고조파 빈 패킹

고조파 빈 패킹은 빈 패킹을 위한 온라인 알고리즘 패밀리입니다.이러한 알고리즘에 대한 입력은 다양한 크기의 항목 목록입니다.출력은 패킹(항목을 고정 용량의 빈으로 분할하여 각 빈의 항목 크기 합계가 최대 용량이 되도록 함)입니다.가능한 한 적은 빈을 사용하는 것이 이상적이지만 빈 수를 최소화하는 것은 NP-난해한 문제입니다.

고조파 빈 패킹알고리즘은 고조파 수열에 따라 항목을 크기에 따라 카테고리로 분할합니다.이 생각에는 몇 가지 변형이 있다.

고조파 k

크기의 간격,(0,1]{(0,1]}나는 j k− 1{\displaystyle k-1}조각 harmonically에:=(1/(j+1\displaystyle)그 Harmonic-k 알고리즘 파티션 1/j]{\displaystyle I_{j}:1≤ j<>에 =(1/(j+1),1/j 해결};k{\displaystyle 1\leq j<, k}과 나는 k:=(0,1/k]{\displaystyle 나_{k}:) $(0,1/k)}:$ $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ I $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ ( $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ , $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ $){ display$ \ $bigcup$ _ {j $\bigcup _{j=1}^{k}I_{j}=(0,1]$ = $1$ }^{ $k}$ $I_{j}=(0,1$ $i\in L$ I $i\in L$ L {\ $displaystyle$ i\ $in$ L $i\in L$ }는 $i\in L$ $I_{j}$ $I_{j}$ $I_{j}$ { $displaystyle I_{j$ $}$ - item( $s(i)\in I_{j}$ ) $s(i)\in I_{j}$ I j $s(i)\in I_{j}$ { $displaystyle$ s $(i)\in$ I_{j $s(i)\in I_{j}$ )라고 합니다.

이 알고리즘은 빈 빈 세트를 항목 유형별로 1개의 빈 유형인1 $1\leq j\leq k$ $1\leq j\leq k$ 에 $1\leq j\leq k$ k\ $displaystyle$ k\ \ displaystyle $k$ $B_{j}$ _ { $j$ }개의 $B_{j}$ 무한 $B_{j}$ $B$ j _ { $displaystyle$ 1 \ $leq$ j \ $leq$ k $1\leq j\leq k$ $B_{j}$ $B_{j}$ j $B_{j}$ { $displaystyle B_{j}$ 의 $B_j$ 빈은 $타입$ j { $displaystyle$ j $j$ 의 아이템을 포장하는 빈에만 사용됩니다. $B_{j}$ $B_{j}$ j $B_{j}$ { $displaystyle B_{j}$ 의 $B_j$ 각 빈에는 1 $1\leq j<k$ j < $displaystyle$ 1 \ $leq$ j < $k$ }의 $1\leq j<k$ $j$ $I_{j}$ { $displaystyle I$ _ { j $}$ 아이템을 $I_{j}$ $j$ 하게 포함할 수 있습니다.이 알고리즘은 다음과 같이 동작합니다.

다음 $i\in L$ i $(\displaystyle$ i $\in$ L $)$ 가 $i\in L$ 1 $1\leq j<k$ j < k < $displaystyle$ 1 \ $leq$ j < k $1\leq j<k$ 의 $I_{j}$ $(\$ ${j})$ 항목인 경우, 해당 항목은j $<\displaystyle$ 1\leq $j<$ k $B_{j}$ $j$ }보다 작은 bin을 포함하는 첫 $($ 열림) $B_{j}$ 에 배치됩니다.
다음 $i\in L$ i $(\displaystyle$ i $\in$ L $)$ 가 $i\in L$ $(\$ }) $I_{k}$ 인 $I_{k}$ 경우 알고리즘은 Next-Fit을 사용하여 $(\$ }) $B_{k}$ 의 $B_{k}$ 빈에 넣습니다.

이 알고리즘은 Lee와 ^[1]Lee에 의해 처음 설명되었다.시간 복잡도는 O ${\mathcal {O}}(n\log(n))$ log ${\mathcal {O}}(n\log(n))$ ( ${\mathcal {O}}(n\log(n))$ ) { $displaystyle$ { $mathcal {O}}(n\log(n)})$ 입니다 ${\mathcal {O}}(n\log(n))$ .여기서 n은 입력 항목의 수입니다.각 단계에는 항목을 배치하는 데 사용할 수 있는 최대 $(\displaystyle$ k $)$ 의 $k$ 빈이 있습니다. 즉, k-바운딩 공간 알고리즘입니다.

