하드와이거 추측(공역 기하학)

조합 기하학에서, Hadwiger 추측은 n차원 유클리드 공간의 볼록한 물체는 원래 물체와 2개 이하의 작은 물체에 의해ⁿ 덮일 수 있으며, 또한 물체가 평행한 직교체일 경우에만 2의ⁿ 상한이 필요하다고 말한다.또한 차체를 비추는 데 필요한 투광 조명의 수와 관련하여 동일한 공식도 존재한다.

Hadwiger 추측은 Hugo Hadwiger의 이름을 따서 지어졌는데, 그는 1957년에 그것을 미해결 문제 목록에 포함시켰다. 그러나 그것은 이전에 Levi (1955년)와 독립적으로 Gohberg & Markus (1960년)에 의해 연구되었다.또한 그래프 색채에 관한 다른 Hadwiger 추측이 있다.그리고 일부 출처에서는 기하학적 Hadwiger 추측을 Levi-Hadwiger 추측 또는 Hadwiger 추측이라고도 부른다.리바이스 커버 문제

2차원 사건은 리바이스(1955)에 의해 해결되었지만, 이 추측은 3차원에서도 풀리지 않고 있다.

형식적 진술

형식적으로, Hadwiger 추측은 다음과 같다: 만약 K가 n차원 유클리드 공간ⁿ R에서 유계 볼록 집합이라면, 모든_i s가 0 < s_i < 1 범위에 있는 2개의 스칼라_i s와ⁿ 2개의 변환 벡터_i v의 집합이ⁿ 존재한다.

${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i=1}^{2^{n}}s_{i}K+v_{i}.}$

또한 K가 평행입방체일 경우 상한이 필요하며, 이 경우 2개의ⁿ 모든 스칼라를 1/2로 선택할 수 있다.

조명과 교대로 제제

Boltyansky에서 알 수 있듯이, 문제는 조명 중 하나와 같습니다. 불투명한 볼록한 차체 외부에 투광 조명을 몇 개 배치해야 외부를 완전히 밝힐 수 있습니까?이 문제의 목적상, 물체는 물체의 경계의 각 점에 대해, 이 지점에서 물체와 교차하는 모든 접선 평면에 의해 물체로부터 분리된 적어도 하나의 투광 조명이 있는 경우에만 점등되는 것으로 간주됩니다. 따라서, 입방체의 면은 단 두 개의 투광 조명에 의해서만 조명될 수 있지만, 접선 평면은 다음과 같습니다.그것의 꼭지점과 가장자리는 그것이 완전히 빛나기 위해 더 많은 빛이 필요하게 한다.어떤 볼록한 물체든, 그것을 완전히 비추는 데 필요한 투광 조명의 수는 그것을 ^[1]덮는 데 필요한 신체의 작은 복사본의 수와 같은 것으로 판명되었습니다.

예

그림에서 보듯이 삼각형은 세 개의 작은 복사본으로 덮을 수 있으며, 보다 일반적으로 심플렉스는 n+1개의 복사본으로 덮을 수 있으며, n/(n+1)의 계수로 크기가 조정됩니다.그러나 정사각형을 작은 정사각형(원래와 평행한 변)으로 덮으려면 네 개의 작은 정사각형이 필요합니다. 각 정사각형이 큰 정사각형의 네 모서리 중 하나만 덮을 수 있기 때문입니다.고차원의 경우, 하이퍼큐브 또는 더 일반적으로 동일한 모양의 작은 동질적 복사본에 의해 평행하게 연결된 더 작은 복사본을 덮으려면 원래 하이퍼큐브 또는 평행하게 연결된 각 정점에 대해 별도의 복사본이 필요합니다. 이러한 모양은 두 개의 정점을 가지기ⁿ 때문에, 두ⁿ 개의 작은 복사본이 필요합니다.이 수치로도 충분합니다.큐브 또는 평행입방체는 1/2의 배율로 2개의 복사본으로ⁿ 커버할 수 있습니다.Hadwiger의 추측은 평행입방체가 이 문제에 대한 최악의 경우이며, 다른 볼록한 물체는 2개 미만의ⁿ 자기 ^[1]복제물로 덮여 있을 수 있다는 것입니다.

