha ,\beta )x^{u}y^{v}}}$

보조정리 증명서:

다항식 $Q{\displaystyle (x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ $Q$$(x,y)}$은(는$$)$({\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$) {\$displaystyle (\alpha$ ,\$beta )}$에서 0의 다중성을 $.$

${\displaystyle {}_{}}$$Q{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle u_{}}$, ${\displaystyle v_{}}$ ${\$ $($${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$) ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$${\displaystyle \equiv }$ $0$${\displaystyle \mathrm{}}$$}$ $displaystyle u$+ v${\displaystyle }$-$$ {\$leq u$+v\$leq r-1}$

${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$은(는) ${\displaystyle r}$- v ${\displaystyle$ $r-v$} 값을 0$}$ ${\displaystyle v}0{\displaystyle \mathrm{}}$ r${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ 0$\leq v\leq r-1$}로 취할 수 있으므로$$$,$ 총 제약조건 수는

${\displaystyle \sum _{v=0}^{r-1}{r-v}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\pmatrix}r+1\\2\end{pmatrix}}$

따라서 (${\displaystyle \begin{array}{c}r\end{array}}$+ ${\displaystyle \begin{array}{}1\\ \mathrm{}\end{array}}$ ${\displaystyle \begin{array}{c}2\\ \end{array}}$)$${\$displaystyle${\$begin{pmatrix}r+1\\\2\end${pmatrix$}}$의 개수를$$ ${\displaystyle \mathrm{선택}}$할 수 있으며$$, 각 선택 항목은 ${\displaystyle i_{}}$$,{\displaystyle v}$) ${\$$(u,$$v)$의 계수에 대한 제약 조건을 내포한다$.$

인자화 단계

제안:

${\displaystyle }$$Q$${\displaystyle (x}$, p${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 0\{\backslash }$$displaystyle Q($${\displaystyle x}$$,p(x))\equiv 0}$ y - p(x$$) {\$displaystyle$ $y-p($$x)}$이 Q$$(${\displaystyle x}$ ,$$y )의 인수인$$경우

증명:

$y{\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle y-p(x)}$이(가) $Q{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle ,}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x,y)},$Q${\displaystyle (x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle Q(x,y)}$의 인수로 나타낼 수 있으므로$$

${\displaystyle Q(x,y)=L(x,y)(y-p(x))}$ ${\디스플레이 스타일 +}$ ${\displaystyle R(x)}$

여기서, $L{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle L(x,$${\displaystyle y}$$)}$은(는) $Q{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q(x,y)}$을(를) $y{\displaystyle }$- ${\displaystyle p}$( ${\displaystyle x}$) ${\$$displaysty$ $y-p($${\displaystyle x)\}}$ $R$$(x)$로 나눌 때 얻은 몫이다$$.

Now, if ${\displaystyle y}$ is replaced by ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle Q(x,p(x))}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$, only if ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 0}$

정리:

$p{\displaystyle (\alpha }$) =${\displaystyle \beta }$ ${\$$displaystyle$ $p(\alpha )=\beta }$인 경우$,$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \alpha {}^{}}$) r ${\$는 Q$(x,p(x)$의 인수인 것이다.

증명:

${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{u,v}}$ ${\displaystyle Q_{u,v}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (x-\alpha )^{u}}$ ${\displaystyle (y-\beta )^{v}}$...........................방정식 2부터

${\displaystyle Q(x,p(x))}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{u,v}}$ ${\displaystyle Q_{u,v}}$ ${\displaystyle(\displaystyle,\displ$ ${\displaystyle (x-\property )^{u}}$ ${\displaystyle(p(x)-\property )^{v}}$

주어진 $p{\displaystyle }$(${\displaystyle \alpha }$ )${\displaystyle$ p$(\alpha )}$ =$$${\displaystyle =}$ $\beta$${\displaystyle }$ $\}($${\displaystyle p}$(${\displaystyle x}$) -${\displaystyle \beta }$ )${\displaystyle (p(x)-\beta )}$ mod$$$($$x$-$$$α$) ${\$$displaystystyle$${\displaystyle \mathrm{}}$ = $0}$

따라서${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ -$$${\displaystyle \alpha {}^{}}$) ${\displaystyle u^{}}$ ${\$${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$) -${\displaystyle \beta {}^{}}$) ${\displaystyle v^{}}$ ${\$ mod$$$x$ -$α$)${\displaystyle u^{}}$ + $^{u+v}$${\displaystyle }$= ${\$$displaystylease$ $styone$$0$${\displaystyle \mathrm{}}$}

${\displaystyle {따라서}^{}}{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle \alpha {}^{}}$) r ${\$(${\displaystyle \mathrm{x-}}$$\alpha )^{r}}$은(는) $Q{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle p}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle Q(x,p(x)}$의 인수 입니다$.$

위에서 증명된 바와 같이

$(\displaystyle t\cdot r>D}$

${\displaystyle t}{\frac {D}{r}}}$

${\displaystyle {\frac {D(D+2)}{2(k-1)}}>n{\begin{pmatrix}r+1\\2\end{pmatrix}}}$ where LHS is the upper bound on the number of coefficients of ${\displaystyle Q(x,y)}$ and RHS is the earlier proved Lemma.

${\displaystyle D={\sqrt {knr(r-1)}}\,}$

따라서 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle \lceil k\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{n}}$( 1${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{\frac{1}{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{r}}}$) ${\displaystyle \rceil }$ ${\$

$대체{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2kn}}$ ${\displaystyle r=2kn$

${\displaystyle t}\왼쪽\lceil {\sqrt {kn-{\frac {1}:{2}}:\오른쪽\rceil}\왼쪽\sqrt {kn}\오른쪽\rceil }}$

따라서 Guruswami-Sudan 목록 디코딩 알고리즘이 ${\displaystyle 최대\sqrt{}}$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$-${\displaystyle }$R {\$displaystyle$1-{\$sqrt{R}$개의$$ 오류를 디코딩할 수 있음을 입증했다.

참조

• https://web.archive.org/web/20100702120650/http://www.cse.buffalo.edu/~atri/html/html-properties/
• https://www.cs.cmu.edu/~venkatg/pubs/paper/listdecoding-NOW.pdf
• http://www.mendeley.com/research/algebraic-softdecision-decoding-reedsolomon-codes/
• R. J. 맥엘리스.Guruswami-Sudan 디코딩 알고리즘은 Red-Solomon 코드에 대한 것이다.
• M 수단.리드 솔로몬 코드 해독은 오류 수정 범위를 넘어선다.