Lee와 Lee는 점근 근사 비율도 연구했다.그들은:=1}, 나는 1+ σ:=σ 나는}에 나 그냥σ 나는<>에 증명해 1{\displaystyle i\geq 1}≥, k<>σ는 a=l+1{\displaystyle \sigma_{나는}<, k<{\displaystyle \sigma_{i+1}:=\sigma _ᆬ(\sigma_{나는}+1)(σ 나는 1+), \sigma _{l+1}}그를 잡고 있는 시퀀스 σ 1:=1{\displaystyle \sigma_{1}정의했다. RHkm그리고 4.9초 만 $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ i $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ 1 / $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ i + $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ / ( $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ + $1$ ( k - $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ 1 $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ ) { $display$ style R _ { Hk }^{\ $infty }$ \ $leq \sum$ _ ${i$ = $1$ }^{ $l}$ 1 / \ time $_ { i$ $k\rightarrow \infty$ + k / ( $k$ - $R_{Hk}^{\infty }\leq \sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ 1 ) $→$ $displaystyledisplay$ stylek $k\rightarrow \infty$ l + 1 . $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ H k $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ / $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ i $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ + $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ k / ( $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ + 1 $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ ( $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ - $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ ) $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ { $displaystyle R_{Hk$ }^{\ $infty$ } = \ $sum$ _ { i $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ = $1$ / \ $sum$ _ { $i$ } + $k$ / ( { $l$ + 1 - 1 ) $R_{Hk}^{\infty }=\sum _{i=1}^{l}1/\sigma _{i}+k/(\sigma _{l+1}(k-1))$ ）。

세련된 조화(RH)

세련된 하모닉은 Harmonic-k 알고리즘의 아이디어와 세련된 퍼스트 핏의 아이디어를 결합합니다.1 $/3$ 보다 $1/3$ $1/3$ 아이템은 세련된 First-Fit과 $비슷하게$ 배치하고 작은 아이템은 Harmonic-k를 사용합니다.이 전략의 직관은 $1/2$ 1/ $(\displaystyle$ 1/ $2)$ 보다 $1/2$ 조금 큰 조각이 들어 있는 쓰레기통의 엄청난 낭비를 줄이는 것입니다.

알고리즘은 다음 간격에 따라 항목을 분류합니다. $I_{1}:=(59/96,1]$ 1 $I_{1}:=(59/96,1]$ : $I_{1}:=(59/96,1]$ ( $I_{1}:=(59/96,1]$ $I_{1}:=(59/96,1]$ $I_{1}:=(59/96,1]$ , $]{$ $displaystyle I_$ ${1$ } : = ( $59 /$ $I_{a}:=(1/2,59/96]$ , $1$ } $I_{1}:=(59/96,1]$ , $I_{2}:=(37/96,1/2]$ $I_{a}:=(1/2,59/96]$ : $I_{a}:=(1/2,59/96]$ ( $I_{a}:=(1/2,59/96]$ $I_{2}:=(37/96,1/2]$ $I_{a}:=(1/2,59/96]$ / $2, 59$ $I_{2}:=(37/96,1/2]$ $I_{a}:=(1/2,59/96]$ ) $I_{a}:=(1/2,59/96]$ 、 $I_{2}:=(37/96,1/2]$ 2 : $I_{2}:=(37/96,1/2]$ $I_{2}:=(37/96,1/2]$ $I_{2}:=(37/96,1/2]$ / $I_{2}:=(37/96,1/2]$ , 1 $I_{2}:=(37/96,1/2]$ / 2 ) $I_{2}:=(37/96,1/2]$ 、 [ $display style$ I _ { 2 $= 1$ / $96$ , 1 $]$ $]$ { $displaystyle$ $I_$ ${$ $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ $}$ : = ( $1$ / ( j + $1$ , $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ / $j$ ) $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ 、 j $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ { $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ 3, $\ displaystyle j$ \ $in$ \ 3, \ $displaystyle$ , k - 1 $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ \ $j\in \{3,\dots ,k-1\}$ $}$ 、 $i$ i i i i i i : : : : : : j j $=$ ( $I_{k}:=(0,1/k]$ , $1$ / $I_{k}:=(0,1/k]$ ) : ( 0 , 1 / k ) $I_{k}:=(0,1/k]$ ）。 $I_{j}$ 은 $I_{j}$ j $(\$ 아이템을 $I_{j}$ Harmonic-k로 배치하고 $(\$ 및 $I_{a}$ $(\$ $I_{a}$ 에 대해서는 다른 전략을 따릅니다. $아이템$ 은 $I_a$ $I_{b}$ $방법$ 으로 $I_{a}$ 할 수 있으며 $I_{b}$ 은 $bin$ 에 넣을 $I_{b}$ 수 $있습니다.$

$($ I_ $I_{a}$ { $a})$ $-bin에는 I($ Displaystyle I_{ $a})$ 항목이 $I_{a}$ $I_{a}$ 만 포함됩니다.
$($ I_ ${b})$ $I_{b}$ 에는 $I_b$ $($ I_ ${b})$ - 항목이 $I_{b}$ $I_{b}$ 만 포함됩니다.
$I_{a}b$ b $I_{a}b$ - $I_{a}b$ $contains$ $、$ $I_{a}$ _ { $a$ } - item $I_{a}b$ $I_{a}$ 、 $I_{b}$ b $I_{b}$ _ { $display style$ I _ { $b$ } - item $I_{b}$ $I_{b}$ i i $I_{a}$ i i i i i i i i i one one one one one one one one one one one one one one one 。
$I_{b}b$ $I_{b}b$ b - bin $I_{b}b$ 에는 $I_{b}$ 의 I $I_{b}$ b _ { $display style$ I _ { $b$ } - 항목이 $I_{b}$ 포함되어 있습니다.