이미 알려진 결과

2차원 사례는 Levi(1955)에 의해 해결되었다. 모든 2차원 경계 볼록 집합은 4개의 작은 복사본으로 덮일 수 있으며, 4번째 복사본은 평행사변형의 경우에만 필요하다.그러나 일부 특별한 경우를 제외하고는 더 높은 차원에 대한 추측은 여전히 열려 있다.주어진 본문을^[2] 커버하는 데 필요한 작은 복사본의 수에 대한 가장 잘 알려진 점근적 상한은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\displaystyle\binom{2n}{n}}\expcccccrt {n}}})$

$여기$서 c$\displaystyle$c는$$ 양의 상수입니다.$작은{\displaystyle }$n${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$$$n$)$의 경우, (${\displaystyle \mathrm{n}}$ + 1)${\displaystyle {}^{}}$n -${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle ({\mathrm{n}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$)$$ - 1$$($n$) $n^{n-1}-(n-2)^{n-1}$의${\displaystyle }$상한은 Lassak(1988)에 의해 확립된 점근성보다 좋다.3차원에서는 항상 16개의 복사본으로 충분하다고 알려져 있지만, 이는 추측된 ^[1]8개의 복사본과는 여전히 거리가 멀다.

이 추측은 대칭 다면체와 3차원의 ^[1]일정한 폭의 물체를 포함한 볼록체의 특정 클래스를 유지하는 것으로 알려져 있다.Zonotope를 커버하는 데 필요한 복사본 수는 최대${\displaystyle }$(${\displaystyle 3/{\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {2n}^{}}$ $($ 2$^{n$이며, 표면이 매끄러운 바디(경계점당 접선 평면이 1개$)$의 경우에는 Levi가 이미 ^[1]증명한 바와 같이 최대 n + 1(\$display style$ n$+1})$의 작은 복사본이 필요합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 볼록체를 더 작은 직경의 집합으로 덮는 보르숙의 추측

메모들

레퍼런스

• 를 클릭합니다Boltjansky, V.; Gohberg, Israel (1985), "11. Hadwiger's Conjecture", Results and Problems in Combinatorial Geometry, Cambridge University Press, pp. 44–46.
• 를 클릭합니다Brass, Peter; Moser, William; Pach, János (2005), "3.3 Levi–Hadwiger Covering Problem and Illumination", Research Problems in Discrete Geometry, Springer-Verlag, pp. 136–142.
• 를 클릭합니다Gohberg, Israel Ts.; Markus, Alexander S. (1960), "A certain problem about the covering of convex sets with homothetic ones", Izvestiya Moldavskogo Filiala Akademii Nauk SSSR (in Russian), 10 (76): 87–90.
• 를 클릭합니다Hadwiger, Hugo (1957), "Ungelöste Probleme Nr. 20", Elemente der Mathematik, 12: 121.
• 를 클릭합니다Huang, Han; Slomka, Boaz A.; Tkocz, Tomasz; Vritsiou, Beatrice-Helen (2022), "Improved bounds for Hadwiger's covering problem via thin-shell estimates", Journal of the European Mathematical Society, 24 (4): 1431–1448, doi:10.4171/jems/1132, ISSN 1435-9855.
• 를 클릭합니다Lassak, Marek (1988), "Covering the boundary of a convex set by tiles", Proceedings of the American Mathematical Society, 104 (1): 269–272, doi:10.1090/s0002-9939-1988-0958081-7, MR 0958081.
• 를 클릭합니다Levi, Friedrich Wilhelm (1955), "Überdeckung eines Eibereiches durch Parallelverschiebungen seines offenen Kerns", Archiv der Mathematik, 6 (5): 369–370, doi:10.1007/BF01900507, S2CID 121459171.