하트만-그롭만 정리

수학에서, 역동적인 시스템에 대한 연구에서, 하트만-그로브만 정리 또는 선형화 정리는 쌍곡 평형점 부근에 있는 역동적인 시스템의 국소적 행동에 관한 정리다.그것은 시스템의 자연적인 단순화인 선형화가 행동의 질적 패턴을 예측하는 데 효과적이라고 주장한다.그 정리는 필립 하트만과 데이비드 M. 그로브만에게 그 이름을 빚졌다.

정리는 쌍곡 평형점 근처의 영역에서 동적 시스템의 행동은 질적으로 이 평형점 근처에 있는 그것의 선형화의 행동과 동일하다고 기술하고 있다. 여기서 쌍곡성은 선형화의 어떤 고유값도 실제 부분이 0과 같지 않다는 것을 의미한다.따라서 그러한 동적 시스템을 다룰 때는 평형주변에서의 동작을 분석하기 위해 시스템의 보다 단순한 선형화를 사용할 수 있다.^[1]

주정리

Consider a system evolving in time with state $u(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ that satisfies the differential equation $du/dt=f(u)$ for some smooth map $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ . Suppose the map has a hyperbolic equilibrium state $u^{*}\in \mathbb {R} ^{n}$ : that is, $f(u^{*})=0$ and the Jacobian matrix $A=[\partial f_{i}/\partial x_{j}]$ of $f$ at state $u^{*}$ 실제 부품이 0인 고유값이 없다.그 다음 평형 $∗{\$ 의 $N$ $u^{*}$ N ${\displaystyle$ N $}$ 과(와) 동형상 $h:N\to \mathbb {R} ^{n}$ : $h:N\to \mathbb {R} ^{n}$ → $h:N\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\$ $N\to \mathbb {R} ^{n}}$ , such that $h(u^{*})=0$ and such that in the neighbourhood $N$ the flow of $du/dt=f(u)$ is topologically conjugate by the continuous map $U=h(u)$ to the flow of its linearisation $dU/dt=AU$ ${\displaystyle dU/dt=$ $AU}$ ^[2]^[3]^[4]^[5].

무한히 다른 종류의 지도 $f$ $f$ 에 대해서도 $f$ 동형체 $h$ $h$ 은(는) 매끄러울 필요가 $h$ 없으며, 심지어 국지적으로 립슈치츠도 될 필요가 없다.그러나, $A$ {\ $displaystyle A$ }의 쌍곡성의 상수에 따라 지수를 갖는 Hölder 연속인 것으로 밝혀졌다 $A$ ^[6]

하트만-그로브만 정리는 무한 차원 바나흐 공간, 비자율 시스템 $du/dt=f(u,t)$ t $du/dt=f(u,t)$ = f $du/dt=f(u,t)$ ( $du/dt=f(u,t)$ $du/dt=f(u,t)$ $du/dt=f(u,t)$ ) ${\displaystyle du/dt=f(u,t)}($ 잠재적 확률)로 확장되었으며, 0 또는 0에 가까운 리얼 파트를 갖는 고유값이 있을 때 발생하는 위상학적 차이를 만족시키기 위해 확장되었다.^[7]^[8]^[9]^[10]

예

이 예에 필요한 대수학은 자율 방정식이나 비자율 방정식, 결정론적 또는 확률적 미분 방정식 시스템의 정상 형태 좌표 변환을 계산하는 웹 서비스에 의해 쉽게 수행된다.^[11]

$u=(y,z)$ 된 미분 방정식 $u=(y,z)$ 쌍에 따라 진화하는 $u=(y,z)$ $u=(y,z)$ 변수 $u$ = ( y , z ) ${\$ displaystyle u=( $y,z)}$ 의 2D 시스템을 고려하십시오 $u=(y,z)$

{\frac {dy}{dt}=-3y+yz\properts {\text{and}\frac {dz}{dt}=z+y^{2}.

직접 계산을 통해 이 시스템의 유일한 평형이 $u^{*}=0$ $u^{*}=0$ = 0 $u^{*}=0$ 인 원점에 있음을 알 수 있다 $u^{*}=0$ 좌표 변환 $u=h^{-1}(U)$ = $u=h^{-1}(U)$ - 1 $u=h^{-1}(U)$ ( $u=h^{-1}(U)$ ) $u=h^{-1}(U)$ 여기서 $u=h^{-1}(U)$ $U=(Y,Z)$ = $U=(Y,Z)$ ( $U=(Y,Z)$ $U=(Y,Z)$ ) $U=(Y,Z)$ 은 $U=(Y,Z)$ 는) 다음을 통해 제공된다.

{\begin}y&\ 관련 Y+YZ+{\dfrac{1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\의 근사 Z-{{\dfrac{1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{정렬}

원래 $u=(y,z)$ = ( $u=(y,z)$ , z $u=(y,z)$ ) $u=(y,z)$ 과 $u=(y,z)$ (와) 새로운 $U=(Y,Z)$ = $U=(Y,Z)$ ( $U=(Y,Z)$ , $U=(Y,Z)$ ) ${\displaystyle$ U $=(Y,Z)}$ 좌표 $U=(Y,Z)$ 사이의 평형도(최소한 원점 평형 근처)이다.새로운 좌표에서 동적 시스템은 선형화로 변환한다.

{\dplaystyle {\frac {dY}{dt}=-3Y\quad {\text{and}}\text}\qad {\frac {dZ}{dt}=Z.}

즉, 선형화의 왜곡된 버전은 일부 유한한 이웃에 원래의 역학을 부여한다.

참고 항목

안정 다지관 정리

참조

^ Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. pp. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.
^ Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 128: 880–881.
^ Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.
^ Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". Bol. Soc. Math. Mexicana. 5: 220–241.
^ Chicone, C. (2006). Ordinary Differential Equations with Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
^ Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF). Working paper.
^ Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
^ Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.
^ Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". Non-linear Analysis. 40 (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
^ Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023. S2CID 13521020.
^ Roberts, A. J. (2007). "Normal form of stochastic or deterministic multiscale differential equations". Archived from the original on November 9, 2013.

추가 읽기

Irwin, Michael C. (2001). "Linearization". Smooth Dynamical Systems. World Scientific. pp. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (Third ed.). New York: Springer. pp. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
Robinson, Clark (1995). Dynamical Systems : Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. Boca Raton: CRC Press. pp. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

외부 링크

Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (February 2007). "Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories". Discrete and Continuous Dynamical Systems. 17 (2): 281–292. doi:10.3934/dcds.2007.17.281.
Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
"The Most Addictive Theorem in Applied Mathematics". Scientific American.

[1] Arrowsmith, D. K.; Place, C. M. (1992). "The Linearization Theorem". Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. pp. 77–81. ISBN 978-0-412-39080-7.

[2] Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 128: 880–881.

[3] Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.

[4] Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". Bol. Soc. Math. Mexicana. 5: 220–241.

[5] Chicone, C. (2006). Ordinary Differential Equations with Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.

[6] Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF). Working paper.

[7] Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). Six Lectures on Dynamical Systems. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.

[8] Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.

[9] Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". Non-linear Analysis. 40 (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.

[10] Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". Physica A. 387 (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023. S2CID 13521020.

[11] Roberts, A. J. (2007). "Normal form of stochastic or deterministic multiscale differential equations". Archived from the original on November 9, 2013.

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