$I_{b}'$ b ${\$ \ $displaystyle I$ _ { $b$ } - bin $I_{b}'$ 은 두 $I_{b}$ $I_{b}$ $b$ { $b$ } - 항목을 $I_{b}$ 포함하는 빈을 나타냅니다.알고리즘은 N_a, N_b, N_ab, N_bb 및 N_b'라는 숫자를 사용하여 솔루션 내의 대응하는 빈의 수를 계산합니다.또한 N_c=N_b+N_ab

리스트 L = (i_1, \harmonic i_n): 1. N_a = N_b = N_ab = N_b = N_b' = N_c = 0 2에 대한 알고리즘 정제 하모닉 k.i_j가 I_k-피스일 경우 알고리즘 Harmonic-k를 사용하여 3을 채웁니다.그렇지 않으면 i_j가 I_a-항목일 경우 N_b!=1이면 i_j를 임의의 J_b-bin; N_ab+; n_ab+; n_j를 채웁니다.그렇지 않으면 i_j를 새로운 (빈; n_b+a; 4; a) 빈;그렇지 않으면 i_j가 I_b-항목이라면 N_b' = 1이면 i_j를 I_b'-bin에 넣습니다; N_b' = 0; N_bb++; 5.그렇지 않으면 N_bb <= 3N_c인 경우 i_j를 새 빈에 넣고 I_b'-bin으로 지정합니다. N_a!= 0인 경우 N_b' = 1을 제외하고 i_j를 임의의 I_a-bin에 배치합니다. N_a--; N_ab+;N_c++ 그렇지 않으면 i_j를 새 빈에 넣습니다.N_b++;N_c++

이 알고리즘은 Lee와 ^[1]Lee에 의해 처음 설명되었다.그들은 k $k=20$ $20$ { $style$ k $=$ 20 $k=20$ }에 $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ H $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ / $R_{RH}^{\infty }\leq 373/228$ { $displaystyle R_{$ 을 유지한다는 것을 증명했다. $RH}^{\infty}\leq 373/228$

기타 변종

Modified Harmonic(MH; 수정 고조파)의 $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ 은 $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ M $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ / 33 ${\$ 1. $R_{MH}^{\infty }\leq 538/33\approx 1.61562$ \ $display R_{$ $MH}^{\infty}\leq 538/33\약$ 1. $61562$ ^[2]

Modified Harmonic 2(MH2)의 $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ 은 $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ 239091 / $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ 1.61217 $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ {\ $display R_{MH2}^{\infty$ }\ $leq 239091$ $148304$ \ $약 1.61217$ 입니다 $R_{MH2}^{\infty }\leq 239091/148304\approx 1.61217$ ^[2]

고조파 + 1(H+1)은 점근비 $R_{H+1}^{\infty }\geq 1.59217$ + $R_{H+1}^{\infty }\geq 1.59217$ $R_{H+1}^{\infty }\geq 1.59217$ ${\display style$ R_ ${H+1}^{\infty}\geq$ 1. $59217$ ^[3]입니다.

고조파 ++(H++)는 $R_{H++}^{\infty }\leq 1.58889$ R $H$ + + $R_{H++}^{\infty }\leq 1.58889$ 1. $R_{H++}^{\infty }\leq 1.58889$ {{ $H++}^{\$ infty $}\leq$ 1. $58889$ $R_{H++}^{\infty }\geq 1.58333$ $H$ + $R_{H++}^{\infty }\geq 1.58333$ 1. $displaystyle R_{H+}^{\infty}$ ^[3] $geq3 ge$ 를 가진다.

레퍼런스

^ ^a ^b Lee, C. C.; Lee, D. T. (July 1985). "A simple on-line bin-packing algorithm". Journal of the ACM. 32 (3): 562–572. doi:10.1145/3828.3833. S2CID 15441740.
^ ^a ^b Ramanan, Prakash; Brown, Donna J; Lee, C.C; Lee, D.T (September 1989). "On-line bin packing in linear time". Journal of Algorithms. 10 (3): 305–326. doi:10.1016/0196-6774(89)90031-X. hdl:2142/74206.
^ ^a ^b ^c Seiden, Steven S. (2002). "On the online bin packing problem". Journal of the ACM. 49 (5): 640–671. doi:10.1145/585265.585269. S2CID 14164016.

[LeeLee1985-1] Lee, C. C.; Lee, D. T. (July 1985). "A simple on-line bin-packing algorithm". Journal of the ACM. 32 (3): 562–572. doi:10.1145/3828.3833. S2CID 15441740.

[RamananBLL1989-2] Ramanan, Prakash; Brown, Donna J; Lee, C.C; Lee, D.T (September 1989). "On-line bin packing in linear time". Journal of Algorithms. 10 (3): 305–326. doi:10.1016/0196-6774(89)90031-X. hdl:2142/74206.

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